函數單調性在高中數學解題中的應用

江蘇省寶應中學(225800)

陸 敏●

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函數單調性在高中數學解題中的應用

江蘇省寶應中學(225800)

陸 敏●

作為函數中重要的一個性質，單調性在高中數學某些函數題目求解中的合理運用，常常可以起到化難為易、化繁為簡的作用，尤其適用于函數最值以及不等式證明等類型題的求解.本文以函數單調性為研究對象，著重探討了其在高中數學解題中的應用對策，擬為相關教學研究與應用提供指導.

一、在方程求解中的應用

方程求解本身是一種等式求解過程，其涉及到多種數學知識，相應的求解方法也比較多.在講解函數單調性部分數學知識的時候，學生大都已經學習了許多函數知識和基礎方程方面的知識，所以此時學生對于求解方程題目已經具備了基本的求解思路和方法，且能夠自行總結函數與方程求解之間的關系.但是如果教師可以引導學生將函數單調性方面的知識合理應用于方程求解中來，則可以給方程求解提供新的方法，從而進一步擴寬和培養學生的解題思路.

例1 解方程x3+2x+(x+1)3+1=0.

鑒于f(x)=x3+x在區間(-，+)上為單調遞增函數，且為奇函數,那么可以將原方程化為f(x)+f(x+1)=0，即f(x+1)=-f(x)=f(-x).

因為f(x)為單調函數，可知x+1=-x，由此可知x=-1/2.

由此可知，通過函數單調性的合理應用，可以極大地簡化方程的求解過程，這實際上就是函數單調性基本概念及其性質在方程求解中的具體應用.

二、在不等式求解中的應用

我們可以借助函數的單調性的合理應用來達到求解不等式題目的目的，具體就是借助不等式的分類、數形結合或者換元法等方式及其綜合運用來達到不等式證明的目的，同時學生也可以在此過程中培養自身的數學思維能力.

解 視a為變元x,構造函數f(x)=(b+c)x+bc+1，只需要證明x∈(-1,1)時，f(x)>0恒成立即可.當b+c=0時，f(x)=1-b2>0恒成立；當b+c≠0時，函數f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)上是單調的.由于f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0,所以f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)上恒大于零.

由此可知，通過函數單調性的合理應用可以有效地化解復雜的數學問題，提高學生的解題能力.與此同時，在學生發現借助概念解題也不會犯錯的時候，他們會自行糾正自己所存在的錯誤觀念和認識，這將大大提升他們的邏輯思維能力.

三、在單調區間求解中的應用

在高中數學函數教學中，針對函數單調性的考查有專門章節訓練是關于單調區間，這類題就是專門考查學生對于函數單調性這一性質的掌握程度，具體就需要學生對于待求題目進行合理變形處理來達到簡化題目結構，進而達到求解的目的.

四、在參數取值范圍求解中的應用

針對某些參數取值范圍的問題，教師可以引導學生將待求問題轉化成不等式恒成立問題，具體就是充分運用題目中的已知條件來找尋解題的突破口，以借此達到解題的目的.

總之，單調性作為函數的一種重要性質，其在不等式證明以及解方程求解等的數學題目中的合理應用，往往可以將那些抽象、繁雜的數學題目簡單化、直觀化，從而可以有助于學生更好地進行求解，同時也可以在此過程中培養和提升學生的解題能力，值得教學上大力關注和應用.

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1008-0333(2016)31-0044-01