基于Sum of Squares分解技術(shù)的電力系統(tǒng)魯棒綜合控制方法*

陳明媛, 王 鈞, 周智成, 謝代鈺, 潘連榮

[1.廣西電網(wǎng)公司電力調(diào)度控制中心，廣西 南寧 530012；2.華藍設(shè)計(集團)有限公司，廣西 南寧 530011]

0 引 言

隨著快速電液式調(diào)速系統(tǒng)的發(fā)展，原動機調(diào)速控制在改善電力系統(tǒng)穩(wěn)定性方面發(fā)揮著越來越重要的作用。因此，將發(fā)電機組的勵磁控制和原動機控制有機地結(jié)合起來，實現(xiàn)綜合控制，成為發(fā)電機控制發(fā)展富有潛力的探索方向[1-3]。文獻[4]引入多指標(biāo)線性控制設(shè)計方法來研究發(fā)電機組的綜合控制問題。該方法既能使系統(tǒng)獲得良好的動態(tài)性能，也能獲得滿意的靜態(tài)性能。文獻[5]應(yīng)用目標(biāo)全息反饋法來處理發(fā)電機組的非線性綜合控制問題。該方法可將非線性控制系統(tǒng)的多個控制目標(biāo)均約束在性能指標(biāo)中，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的多目標(biāo)控制。

在文獻[4-5]中，所建的發(fā)電機組模型均未考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性及干擾的影響。基于建模時忽視不確定性數(shù)學(xué)模型的非線性控制方法并不能夠充分發(fā)揮其作用。要提高非線性控制設(shè)計方法的有效性，使設(shè)計所得的控制律在實際應(yīng)用中得到滿意的控制效果，在系統(tǒng)建模和控制器設(shè)計過程中考慮不確定性對系統(tǒng)的影響是非常有必要的。

針對電力系統(tǒng)在不確定參數(shù)下的控制問題，基于控制理論[6]、耗散理論[7]、自適應(yīng)控制理論[8]等的非線性魯棒控制方法被提了出來。王寶華等[9]運用反步遞歸法來設(shè)計包含不確定參數(shù)的發(fā)電機綜合控制規(guī)律；蘭海等[10]通過遞推法構(gòu)造保證電力系統(tǒng)對于外部干擾具有增益抑制性能的存儲函數(shù)，從而得到實現(xiàn)干擾抑制和穩(wěn)定的系統(tǒng)控制規(guī)律。在這些方法中，隨著遞歸推導(dǎo)步數(shù)的增加，控制規(guī)律的設(shè)計過程也會越來越繁雜。Okou等[11]應(yīng)用自適應(yīng)控制方法設(shè)計電力系統(tǒng)的魯棒綜合控制規(guī)律，該方法針對系統(tǒng)的每一個不確定項，均設(shè)計一個動態(tài)估計環(huán)節(jié)以應(yīng)對其影響，然而這些動態(tài)估計環(huán)節(jié)會大大增加控制器的復(fù)雜程度。

文獻[12]中提出了一種基于Sum of Suqares (SOS)分解技術(shù)的魯棒控制方法(SOSRCA)。該方法無需對不確定參數(shù)設(shè)計狀態(tài)估計器，也無需繁瑣的遞歸設(shè)計構(gòu)造出對干擾具有增益抑制性能的系統(tǒng)存儲函數(shù)，因此簡化了設(shè)計過程并且降低了控制規(guī)律的復(fù)雜程度。本文將SOSRCA應(yīng)用于充分考慮不確定參數(shù)及干擾的發(fā)電機魯棒綜合控制模型中，在李雅普諾夫穩(wěn)定理論下，可用一組狀態(tài)相關(guān)不等式來保證包含不確定參數(shù)的多機電力系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的，并且該系統(tǒng)對于外部干擾具有L2增益抑制性能。通過SOS分解技術(shù)的半定規(guī)劃松弛算法可對該不等式組進行求解得到系統(tǒng)的魯棒綜合控制規(guī)律。最后，將得出的控制規(guī)律應(yīng)用于三機電力系統(tǒng)模型，通過仿真證明了SOSRCA所獲得的控制規(guī)律不僅對于不確定參數(shù)具有魯棒性，還對干擾具有良好的抑制能力，能夠有效地提高電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性。

1 多機電力系統(tǒng)的魯棒綜合控制問題

1.1 多機電力系統(tǒng)魯棒綜合控制的數(shù)學(xué)模型

考慮一個具有n臺汽輪發(fā)電機的多機電力系統(tǒng)，第i臺發(fā)電機的魯棒綜合控制數(shù)學(xué)模型[13],轉(zhuǎn)子運動方程和電磁動力學(xué)方程如下：

(1)

其中,

Pei=E′qiIqi

(2)

(3)

(4)

將方程式(1)寫成緊縮的仿射非線性方程形式：

(5)

其中，

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

1.2 包含不確定參數(shù)的多機電力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性與L2增益抑制性能分析

在魯棒控制理論中[14]，定義系統(tǒng)的L2增益為

(12)

式中：sup為上確界；‖zi‖和‖wi‖分別為輸出向量zi和輸入向量wi的歐幾里得范數(shù)。

那么輸入對輸出的影響得以量化，第2個控制目標(biāo)中的干擾抑制問題可描述為L2增益抑制問題。

(13)

將系統(tǒng)式(5)重寫成:

(14)

以下定理給出能令系統(tǒng)式(14)是魯棒穩(wěn)定的，并且具有L2增益抑制性能的條件：

(15)

那么系統(tǒng)式(14)是魯棒穩(wěn)定的，并且具有L2增益抑制性能，即當(dāng)wi=0時，原點是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)wi≠0時，該系統(tǒng)由擾動輸入wi到輸出zi的L2增益不大于給定的正數(shù)γi。

證明：

(1) 魯棒穩(wěn)定性。將wi=0代入不等式(15)中，可得:

(16)

然后將式(16)從時間0到T進行積分，得

Vi(xi0)-Vi(xiT)≥

(17)

(18)

Vi(xi0)-Vi(xiT)≥0

(19)

余下的證明類似于李雅普諾夫穩(wěn)定理論的證明，請參考文獻[16]，這里不再贅述。

(2)L2增益抑制性能[17]。將式(15)從時間0到T進行積分可得:

(20)

(21)

又根據(jù)條件Vi(xi0)=0及Vi(xi)≥0,可以得出：

(22)

由L2增益的定義可知，干擾輸入wi對于系統(tǒng)的輸出zi的影響小于γi。

1.3 多機電力系統(tǒng)的魯棒綜合控制規(guī)律設(shè)計理論

在定理1的魯棒穩(wěn)定性及L2增益抑制性能的分析中，若李雅普諾夫函數(shù)Vi(xi)與控制規(guī)律Efi、UTi均是未知的情況下，求解不等式(15)是非凸的，非凸問題目前很難得出其有效解。為了能有效地求出系統(tǒng)式(14)的魯棒綜合控制規(guī)律，其李雅普諾夫函數(shù)選取經(jīng)典形式：

(23)

(24)

選取:

(25)

UTi=TV∑i(-c4iz4i+uUSOSi)+Pmi

(26)

將式(25)和式(26)代入式(24)，可得:

(27)

式中：uESOSi、uUSOSi、c1i、c2i、c3i和c4i均為待定的多項式。

通過觀察式(27)，可知c1i與c2i具有乘積關(guān)系，即二者之間的關(guān)系是非線性。這種非線性關(guān)系不利于問題的有效求解，因此,將c1i設(shè)定為一個給定的正常數(shù)，那么其余所有的未知量對于式(27)均是凸的。

根據(jù)定理1，下面給出系統(tǒng)式(14)的魯棒綜合控制設(shè)計方法(RCCA)。

(28)

(29)

c2i≥0，c3i≥0，c4i≥0

(30)

那么系統(tǒng)式(14)是魯棒穩(wěn)定的，并且具有L2增益抑制性能。

2 基于SOS分解技術(shù)的魯棒綜合控制方法

2.1 SOS多項式分解技術(shù)

若存在多項式f1(x),…,fm(x),使得如下式子成立：

(31)

那么多項式p(x)是一個SOS多項式。很顯然，對于所有x∈Rn，p(x)是SOS多項式自然意味著p(x)大于或等于零。

對于條件式(31)，可作如下等價，存在一個半正定的矩陣Q使得如下式子成立：

p(x)=zT(x)Qz(x)

(32)

2.2 基于SOS分解技術(shù)的魯棒綜合控制設(shè)計方法

根據(jù)1.3節(jié)中給出的魯棒綜合控制的設(shè)計方法，將式(28)～式(30)中的正定條件，用SOS條件來替換，那么可得出基于SOS分解技術(shù)的魯棒綜合控制方法(SOSCCS)。

(33)

(34)

c2i、c3i和c4i均是SOS多項式

(35)

2.3 SOSTOOLS魯棒綜合控制規(guī)律的求解過程

(1)初始化程序。

(4)定義目標(biāo)方程為式(33)～式(35)。

(5)調(diào)用SOSTOOLS工具箱的多項式求解器。

將(6)中的結(jié)果代入式(25)和式(26)中，得到多機電力系統(tǒng)的魯棒綜合控制規(guī)律。

3 系統(tǒng)仿真與結(jié)果

上述基于SOS的魯棒綜合控制方法的有效性將在如圖1所示的三機電力系統(tǒng)中進行驗證。圖1中還給出了該電力系統(tǒng)的初始潮流數(shù)據(jù)。

圖1 三機電力系統(tǒng)模型及其初始潮流數(shù)據(jù)

圖1中發(fā)電機G1是無窮大系統(tǒng)。G2和G3裝配有綜合控制器，其模型參數(shù)如表1所示。

表1 發(fā)電機G2和G3的模型參數(shù)

3.1 系統(tǒng)不確定參數(shù)的范圍

表2 不確定參數(shù)的上下界

3.2 基于SOS的魯棒綜合控制規(guī)律

將c1i和γi取為如下的值：

(36)

(37)

(38)

為驗證式(37)和式(38)能使條件式(33)和式(34)成立，將式(36)～式(38)代入式(33)及式(34)，用SOSTOOLS工具箱對式(33)和式(34)進行平方和分解：

(39)

(40)

其中,

P2i=[z4iz3iz2iz1i]

(42)

Q12和Q13為16×16的矩陣，其特征值如下所示：

Q22和Q23為4×4的矩陣，其特征值如下所示：

eig(Q22)=[2.05 0.61 0.78 1.52]

(45)

eig(Q23)=[2.18 0.82 0.38 1.21]

(46)

顯然，矩陣Q12，Q13，Q22和Q23均為正定。

應(yīng)用定理1，可推出以下結(jié)論：

(2)系統(tǒng)式(21)的擾動輸入wi到輸出zi的L2增益不大于給定的正數(shù)γi=0.1。

將式(36)～式(38)中的uESOSi，uUSOSi，c1i，c2i，c3i和c4i的計算結(jié)果分別代入式(25)和式(26)，便可得到系統(tǒng)的魯棒綜合控制規(guī)律：

UT2=(-5.32z42-0.15z32)TV∑2+Pm2

(47)

UT3=(-3.86z43-0.15z33)TV∑3+Pm3

(48)

(49)

(50)

在式(49)和式(50)中所示的勵磁控制規(guī)律，Idi和Iqi是很難測量的，但可以用可測量準確表示出來。由式(2)～式(4)可整理得到：

(51)

(52)

從式(51)和式(52)可看出，Idi和Iqi均可用易測量Pei，Qei和Ii表示出來，從而解決了控制規(guī)律的實現(xiàn)問題。

3.3 仿真案例與結(jié)果

為了驗證SOSCCS的有效性，針對2種擾動，將其與2種經(jīng)典的控制方案進行仿真對比：(1)勵磁PSS+PID和調(diào)速PID分別控制方案;(2)線性最優(yōu)綜合方案(LOCC)。

3.3.1 外部擾動

在擾動發(fā)生前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。在0.5～1.5 s時，系統(tǒng)受到外部干擾的作用。作用在發(fā)電機G2和G3的干擾分別為w12=0.05、w22=0.05、w32=0.05及w13=-0.05、w23=-0.05、w33=-0.05。系統(tǒng)在SOSCCS，PSS+PID和LOCC 3種不同控制器的作用下，有關(guān)狀態(tài)量的響應(yīng)曲線如圖2和圖3所示。

圖2 外部擾動時發(fā)電機G2的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖3 外部擾動時發(fā)電機G3的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖2(a)、圖3(a)、圖2(b)和圖3(b)表明，當(dāng)發(fā)電機遭受外部干擾時，發(fā)電機機端電壓和功角在SOSCCS作用下產(chǎn)生的靜態(tài)偏移比在LOCC和PSS+PID的作用下的靜態(tài)偏移均要小，這是由于SOSCCS對外部干擾有抑制作用。圖2(c)、圖3(c)、圖2(d)和圖3(d)表明， SOSCCS、LOCC和PSS+PID均使有功功率和機械功率變動到新的平衡點以適應(yīng)外部干擾的作用。總而言之，SOSCCS使得發(fā)電機在遭受外部干擾時，不僅能比LOCC和PSS+PID更快地平息機組在暫態(tài)過程中的機械振蕩，還能更好地抑制系統(tǒng)的超調(diào)，從而使得發(fā)電機具有良好的動態(tài)性能及魯棒性。

3.3.2 三相短路擾動

在擾動發(fā)生前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。在0.5 s時， 5號和8號母線之間的線路(靠近5號母線端處)發(fā)生三相金屬性短路，故障持續(xù)0.15 s后被切除，在0.9 s時系統(tǒng)重合閘成功。當(dāng)系統(tǒng)分別采用SOSCCS，PSS+PID和LOCC控制器時的系統(tǒng)有關(guān)狀態(tài)量的響應(yīng)曲線如圖4和圖5所示。

圖4 三相短路擾動時發(fā)電機G2的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖5 三相短路擾動時發(fā)電機G3的系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖4(a)、圖4(c)和圖5(a)、圖5(c)表明，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生大擾動時，盡管發(fā)電機的機端電壓和有功功率在3種控制規(guī)律的作用下都得到恢復(fù)，但SOSCCS比LOCC和PSS+PID能更快地恢復(fù)機端電壓到初始水平，更早地平息有功功率的波動。圖4(b)、圖4(d)和圖5(b)、圖5(d)表明，SOSCCS比LOCC和PSS+PID能更好地平息系統(tǒng)頻率振蕩，更快地使系統(tǒng)返回初始運行點，更有效地抑制了系統(tǒng)的超調(diào)，使得發(fā)電機具有良好的動、靜態(tài)性能。

SOSCCS，LOCC和PSS+PID這3種控制方案在發(fā)生三相短路擾動故障時的臨界清除時間如下：

CCTSOSCCS=0.23 s,CCTLOCC=0.18 s,

CCTPSS+PID=0.17 s

(53)

式(53)表明，在3種控制方法中，SOSCCS最有效地提高了電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性。

4 結(jié) 語

針對一個具有3臺發(fā)電機的多機電力系統(tǒng)，建立包含調(diào)速回路和勵磁回路干擾、不確定阻尼系數(shù)的魯棒綜合控制模型。運用SOSRCA，成功設(shè)計出多機環(huán)境下的發(fā)電機SOS非線性魯棒綜合控制策略。該方法根據(jù)李雅普諾夫直接法，選取經(jīng)典的李雅普諾夫函數(shù)形式，建立一組狀態(tài)相關(guān)不等式來保證多機電力系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性及L2增益抑制性能。通過SOS分解技術(shù)的半定規(guī)劃松弛算法可對該不等式組進行算法求解，從而得到系統(tǒng)的魯棒綜合控制規(guī)律。該控制器設(shè)計過程簡單，無需包含參數(shù)估計器，從而降低了控制規(guī)律的復(fù)雜性。仿真結(jié)果表明，該控制律能夠有效提高多機電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性和魯棒穩(wěn)定性。