基于能量的振型優化減振分析方法

彭子祥 焦 柯

（廣東省建筑設計研究院有限公司，廣州510010）

0 引 言

隨著我國城市化進程的發展，給建筑結構提出了更高的要求，當前城市建筑體系更加多樣，構造更加復雜，外形更加美觀，也因此涌現了大量的超高層、大跨度結構，其中不乏各城市的地標建筑。與此同時，這也給結構工程師帶來了極大的考驗，復雜的結構體系無疑將加大結構設計的難度，尤其是結構的抗震問題很多情況都是控制結構設計的關鍵因素。而保證結構在滿足規范設計要求的前提下，改善經濟成本效益，便是優化需要解決的問題。目前以BESO［1］雙向漸進法為思想開發的結構拓撲優化軟件可在僅確定結構荷載作用及其大體尺寸的條件下，通過迭代在方案階段搜尋受力傳力效率最高的結構形式、體系及尺寸，但這種方式出來的方案通常不能直接用于設計，模型還需進一步處理簡化；而在給定的結構體系和布置下，例如 Optistruct［2］、GSOPT［3］可完成構件敏感性分析優化，但其優化算法通常需要經過多次迭代，對計算機資源及性能有一定要求，實際結構工程應用較少。

而本文所提出的優化方法，旨在從能量的角度引導工程師對結構動力特性進行深入認識，理解結構受力傳力規律，有針對性地進行優化調整。以結構抗震為例，高層建筑的地震響應通常會由多階振型控制，起控制作用的可能會是某一高階振型，本文提出的基于能量的振型優化方法，可針對某一特定振型進行優化調整，找出對該階振型振動影響最為敏感的構件，以實現用最小的代價將該階振動頻率調整至最優值，改善結構的振動問題，達到高效的減震效果。

1 基本原理

1.1 多自由度體系振型疊加法原理

有阻尼多自由度體系的運動方程［4-5］

假設體系的振型和自振頻率已預先求得，將位移向量用振型展開：

進而推得：

分別為第n階振型的廣義（振型）質量、廣義（振型）阻尼、廣義（振型）剛度和廣義（振型）荷載。

式（6）可看作單自由度體系運動方程，因此Mn和Kn的有如下關系：

將式（18）方程兩邊同時除以Mn

便得到了等效單自由度體系的強迫振動方程，可用 Duhamel 積分、Fourier 變換等求得qn（t）后，用將N個振型反應疊加即可得到多自由度體系在任一時刻的位移。

1.2 基于能量的振型優化算法

由上節推導可知，結構的動力響應可以拆分成多個等效單自由度體系的振動再疊加而成，因此，如若能找到控制結構響應的某一階或幾階振型，并通過一定方式降低該階振型的峰值響應（如峰值加速度），便能快速減小結構總體響應。對于給定的地震激勵，可計算得到其對應的反應譜，找到各階振型對應的加速度峰值，從而確定對結構動力響應影響較大的振型。而本文提出的優化算法，便是通過快速調整控制結構振動的某一階或幾階振型的周期頻率從而快速高效達到減振效果。從式（6）可知，等效單自由度體系振動頻率主要由廣義振型質量Mn和廣義振型剛度Kn決定，當對振型進行正則化后，廣義振型質量Mn=1，且當一個建筑結構的設計方案大體確定后，其自重及附加恒載也基本可以隨之確定，整體沒有很大的變化，因而對于某一階振型的廣義質量Mn而言，其可調節的空間有限，由此可以得出結構在某階振型的廣義剛度Kn基本決定了該階振型的振動頻率。回到式（5），若兩邊同時乘以一微小量δn，將變為

式中，帶橫線上標的內力項為結構在強制節點變形為{φ}n所引起的，不帶橫線上標的內力為結構在節點外力為[K]{φ}n作用下所引起的，n為單元數，m為節點數，Fi代表單元桿端力，di為桿端位移，下標start 與end 分別代表單元的兩端節點，圖1 給出了單元桿端力和桿端位移的方向示意，Ni、Vi、Mi、Ti分別代表單元內任一點軸力、剪力、彎矩和扭矩，Fk代表節點外力，dk為第k個節點位移，圖2給出了節點外力和節點位移的方向示意。

圖1 單元桿端力和桿端位移示意圖Fig.1 Schematic of element end force and element end displacement

圖2 節點外力和節點位移示意圖Fig.2 Schematic of node external force and node displacement

式（12）不僅適用于單元層次，亦適用于整體結構求解，由此可以看出每個構件的剪切、彎曲和扭轉剛度等貢獻都可以獨立表達，結構總外力虛功是由結構所有構件的虛功所疊加而成。

其中，Esi為結構在節點外力為[K]{φ}n作用時第i個單元的應變能，由此可以看到結構在某階振型下的廣義剛度進一步演變為結構所有構件應變能之和的2 倍，構件的應變能占比越大，則對結構的貢獻越大，說明該構件對結構的廣義振型剛度Kn影響越大，因此調整此構件的參數對結構在該階的振動特性的影響最為顯著，這也是本文所提出優化方法的核心思想，并基于該思路，采用結構有限元分析軟件SAP2000和ETABS開放的API接口編制了結構振型優化分析軟件（圖3）。而計算構件的應變能，若采用式（13）中間部分的截面內力沿長度積分將涉及到較為復雜的數值計算，因此編制的程序采用上述表達式第三部分將構件的應變能最終映射到單元兩端節點，通過對各單元的桿端力與節點位移相乘后進行疊加而成。需要在有限元分析軟件中建立一個以某一階振型形狀{φ}n為節點強制位移的分析工況，求得各單元的桿端力，進而計算得到各構件的應變能，量化各構件對廣義剛度Kn的貢獻度，其中最為敏感的構件便是可以在優化中重點關注和調整的構件。下文將通過某一螺旋鋼樓梯的優化案例來驗證該方法的可行性及其應用優勢。

圖3 結構振型優化分析軟件操作界面Fig.3 Operation interface of structural dynamic modal optimization software

2 實際案例優化分析

2.1 工程背景

本工程為某商業建筑大廳用樓梯，建筑美觀要求較高，因而對于樓梯構造要求盡可能做到簡潔開敞，樓梯主體結構布置如圖4 所示，內部主要受力構件材料采用Q235鋼材，外部裝飾采用大理石瓷磚。

圖4 優化前樓梯主體結構示意圖Fig.4 Schematic of main structure before optimization

2.2 優化前樓梯主要構件尺寸

表1列出了樓梯主要構件的截面尺寸。

表1 樓梯主要構件的截面尺寸表Table 1 Section detail table of main components of the stairs

2.3 動力特性分析

對樓梯進行特征值分析，計算了樓梯的前10階振型，每階振型的周期、頻率以及三個平動方向的振型參與質量如表2所示。

表2 樓梯前10階振型信息匯總表Table 2 Summary table of the top 10 vibration mode information of the stairs

由表2 可以看出，結構第一階振型的周期為0.70 s，依據經驗可判斷結構剛度偏弱，將會導致人員在樓梯行走時能感受到明顯振動，且第一階振型的結構豎向參與質量達到60%，可確定該振型為控制結構豎向振動響應的主要振型，因此將重點研究優化該階振型的特性，圖5 為結構第一階振型的形態，變形以豎向振動為主。

圖5 結構第一階振型變形Fig.5 First-order mode deformation of structure

2.4 樓梯優化方案

從結構的動力方程可知，結構的振動特性主要由質量和剛度控制，加大結構的剛度主要有以下兩種方法：①添加額外的約束；②增加構件的剛度。由于該樓梯處于酒店大堂里，對視覺效果要求較高，若增加額外的約束，比如增設支撐柱，則會影響到整體的空間美觀，因此本文擬考慮第二種途徑來解決樓梯的振動問題。增加構件的剛度，最為直觀的便是加大截面的尺寸，但截面尺寸的增加也將帶來結構自重的增大，最終對結構剛度的影響未必是有利的。本文采用了基于能量的振型優化方法，通過增大對結構振動影響較大的構件截面，減小對結構振動影響較小的構件截面，實現用最經濟的途徑達到最佳的的優化效果，改善結構的振動特性。采用自行開發的優化軟件對該模型進行分析后得到了如下結果，圖6 列出了樓梯各構件對第一階振型的敏感程度（或貢獻度），右側圖例中的顏色從淺色到深色分別代表了左側相應顏色構件的貢獻度從小到大的分布，圖中黑色構件為對該階振型貢獻最大的構件，說明變動該構件的截面尺寸對該階振型的周期帶來的影響最為顯著，最終根據計算確定了6 根需要優化的桿件，其余桿件仍保持原截面，如圖7 所示，給出了此次優化構件的空間定位并用引線加以標注了優化后采用的截面尺寸情況。

圖6 各構件對第一階振型敏感度（貢獻度）分布Fig.6 The sensitivity（contribution）distribution of each component to the first-order mode

圖7 優化后樓梯主體結構示意圖Fig.7 Schematic of main structure after optimization

對優化后的模型進行特征值分析，提取了結構前10階的計算結果，如表3所示。

表3 優化后樓梯前10階振型信息匯總表Table 3 Summary table of the top 10 vibration mode information of the stairs after optimization

由表3 計算結果可知，優化后的樓梯第一階振型的周期為0.53 s，相比于優化前的0.70 s，僅有針對性地加大了其中6 根桿件的截面，將結構的基本周期降低了25%，取得了顯著的優化效果，結構的動力特性有明顯改善。下一節將進一步證實對比優化前后結構的動態響應。

2.5 外部激勵的動態響應對比

為了進一步證實對比優化前后的動力特性，采用模擬人跳動的脈沖荷載激勵在樓梯懸臂最大位置處，計算兩個模型全過程動態響應，捕捉獲取該點處的最大加速度及振幅，以此作為評價優化效果的一種指標。如圖8 所示的脈沖荷載模擬了體重為62.5 kg的成人在樓梯上跳動的過程。

圖8 豎向脈沖荷載時程曲線Fig.8 Time history curve of vertical impulse load

經計算，提取了結構優化前后模型激勵點處的加速度和位移時程曲線，分別如圖9 和圖10所示。

圖9 優化前后加載點加速度時程曲線對比Fig.9 Comparison of acceleration time history of loading point before and after optimization

圖10 優化前后加載點豎向位移時程曲線對比Fig.10 Comparison of vertical displacement time history of loading point before and after optimization

經對比可知，結構優化后，加載點的峰值加速度由21.18 mm/s2降為11.46 mm/s2，降幅46%，最大位移由0.64 mm 降為0.29 mm，降幅55%，兩項指標優化效果較為明顯，結構振動問題有很大程度改善。通過分析螺旋鋼梯的特點，可以看出樓梯內圈主梁對結構豎向振動起著關鍵作用，因此僅通過調整內圈幾根主梁截面，就能對結構的動力特性有很大影響，該方法既能保證建筑美觀，又不增加過多的工程量，是可參考的方案之一。

3 結 論

本文提出的基于能量的振型優化方法在計算上具有較高的效率，可快速確定控制結構振動的關鍵構件，有針對性地改善結構的振動問題，高效對結構動力特性進行優化，適用于各種類型的力學結構，尤其是大型超高層建筑結構的優化設計優勢更為明顯，不必多次迭代計算。

對于超高層建筑，設計中需要更多關注高階振型在地震激勵下的響應，有意識地對其振型進行控制和優化，而該方法可進一步引導工程師理解結構體系的受力特點，進行減震優化提供思路。此外，振型優化對于大型復雜結構具有重要作用：

（1）迅速定位和識別有效構件，改善結構剛度，提高材料受力傳力效率，文中以螺旋樓梯為例，通過該方法快速確定了內圈主梁的部分構件是控制結構豎向振動的關鍵構件并有針對性進行加強，取得了良好的減振效果；

（2）可有效快速調節結構的動力特性避開敏感周期，最大程度避免共振效應的產生。

（3）可以最小的代價調整結構的扭轉周期以滿足規范要求；

（4）有意識地提高高階振型的地震剪力貢獻以滿足規范對于結構地震總剪力的要求；

（5）對于有多個加速度峰值的天然地震波譜，控制大震作用下結構損傷后的振型周期避開反應譜波峰。