巧用三角反代換 單位圓中破疑難

魏 榜 胡鳳娟 張 茜

(首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院 100048)

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著相當(dāng)重要的地位，在全國卷高考中大約占20至30分.但在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在求解三角方程問題時難以精確確定角的范圍，容易出現(xiàn)多解漏解等情況.許多題目的解答過程嘗試了多種方法對角的范圍進(jìn)行限制，但大多是通過運(yùn)算的技巧來縮小角的范圍，然而技巧較多，適應(yīng)范圍也較為局限，尚無一般通法.

筆者通過研究，在任意角三角函數(shù)值定義的基礎(chǔ)上總結(jié)出了一套通過數(shù)形結(jié)合解三角方程以及三角不等式的通用方法——三角反代換法，可有效解決上述問題.

我們知道，三角代換是數(shù)學(xué)中常用的換元法之一，它能夠利用三角函數(shù)的性質(zhì)將代數(shù)或幾何問題轉(zhuǎn)化成三角問題，合理的代換將會使求解過程簡單化，甚至使一些很難求的問題快速求解.那么，“三角反代換”會有什么樣的妙用呢？

一、三角反代換與單位圓

二、三角反代換用法舉例分析

三角反代換的用法可分為兩大類，一是數(shù)形結(jié)合在單位圓中確定角的具體位置；二是將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)或幾何問題.接下來將逐一介紹：

1.確定角的位置：解三角方程和三角不等式

三角反代換后作出函數(shù)f(x,y)=0圖像，通過其與單位圓的交點(diǎn)可以確定角的終邊，也就是確定了角的位置.下面以例1為例，詳細(xì)說明三角反代換的具體步驟.

圖1 圖2

評注可以看出在確定角所在象限估算角的范圍時，三角反代換是一個非常簡潔的方法，通過數(shù)形結(jié)合能夠直觀地看出角的大小，在不追求準(zhǔn)確計(jì)算時非常實(shí)用，能起到出奇制勝的效果.

三角反代換不僅能解三角方程，還能解三角不等式，請看例2.

例2 解不等式tan<1.

圖3 圖4

圖5

評注例2及其變式示范了三角反代換在求解三角不等式時的用法，它能夠借助函數(shù)圖像將三角不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式問題，使三角不等式與函數(shù)緊密相連，體現(xiàn)了函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化思想.

2.將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題或幾何問題

(1)f(x,y)=0為直線型

圖6

評注許多教師對此題進(jìn)行過深入研究，提出的解法有十余種之多，常見的有解方程、平方處理、萬能公式法，也有比較新奇的向量法、求導(dǎo)法等，代數(shù)換元法、柯西不等式法、輔助角法、單位圓法等.這些解法大致可以分為兩類，一類是想方設(shè)法建立方程；另一類是抓住最值進(jìn)行構(gòu)造，通過滿足最值所需條件求解tanθ.

圖7

評注此題以直線與圓的幾何關(guān)系為背景考察了三角關(guān)系式的證明，有一定綜合性.解題關(guān)鍵在于構(gòu)造直線與單位圓相交的模型，進(jìn)而挖掘目標(biāo)式的幾何意義即可求證.需要特別注意的是，由于直線與圓的特殊位置關(guān)系，在三角函數(shù)中也應(yīng)該蘊(yùn)含有與之對應(yīng)的豐富的關(guān)系式等待讀者的挖掘.

例5(2017全國二卷文科13)函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值為____.

評注此題是典型的三角函數(shù)問題，常見解法是借助輔助角公式和三角函數(shù)圖像進(jìn)行求解.上述解法通過挖掘三角函數(shù)隱含的平方和關(guān)系，將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，又通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為幾何問題.

(2)f(x,y)=0為曲線型

例6 (2018全國理科一卷16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

本題由人教A版導(dǎo)數(shù)章節(jié)教材復(fù)習(xí)題稍加改變而來.許多教師對此題作了非常深入的研究，提出了多種解法，有常規(guī)的導(dǎo)數(shù)法，技巧性較強(qiáng)的基本不等式法，運(yùn)算量較大的均值不等式法，還有構(gòu)造單位圓內(nèi)接三角形的構(gòu)造模型法等，思路新穎.筆者結(jié)合三角反代換，分析一種新的解題方法.

圖8

評注與導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法等其他方法相比，三角反代換思路“新奇”，充分挖掘三角函數(shù)的隱含條件，為解決三角最值問題提供了一條全新的思路.能解決一些導(dǎo)數(shù)所不能解決的問題，如求f(x)=sinx+cosx+sin2x的最值.

三、教學(xué)建議

2017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中特別指出：在三角函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)發(fā)揮單位圓的作用.三角反代換在單位圓中的應(yīng)用兼具思想性、實(shí)用性與新穎性等特點(diǎn)，契合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，不僅集中體現(xiàn)了眾多數(shù)學(xué)思想方法，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美！

在教學(xué)過程中教師要注意啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生體會幾個重要的轉(zhuǎn)化過程，注意思想方法的滲透，讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化思想的奇妙.筆者認(rèn)為重要的轉(zhuǎn)化過程有：

①換元，將cosθ和sinθ換元為x和y.

③兩曲線交點(diǎn)到角θ終邊與單位圓的交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定θ角的位置.

筆者認(rèn)為三角反代換是眾多核心知識點(diǎn)、核心思想方法的交匯處，其教學(xué)對于提高學(xué)生的綜合能力、培養(yǎng)學(xué)生思維、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想方法大有益處.

數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“一個想法使用一次是技巧，經(jīng)過多次的使用就可以成為一種方法”.三角反代換在解三角方程、三角不等式等問題時有顯著優(yōu)勢，尤其是在確定角的范圍、估計(jì)角的大小時使用方便靈活.三角反代換豐富了單位圓的應(yīng)用，既體現(xiàn)了坐標(biāo)定義三角函數(shù)的優(yōu)勢，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、綜合應(yīng)用知識的能力.此外，三角反代換還實(shí)現(xiàn)了三角函數(shù)問題到幾何或代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化，為解決三角函數(shù)問題打開了一扇新的大門！筆者水平有限，本文實(shí)乃拋磚引玉，期待讀者朋友們對三角反代換進(jìn)行更加深入的研究，探尋三角函數(shù)更深處的奧秘！