基于幾何畫板技術的問題提出教學策略探究

王文義 朱惠英 何男

摘 要：本節(jié)課運用問題提出教學模式，循序漸進，層層設問，引導學生探究歸納出指數(shù)函數(shù)定義。運用幾何畫板動態(tài)效果，生動形象地繪制出指數(shù)函數(shù)的圖像，讓學生對知識函數(shù)的定義和性質體會更深。同時在學習指數(shù)函數(shù)的過程中滲透辯證唯物主義的思想，把學生培養(yǎng)成為具有哲學思想的人。

關鍵詞：指數(shù)函數(shù);底數(shù);指數(shù);辯證唯物主義

一、 創(chuàng)設情境，引入實例

教師提出問題：同學們玩過折紙嗎？你相信一張紙能帶你上月球嗎？帶著這個問題，我們來進入今天的學習內(nèi)容。

接下來教師播放1分10秒的小視頻《指數(shù)爆炸》，并請學生在觀看后回答問題：折紙的過程中，紙張的哪兩個屬性會發(fā)生變化？

學生回答：紙的厚度和面積。

教師：假設一張紙的厚度為1個單位，面積為1個單位。理想狀態(tài)下，如果不考慮紙的延展性，這張紙可以折疊無數(shù)次。當這張紙折疊1次，2次，3次，乃至x次時，你能推算出紙的厚度和紙的面積分別是多少嗎？請同學們通過小組合作，完成下表。（小組合作探究后請兩個小組代表發(fā)言）

學生填寫表格：

折疊次數(shù)紙的厚度紙的面積

12=2112=121

24=2214=122

38=2318=123

………

x2x12x

教師：由表格，我們能得到哪兩個函數(shù)解析式呢？

學生：一是紙折疊后的厚度與折疊次數(shù)的函數(shù)y=2x，二是紙折疊后的面積與折疊次數(shù)的函數(shù)y=12x。

設計意圖：學生通過反復折疊紙的操作過程，分別抽象出指數(shù)函數(shù)y=2x，y=12x，既滿足了指數(shù)函數(shù)按底數(shù)劃分的兩類函數(shù)，又滿足了教材上所舉的函數(shù)例子，達到了靈活處理教材的目的。紙在反復折疊的過程中，隨著折疊次數(shù)的增加，厚度呈指數(shù)型增長，而面積卻呈指數(shù)型減少，學生可初步感受由底數(shù)不同帶來的指數(shù)函數(shù)性質的不同，充分經(jīng)歷從數(shù)學情境中抽象出指數(shù)函數(shù)特例的過程，為后面引出指數(shù)函數(shù)的概念做鋪墊。

二、 討論底數(shù)，歸納結論

教師提出問題：函數(shù)y=2x，y=12x，與我們之前所學的函數(shù)有何不同？

（提示：未知數(shù)的位置在哪？）

教師：像這種指數(shù)位置為x，底數(shù)位置為常數(shù)2或者12的函數(shù)，我們稱之為指數(shù)函數(shù)。也就是說，形如y=ax的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)（此時板書定義的一部分）。大家還能舉幾個例子嗎？

教師提出問題：底數(shù)a為負數(shù)可不可以？如y=-3x。

學生回答：指數(shù)函數(shù)底數(shù)為負數(shù)會導致某些值沒有意義，比如x=12。

教師：為了讓x取遍所有的實數(shù)，規(guī)定指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為正數(shù)，即底數(shù)a>0。

教師提出問題：除了底數(shù)a>0，同時底數(shù)還要滿足什么條件？

學生回答：底數(shù)不等于1。當?shù)讛?shù)a=1，那么1x=1，沒有研究的意義。

教師繼續(xù)板書補充指數(shù)函數(shù)的定義：形如y=ax（a>0，且a≠1）的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)。

設計意圖：指數(shù)函數(shù)是高中階段學習的第一個函數(shù)，不同于初中學的函數(shù)。引導學生觀察指數(shù)函數(shù)底數(shù)位置和指數(shù)位置，未知數(shù)x在指數(shù)位置，再辨析底數(shù)a的取值范圍，這一過程經(jīng)歷了特殊到一般，具體到抽象的過程，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

教師介紹指數(shù)函數(shù)的歷史出處：

1748年時，世界著名數(shù)學家歐拉，在著作《無窮分析引論》（Introduction to Analysis of the Infinite）中對指數(shù)函數(shù)進行了明確和詳細的介紹。

設計意圖：讓學生了解指數(shù)函數(shù)的出處和產(chǎn)生時間，有利于讓學生了解知識產(chǎn)生的背后，數(shù)學家起著重要的作用。

【例1】 下列函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)。

（1）y=2·3x

（2）y=-3x（系數(shù)錯誤）

（3）y=（-4）x（底數(shù)錯誤）

（4）y=x3（指數(shù)錯誤）

（5）y=3-x

（6）y=πx（正確）

當學生回答正確時，追問學生回答為什么不是指數(shù)函數(shù)，分別表揚學生突破了系數(shù)、指數(shù)、底數(shù)錯誤關卡。

接著，教師幫助學生總結判斷一個函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）需滿足的條件：（1）系數(shù)為1;（2）底數(shù)a>0，且a≠1;（3）指數(shù)位置僅有自變量x。

設計意圖：例題1有利于加深學生對指數(shù)函數(shù)概念的理解與掌握，同時通過關卡這一游戲氛圍，激發(fā)學生的學習興趣。

三、 對象階段：利用技術，探索性質

教師：研究函數(shù)一般從函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質，你還記得用什么方法畫函數(shù)的圖像嗎？

學生回答：描點法。

教師提問：你能用描點法畫出指數(shù)函數(shù)y=2x的函數(shù)圖像嗎？

學生畫好圖像后，教師也用幾何畫板展示出圖像（這里可以適當表揚學生）

設計意圖：學生動手操作，初步感知指數(shù)函數(shù)的圖像，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。

教師提出問題：同學們現(xiàn)在可以根據(jù)這個特殊的函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的性質，如奇偶性、周期性、對稱性、單調性嗎？

學生搖搖頭說：發(fā)現(xiàn)它在定義域上單調遞減的。

教師：除了這一點，別的發(fā)現(xiàn)不了對不對？回到我們指數(shù)函數(shù)的定義，同學們有沒有注意到指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是會變化的呢？

學生：對，會變化。

教師：那我們可不可以利用底數(shù)的變化來找到指數(shù)函數(shù)的性質呢？其實，馬克思的辯證唯物主義思想給了我們答案。我們一起來看一下。馬克思曾說，事物的運動發(fā)展是變與不變的統(tǒng)一。我們要認識與把握不變中有變，變中有不變。這個“變中有不變”即如：雖然我國成為世界第二大經(jīng)濟體，經(jīng)濟實力和綜合國力顯著增強，但我國仍處于并將長期處于社會主義初級階段的基本國情沒有變。所以我們?nèi)孕璨粩嗯?，不斷奮斗。那么，同學們說，我們應如何利用“變中有不變”這一思想來發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)蘊含的規(guī)律呢？