關注問題本質 提升數學素養

傅建民

(陜西省咸陽市渭城中學 712000)

在大多數情況下，人們解題往往是就題解題，解答完成以后，沒有反思的習慣.事實上，在很多情況下，雖然是正確的解答，有時甚至是非常巧妙的解答，但不一定是揭示問題本質的解答.

(1)討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；

該問題有多種解法(見文[1])，這里不贅述，但是本人認為沒有一種解法揭示問題的本質，下面的思路探求旨在揭示問題本質.(僅針對第Ⅱ問)

?x1·lnx1-1=x1+lnx1

例題2已知甲盒中有m個紅球，n個藍球，乙盒中有m-1個紅球，n+1個藍球(m≥3,n≥3)，同時從甲乙兩個盒子中各取出i(i=1,2)個球進行交換.

小說將完全對立的兩個人物安排在一起，一崇高、一鄙俗；一理想、一現實；兩種視角針鋒相對，又相互穿插、碰撞，最后彼此成就從而使作品達到一種獨特的完滿的藝術效果。讀者看到作品中變化著角度的世界，既獲得共鳴也產生思考。

(1)交換后，從甲盒中取一個球是紅球的概率記為pi(i=1,2)，

(2)交換后，乙盒中含有紅球的個數記為ξi(i=1,2).則( ).

A.p1>p2Eξ1>Eξ2B.p1>p2Eξ1

C.p1Eξ2D.p1

首先我們來計算p1與Eξ1

從甲乙兩個盒子中各取1個球進行交換，有下列四種情況：從甲盒中取一個紅球，從乙盒中取一個紅球；從甲盒中取一個紅球，從乙盒中取一個藍球；從甲盒中取一個藍球，從乙盒中取一個紅球；從甲盒中取一個藍球，從乙盒中取一個藍球；

所以p1=[m(m-1)m+m(n+1)(m-1)+n(m-1)(m+1)+n(n+1)m]/(m+n)3=[(m3-m2)+(m2n+m2-mn-m)+(m2n-n)+(mn2+mn)]/(m+n)3=[m3+2m2n-m-n+mn2]/(m+n)3=[m(m+n)2-(m+n)]/(m+n)3>m/(m+n)

Eξ1=[m(m-1)(m-1)+m(n+1)m+n(m-1)(m-2)+n(n+1)(m-1)]/(m+n)2=[(m2-m)(m-1)+(n+1)m2+(mn-n)(m-2)+(n2+n)(m-1)]/(m+n)2=[(m3-2m2+m)+(m2n+m2)+(m2n-3mn+2n)+(mn2+mn-n2-n)]/(m+n)2=[m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n]/(m+n)2=[m(m+n)2-(m+n)2+m+n]/(m+n)2=[(m-1)(m+n)2+(m+n)]/(m+n)2>m-1

下面我們來計算p2與Eξ2

從甲乙兩個盒子中各取兩個球進行交換，有下列九種情況：從甲盒中取兩個紅球，從乙盒中取兩個紅球；從甲盒中取兩個紅球，從乙盒中取兩個藍球；從甲盒中取兩個紅球，從乙盒中取一個紅球一個藍球；從甲盒中取一個紅球一個藍球，從乙盒中取兩個紅球；從甲盒中取一個紅球一個藍球，從乙盒中取兩個藍球；從甲盒中取一個紅球一個藍球，從乙盒中取一個紅球一個藍球；從甲盒中取兩個藍球，從乙盒中取兩個紅球；從甲盒中取兩個藍球，從乙盒中取兩個藍球；從甲盒中取兩個藍球，從乙盒中取一個紅球一個藍球；

p1=(m3+2m2n-m-n+mn2)/(m+n)3=(m3+2m2n-m-n+mn2)(m+n-1)2/(m+n)3(m+n-1)2=(m5+4m4n+6m3n2+4m2n3+mn4-2m4-6m3n-6m2n2-2mn3-m2n-2mn2-n3+2m2+4mn+2n2-m-n)/(m+n)3(m+n-1)2

p1-p2=(m3+3m2n+3mn2+n3-2m2-4mn-2n2+m+n)/(m+n)3(m+n-1)2=[(m3-2m2)+(3m2n-4mn)+(3mn2-2n2)+n3+m+n]/(m+n)3(m+n-1)2=[m2(m-2)+mn(3m-4)+n2(3m-2)+n3+m+n]/(m+n)3(m+n-1)2

因為m≥3，所以p1-p2>0?p1>p2

Eξ1=[(m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n]/(m+n)2=[(m3+2m2n+mn2-m2-2mn-n2+m+n)(m+n-1)2]/(m+n)2(m+n-1)2=(m5+4m4n+6m3n2+4m2n3+mn4-3m4-10m3n-12m2n2-6mn3-n4+4m3+11m2n+10mn2+3n3-3m2-6mn-3n2+m+n)/(m+n)2(m+n-1)2

Eξ2-Eξ1=(m3+3m2n+3mn2+n3-2m2-4mn-2n2+m+n)/(m+n)2(m+n-1)2=[(m3-2m2)+(3m2n-4mn)+(3mn2-2n2)+n3+m+n]/(m+n)2(m+n-1)2=[m2(m-2)+mn(3m-4)+n2(3m-2)+n3+m+n]/(m+n)2(m+n-1)2

因為m≥3，所以Eξ2-Eξ1>0?Eξ2>Eξ1

上述解法雖然是處理這類問題的通法，但是不是該問題的本質解法.同時上述解法計算量較大，很容易出現錯誤，不過該問題屬于選擇題，當然可以取m=n=3，這樣可以節省許多計算量，但是賦值法仍然不是該問題的本質解法.該問題的本質是不通過計算，能否判斷p1與p2，Eξ1與Eξ2大??？下面的思路探求旨在揭示問題本質.

思路探求：設在未做交換(初始狀態)時從甲盒中取一個球是紅球的概率p0，乙盒中含有紅球的個數記為ξ0，因為從甲盒中取一個球是紅球的概率大于從乙盒中取一個球是紅球的概率，同時從甲乙兩個盒子中各取出一個球進行交換，那么甲盒中紅球數的期望值會減少，乙盒中紅球數的期望值會增加.因此有p1ξ0

從甲乙兩個盒子中各取1個球暫時不進行交換，甲乙兩個盒子中剩余球的情況有下列四種：

(1)從甲盒中取一個紅球，從乙盒中取一個紅球；

甲盒中剩余m-1個紅球，n個藍球，乙盒中剩余m-2個紅球，n+1個藍球.此時從甲盒中取一個球是紅球的概率大于從乙盒中取一個球是紅球的概率，

(2)從甲盒中取一個紅球，從乙盒中取一個藍球；

甲盒中剩余m-1個紅球，n個藍球，乙盒中剩余m-1個紅球，n個藍球.此時從甲盒中取一個球是紅球的概率等于從乙盒中取一個球是紅球的概率，

(3)從甲盒中取一個藍球，從乙盒中取一個紅球；

甲盒中剩余m個紅球，n-1個藍球，乙盒中m-2個紅球，n+1個藍球.此時從甲盒中取一個球是紅球的概率大于從乙盒中取一個球是紅球的概率，

(4)從甲盒中取一個藍球，從乙盒中取一個藍球；

甲盒中剩余m個紅球，n-1個藍球，乙盒中m-1個紅球，n個藍球.此時從甲盒中取一個球是紅球的概率大于從乙盒中取一個球是紅球的概率，

綜上所述，第一次從甲乙兩個盒子中各取1個球進行交換后，第二次從甲乙兩個盒子中各取1個球(排除第一次交換的球)，從甲盒中取一個球是紅球的概率不小于從乙盒中取一個球是紅球的概率，因此我們有結論p2Eξ1.