考慮動力學擴散作用的煤系氣儲層滲透率模型

張宏學，劉衛群，李 盼

（1. 安徽理工大學力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001；2. 中國礦業大學（徐州）力學與土木工程學院，江蘇 徐州 221116；3. 中國礦業大學（徐州）深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，江蘇 徐州 221116）

煤系氣泛指煤系中賦存的各類天然氣，主要包括煤層氣、頁巖氣及煤系砂巖氣等[1]。截至2017 年底，我國煤層氣累計提交探明儲量為7.118 × 1011m3，2017 年產氣量為4.95 × 109m3[2-3]。我國頁巖氣技術可采資源量約為2.18 × 1013m3[4]，煤系頁巖氣占頁巖氣總資源量的19%～37%，截至2019 年，我國頁巖氣年產氣量達到1.53 × 1010m3[5]。目前，我國頁巖氣勘探開發的主體為海相頁巖氣和陸相頁巖氣。規模開發煤系氣，能夠優化調整我國的能源結構。

煤系氣儲層是典型的天然裂縫性儲層，滲透率是評價其商業開發可行性的重要參數之一。目前，國內外學者對煤系氣儲層滲透率解析模型的研究成果頗豐。Palmer 等[6]認為儲層壓力降低導致滲透率降低，而儲層壓降又導致甲烷解吸，煤基質收縮，裂隙張開度增大，滲透率隨之增大，在此基礎上提出了計算煤層滲透率隨有效應力和煤基質收縮變化的理論模型，該模型適用于單軸應變條件。Shi 等[7]假設儲層水平主應力垂直于裂隙，通過直接類比熱收縮和基質收縮，得到等溫氣體解吸煤層的本構關系，基于此，推導了煤層滲透率模型。Cui 等[8]利用線性等溫多孔彈性理論，結合孔隙率的定義，假設煤層處于單軸應變條件，推導了煤層的滲透率變化模型。張宏學等[9]通過引入裂隙法向剛度，建立了頁巖儲層的有效應力-滲透率模型，進一步分析了頁巖儲層在單軸應變和常體積條件下的滲透率模型。文獻[10-11]均將煤層簡化為雙孔雙滲模型（基質和裂隙），分別提出了煤基質系統和裂隙系統的滲透率模型。文獻[12-14]將煤系氣儲層簡化為三孔雙滲模型，分別建立了儲層的滲透率解析模型。

上述文獻在建立儲層的滲透率模型時，均認為在開采過程中儲層的裂隙壓力始終等于基質壓力，但是在實際開采過程中，由于氣體在基質中的動力學擴散作用，儲層基質壓力不等于裂隙壓力，尤其在開采初期，這一現象特別明顯。本研究將煤系氣儲層簡化為雙孔單滲模型，基于多孔彈性力學理論以及滲透率與孔隙率的立方關系，考慮氣體在基質中的動力學擴散作用，提出與應力相關的滲透率模型，在此基礎上，分別得到煤系氣儲層在常體積和單軸應變條件下的滲透率模型，并利用現場實測和實驗室測試的滲透率數據驗證模型的有效性，并分析模型中的各參數對滲透率的影響。

1 滲透率模型

1.1 有效應力-滲透率模型

將煤系氣儲層簡化為雙孔單滲模型，如圖1所示。該模型中基質滲透率近似為零，吸附在基質上的氣體解吸以后向裂縫擴散，通過裂縫流入生產井。設壓應力和壓應變為正，考慮氣體在基質中的動力學擴散作用，煤系氣儲層的應力-應變本構關系為

圖1 雙孔單滲模型Fig. 1 Dual-porosity and single-permeability model

式中：σij為應力分量，Pa； λ為拉梅常數，Pa， λ=Eμ/[(1+μ)(1-2μ)]， 其中E為巖體的彈性模量，Pa， μ為泊松比； εkk為體應變， εkk= εx+ εy+ εz； δij為 Kronecker符號；G為剪切模量，Pa，G=E/[2(1+μ)]； εij為應變分量；Km和Ks分別為基質和固體顆粒的體積模量，Pa，Km=Em/[3(1-2μ)]，Em為基質的彈性模量，Pa； α 和 β均為Boit 系數， α=1-Km/Ks， β=1-K/Km，K為體積模量，Pa；pm和pf分別為基質和裂隙的壓力，Pa； εs為吸附/解吸引起的基質的體應變， εs=εLpm/(pm+pL)， εL為朗繆爾體積應變，pL為朗繆爾壓力，Pa。

1.2 常體積條件下的滲透率模型

1.3 單軸應變條件下的滲透率模型

煤系氣儲層滲透率解析模型中的第1 項表示基質壓力變化對滲透率的影響，第2 項表示裂隙壓力變化對滲透率的影響，第3 項表示煤系氣解吸/吸附對滲透率的影響。該滲透率模型認為儲層基質壓力和裂隙壓力不相等，因此，式(19)表示的滲透率模型比C-M 模型多了一項。與常體積條件下的滲透率解析模型相比，單軸應變條件下的滲透率模型考慮了基質壓力變化對滲透率的影響。

若煤系氣儲層裂隙壓力和基質壓力相等，則式(19)所示的滲透率模型簡化為

1.4 反彈壓力

由于裂隙壓縮和基質收縮對滲透率的影響是相反的，因此隨著煤系氣的開采，當儲層壓力下降到某一數值時，煤系氣儲層的滲透率會出現反彈，滲透率反彈時的儲層壓力稱為反彈壓力，當滲透率反彈到初始滲透率時的儲層壓力稱為開采壓力。由式(23)可得開采壓力prc和反彈壓力prb分別為

式(25)表明，反彈壓力與基質彈性模量、泊松比、朗繆爾體應變和朗繆爾壓力有關。各參數取值不同時，反彈壓力隨彈性模量的演化規律如圖2 所示。

由圖2 可知，當其他參數不變時，反彈壓力隨彈性模量的增大而增大。各參數相同時，本研究的反彈壓力大于C-M 模型的反彈壓力。當其他參數不變時，反彈壓力隨著泊松比的減小而增大，隨著朗繆爾壓力的減小而減小。

圖2 反彈壓力的演化規律Fig. 2 Evolution of rebound pressure

2 模型有效性分析

2.1 模型驗證

為了利用滲透率解析模型評價煤系氣藏商業開發的可行性，解決關于煤系氣開采過程中儲層為常體積條件還是單軸應變條件的爭議，必須利用實驗數據驗證模型的有效性和準確性。本研究分別建立了儲層在常體積條件和單軸應變條件下的滲透率模型，分別利用San Juan 盆地現場實測的滲透率數據以及室內實驗得到的滲透率數據對兩種條件下的滲透率模型進行擬合，如圖3 所示，其中：Model 1、Model 2 分別表示單軸應變模型和常體積模型。

圖3 滲透率模型的有效性Fig. 3 Effectiveness of permeability model

由圖3 可知，當常體積條件和單軸應變條件下的滲透率模型中的參數相同時，如表1[15-16]和表2[8,16]所示，模型中的初始滲透率k0=b30/12a0， 初始孔隙率 φ0=2b0/a0， 其中：a0為初始裂隙間距，m；b0為初始裂隙張開度，m。單軸應變條件下的滲透率模型能夠較好地反映San Juan 盆地以及室內實驗巖心的滲透率演化規律，因此煤系氣儲層在單軸應變條件下的滲透率解析模型是有效、準確的，能夠較準確地預測儲層以及室內巖心的滲透率演化規律。

表1 滲透率數據[15-16]Table 1 Permeability data[15-16]

表2 模型參數[8,16]Table 2 Model parameter[8,16]

由圖3 還可以看出，隨著孔隙壓力的增大，模型滲透率和現場滲透率的比值逐漸減小。在本模型和C-M 模型（沒有考慮動力學擴散作用）中的參數取值相同的條件下，本模型所體現的滲透率比值隨孔隙壓力的演化規律與現場滲透率、室內實驗測試的滲透率演化規律基本一致。在孔隙壓力增大初期，C-M 模型的滲透率比值下降較平緩，而本模型和實驗測試的滲透率比值急劇下降。這是由于C-M模型認為基質壓力和裂隙壓力相等，儲層壓力增大表示基質壓力和裂隙壓力均同時增大，作用在基質和裂隙上的有效應力相同且隨壓力的增大而減小，基質尺寸和裂隙張開度隨壓力的增大逐漸增大，裂隙張開度增大時，滲透率增大，而基質尺寸增大時，滲透率減小，因為基質彈性模量大于裂隙彈性模量，在相同的有效應力作用下，基質尺寸的增大量小于裂隙張開度的增大量，因此儲層滲透率增大。另一方面，基質壓力增大導致氣體吸附，基質膨脹，裂隙張開度減小，滲透率隨之減小。當氣體吸附引起的滲透率減小量略大于基質和裂隙變形引起的滲透率增大量時，滲透率隨著孔隙壓力的增大呈現出平緩的下降趨勢。本研究在建立儲層的滲透率模型時，認為基質壓力與裂隙壓力不相等，儲層壓力增大表示裂隙壓力先增大，氣體因此向基質流動，基質壓力隨之增大，在儲層壓力增大過程中，基質壓力小于裂隙壓力，因此作用在基質上的有效應力大于作用在裂隙上的有效應力；與C-M 模型相比，在同一壓力作用下，本模型的裂隙壓力不變，裂隙張開度不變，而基質壓力降低，基質受到的有效應力增大，基質尺寸的變形量減小，因此由基質尺寸變化導致本模型的滲透率增加量小于C-M 模型的滲透率增加量，所以因壓力變化導致基質尺寸和裂隙張開度變化而引起的滲透率增加量減小；另一方面，基質壓力增大導致氣體吸附，基質膨脹，裂隙張開度減小，滲透率隨之減小。綜上所述，與C-M 模型相比，本模型在孔隙壓力增大初期，滲透率比值急劇下降。

2.2 滲透率演化規律

對于式(19)所示的煤系氣儲層滲透率解析模型，基質壓力和裂隙壓力是不相等的，基質初始壓力等于裂隙初始壓力。下面將分別討論滲透率隨基質壓力（裂隙壓力不變）和裂隙壓力（基質壓力不變）的演化規律。

當裂隙壓力不變時，儲層滲透率隨基質壓力的演化規律如圖4 所示。由圖4 可以看出，當裂隙壓力不變時，隨著基質壓力的降低，滲透率先平緩地下降，當基質壓力下降到一定程度時，滲透率出現反彈，然后迅速增大。裂隙壓力越小，隨著基質壓力的下降，滲透率下降得越急劇，則隨后反彈得越劇烈。滲透率之所以隨基質壓力降低出現反彈現象，是因為基質變形和氣體解吸對滲透率的影響是相反的。

圖4 滲透率隨基質壓力（裂隙壓力不變）的演化規律Fig. 4 Evolution of permeability with matrix pressure(fracture pressure is constant)

當基質壓力不變時，儲層滲透率隨裂隙壓力的演化規律如圖5 所示。由圖5 可以看出，當基質壓力不變時，滲透率隨裂隙壓力的下降逐漸增大，滲透率沒有出現反彈。基質壓力越大，滲透率增大得越急劇。隨著裂隙壓力的降低，滲透率之所以沒有出現反彈現象，是因為本研究在建立滲透率模型時不考慮氣體對裂隙的吸附作用。

圖5 滲透率隨裂隙壓力（基質壓力不變）的演化規律Fig. 5 Evolution of permeability with fracture pressure(matrix pressure is constant)

3 模型參數對滲透率的影響

本研究所建立的煤系氣儲層滲透率解析模型表明，滲透率的主要影響因素為彈性模量、泊松比、初始孔隙壓力、初始滲透率、初始裂隙間距等。下面將分別分析上述因素對儲層滲透率的影響。

模型參數對儲層滲透率的影響如圖6 所示。由圖6(a)可知，泊松比越小，隨著孔隙壓力的下降，滲透率變化越平緩，但是滲透率反彈越劇烈。由圖6(b)可知，彈性模量越大，隨著孔隙壓力的下降，滲透率變化得越平緩，但是滲透率反彈越劇烈。由圖6(c)可知，初始孔隙壓力不同時，滲透率隨著孔隙壓力的下降呈現出相同的變化趨勢，孔隙壓力下降初期，滲透率急劇下降，當壓力下降到某一數值時，出現急劇的反彈現象。由圖6(d)可知，當初始滲透率相同時，初始裂隙間距越大，隨著孔隙壓力的下降，滲透率下降越劇烈，滲透率反彈越劇烈。由圖6(e)可知，當初始裂隙間距相同時，初始滲透率越小，滲透率下降越劇烈，滲透率反彈越劇烈。

圖6 模型參數對滲透率的影響Fig. 6 Effects of model parameters on permeability

綜上所述，泊松比越小，儲層滲透率反彈越劇烈；彈性模量越大，滲透率反彈越劇烈；初始孔隙壓力對滲透率反彈趨勢影響較小；當初始滲透率相同時，初始裂隙間距越大，滲透率反彈越劇烈；當初始裂隙間距相同時，初始滲透率越小，滲透率反彈越劇烈。

4 結 論

（1）考慮氣體在基質中的動力學擴散作用，基于多孔彈性力學理論，建立了煤系氣儲層的有效應力-滲透率解析模型，分別推導了儲層在常體積條件和單軸應變條件下的滲透率模型。該模型表明，彈性模量、泊松比、初始孔隙壓力、初始滲透率、初始裂隙間距是影響儲層滲透率的主要因素。

（2）分別利用San Juan 盆地現場實測的滲透率數據以及室內實驗測試的滲透率數據驗證了模型的有效性。結果表明，當考慮氣體在基質中的動力學擴散作用時，單軸應變條件下的滲透率模型隨孔隙壓力的演化規律和實驗測試的滲透率演化規律基本吻合。C-M 模型（未考慮氣體在基質中的動力學擴散作用）體現的滲透率演化規律與實驗測試的滲透率演化規律的誤差較大。因此，在建立滲透率模型時，必須考慮氣體在基質中的動力學擴散作用，不能簡單地認為基質壓力等于裂隙壓力。

（3）滲透率隨著壓力的降低而減小，當壓力下降到一定程度時，由于基質變形和氣體解吸對滲透率的影響是相反的，進而導致滲透率開始出現反彈。

（4）在孔隙壓力下降初期，泊松比越大，彈性模量越小；初始裂隙間距越大（初始滲透率不變），初始滲透率越小(初始裂隙間距不變)，滲透率下降越劇烈。在孔隙壓力下降后期，泊松比越小，彈性模量越大；初始裂隙間距越大（初始滲透率不變），初始滲透率越小（初始裂隙間距不變），滲透率反彈越劇烈。