加強審題 培養(yǎng)素養(yǎng)

許銀伙

(福建省泉州外國語學(xué)校 362000)

審題是解題的基礎(chǔ)，是解題的必備工作.審得清楚，才不會犯不必要的失誤或誤入歧途.審得深入，才能把握問題的實質(zhì)，挖掘隱含的條件；才能理清條件與結(jié)論的關(guān)系，準(zhǔn)確找到解決的切入點.審得認(rèn)真，才能記憶深刻，形成以后解題的借鑒，形成能力.加強審題教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升思維品質(zhì)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高解題能力.下面介紹幾種常用的審題方法與方向.

一、往概念上審

圖1 圖2

分析要解決球的問題，肯定是解決球心和球的半徑.尋找球心，必須考慮球的概念：球心到球面上任一點的距離都等于球的半徑.本題由已知條件易得ΔABP是以AB為斜邊的直角三角形，AB中點D是ΔABP的外心，則過D作平面PAB的垂線l1，可得l1上任一點到P、A、B的距離相等，同理過正ΔABC的外心作平面ABC的垂線l2，可得l2上任一點到A、B、C的距離相等，則三棱錐P-ABC的外接球的球心是l1與l2的交點.

(2)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，ΔABC是邊長為2的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積是____.

分析本題三棱錐P-ABC的外接球球心O不容易利用已知條件直接找出，可以考慮利用長方體和正方體的特性：它們的對角線的中點到各個頂多距離相等，對角線就是其外接球的直徑.通過補形解決.

圖3

評注1. 概念是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，外接球問題首先要想到的是球心到球面上點的距離都等于半徑.然后再考慮是直接找到球心，求出半徑；還是補形求出半徑，還是通過建立空間直角坐標(biāo)系，算出球心坐標(biāo)，求出半徑.

二、往基本模型審

分析題中已知條件含有平面平行，線線垂直，線面角和線線角的大小，然后求異面直線角的大小.如果單純作平面和直線圖形，不容易理清線面和線線的位置關(guān)系，但如果利用已知條件，以熟悉的多面體或旋轉(zhuǎn)體模型為載體幫助分析，問題將變得直觀明了.

分析題中A1P為定值，點A1到平面AB1D1距離也是定值，所以點P的軌跡是圓，可以通過構(gòu)造圓錐的模型進(jìn)行探索.

圖5

圖6

點評培養(yǎng)空間想像能力是立體幾何的主要任務(wù)，把抽象知識或已知條件轉(zhuǎn)變成具體圖形，本身就是對空間想像能力的培養(yǎng)和體現(xiàn)，因此新課程強調(diào)運用幾何體的模型理解、掌握和運用知識.教材中體現(xiàn)比較多的是多面體模型，平時的解題還需關(guān)注和重視旋轉(zhuǎn)體模型的應(yīng)用，提高想像和化歸能力.

三、往基本公式審

分析本題含有兩個未知數(shù)a和b，且含有a的絕對值整式、分式的和，如果對a分類討論，顯然很麻煩，因此考慮利用已知條件，把求解式子變形，運用基本不等式求最小值.

點評運用基本不等式和絕對值的三角形不等式求最值，或者證明不等式，是高考常見的命題模式.也是考查的熱點知識.考試時不一定會那么直接，需要認(rèn)真審題，大膽設(shè)想，準(zhǔn)確變形，才能達(dá)到目的.

四、往基本原理審

分析看到含兩個參數(shù)的最小值問題，很容易想到運用基本不等式解決，但本題并不能夠構(gòu)造出符合一正二定三相等的條件，所以需要另辟蹊徑，回歸到最基本的原理，利用條件，化兩個變量為單個變量去探尋.

點評關(guān)于含有兩個正數(shù)的代數(shù)式最值問題，通常會想到運用基本不等式，但有些問題不容易變形出符合求最值的條件，或者不能運用這種方法，這時的解決策略需要回歸到基本原理，利用條件化兩變量為單變量，然后考慮運用函數(shù)性質(zhì)解決.本題的解決還需要觀察分析能力，運算與變形能力，換元思想，函數(shù)思想.

五、往條件和結(jié)論的特點審

(1)求橢圓C的方程；

點評本題是常見題型，條件中含有向量共線的表達(dá)形式，一定要認(rèn)真審題，恰當(dāng)引入?yún)?shù)和選擇直線方程的形式，以便在方程聯(lián)立消元時能使向量共線以簡潔的坐標(biāo)關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理.因為直線方程上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)是一一對應(yīng)關(guān)系，選橫坐標(biāo)和選縱坐標(biāo)體現(xiàn)是等價的.

求解本題的易錯點：①漏掉直線MN的斜率不存在的情況；②忽視直線與圓錐曲線相交，判別式大于零.

六、往基本法則審

例題6 (2019泉州市單科質(zhì)檢理科20)已知ΔABC中，B(-1,0)，C(1,0)，AB=4，P在AB上，且∠BAC=∠PCA.

(1)求點P的軌跡E的方程；

分析本題第二問牽涉直線與圓錐曲線交點和斜率的差的比值，運算量肯定不小，如何減少運算量，除了考慮幾何性質(zhì)的挖掘利用外，還需要考慮利用條件和結(jié)論的特點，巧設(shè)參數(shù)，快速找到未知數(shù)量的關(guān)系.題中點C和點Q的橫坐標(biāo)相同，因此引進(jìn)直線l的斜率作為參數(shù)，還是引進(jìn)斜率的倒數(shù)作為參數(shù)，將對問題求解的復(fù)雜度有所影響.

七、往幾何性質(zhì)審

例7 已知圓x2+y2=4上一點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P,Q是圓上的動點.

(1)求線段AP中點的軌跡方程；

(2)若∠PBQ=90°，求線段PQ中點的軌跡方程.

分析關(guān)于圓的弦中點的軌跡問題，如果按純代數(shù)運算的方法，運算量不小；第(2)小問因為牽涉到三個變量，不僅運算量很大，而且會很復(fù)雜，不容易求出，但如果運用圓的幾何性質(zhì)，問題的解決可能會變得簡單很多.

圖7

解答(1)設(shè)線段AP中點為M，由已知得：OM⊥AM，所以點M在以O(shè)A為直徑的圓上，則線段AP中點的軌跡方程是(x-1)2+y2=1.

點評數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想和方法，它對問題的解決有極大的幫助，有時是捷徑，有時是必需.幾何性質(zhì)的應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合后解決幾何問題的捷徑.遇到有關(guān)圓的問題，一定要關(guān)注圓的相關(guān)性質(zhì)：垂徑分弦定理，弧所對的圓周角是圓心角的一半，直徑所對的圓周角是直角等.

八、往題型特點審

例8 (2019年12月百校聯(lián)考文科12)已知函數(shù)f(x)=4|x+2|+cosπx，則f(4x-7)≤3的解集為( ).

分析本題函數(shù)式中含有絕對值和超越函數(shù)，運用分段去絕對號不容易求出正確結(jié)論.作為選擇題，依據(jù)題型特點，可以運用選擇題的結(jié)果驗證和排除，從而得到正確選擇.在驗證排查時還要注意衡量，選哪些端點值會比較快.

點評不同的題型有不同的考查功能，相應(yīng)地有不同的解題方法和解題策略.對一些高難度的選擇題，應(yīng)考慮它的題型特性，運用排除法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合等非常規(guī)方法，避免小題大做，培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性，優(yōu)化思維品質(zhì).

“萬丈高樓平地起”.學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化與能力提升，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不可一蹴而就，也不可拔苗助長，只能遵循教育規(guī)律，腳踏實地，循序漸進(jìn)，充分挖掘每個知識點，每個例習(xí)題的培養(yǎng)價值.加強審題教學(xué)，是達(dá)成教育目標(biāo)的有效途徑.