復(fù)數(shù)與三角齊飛 共軛與模長聯(lián)袂

謝賢祖

(華南師大附中汕尾學(xué)校 516600)

一、源于教材，高于教材

在原來的舊教材人教A版選修2-2中，對復(fù)數(shù)的模長與共軛提及甚少，只是簡單的介紹，不太重視.而在2019年人教A版第二冊中，復(fù)數(shù)的地位得到提升，不僅給出了求復(fù)數(shù)模長的訓(xùn)練題，還給出了與數(shù)形結(jié)合有關(guān)的思考題；在2019年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷中，選擇題第2題復(fù)數(shù)也改變了以往的常規(guī)考法，創(chuàng)新了命題方式，2020年的全國Ⅰ卷理科15題也是.具體題目展示如下，由于題目簡單，詳細(xì)解答略.

例1(2017人教A版第二冊72頁)在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)|z|=1;(2)1<|z|<2.

例2 (2019全國Ⅰ卷第2題)z滿足|z-i|=1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)，則( ).

A．(x+1)2+y2=1 B．(x-1)2+y2=1

C．x2+(y-1)2=1 D．x2+(y+1)2=1

在新教材2019年人教A版第二冊中則增加了復(fù)數(shù)的三角表示，而且內(nèi)容詳實(shí)，“三角表示”本是競賽數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如今也漸漸走入教材，無不凸顯復(fù)數(shù)地位的提升. 復(fù)數(shù)本身就是溝通向量與三角函數(shù)的重要載體，所以對其進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，無論是對自招與競賽考試而言，還是對有志參加強(qiáng)基計(jì)劃的學(xué)生來說，都是大有裨益. 如果只是應(yīng)對高考，課本知識足矣.但要應(yīng)對更難的題目還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.下面補(bǔ)充一些課本未曾提及的復(fù)數(shù)模長與共軛的性質(zhì).

二、共軛復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)

三、自主招生與競賽真題解析

例6 (2020浙江高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則當(dāng)|1+z+3z2+z3+z4|取得最小值時(shí)，復(fù)數(shù)z=____.

例7 (2020新疆高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|1+iz+z|的最小值為____.

總結(jié)本題綜合性強(qiáng)，用到了很多豐富的結(jié)論，現(xiàn)總結(jié)如下.

(1)實(shí)系數(shù)一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的“虛根成對”，這是舊版教材和新教材都有介紹的知識，值得重視.

(3)本題還用到了常見結(jié)論：1-ωn=(1-ω)(1+ω+…+ωn-1)

(5)棣莫佛定理[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)也是重點(diǎn)公式.

復(fù)數(shù)的三角形式已經(jīng)進(jìn)入新教材，高考對復(fù)數(shù)的考查難度也發(fā)生變化，未來復(fù)數(shù)在高考、自主招生、各類競賽中的地位會(huì)越來越高，值得我們重視.本文主要展示共軛與模長的“聯(lián)袂”解題以及復(fù)數(shù)三角形式的應(yīng)用，而復(fù)數(shù)是溝通三角函數(shù)和向量的重要載體，它所包含的知識和性質(zhì)數(shù)不勝數(shù)，筆者的研究只是冰山一角，還需砥礪前行繼續(xù)研究，希望對讀者有所幫助，文中若有不正之處，還望同行批評指正.