基于坐標系變換的PMSM轉矩推導

王志強，趙 建，湯丹丹

（安徽江淮汽車集團股份有限公司技術中心，安徽 合肥 230601）

引言

PMSM（永磁無刷同步電機[1]）具有體積小、重量輕、噪音小等顯出特點，轉矩[2]控制技術是PMSM的核心技術，本文通過建立PMSM靜止坐標系及旋轉坐標系，分析它們之間的內在聯系，分析其系統模型之間的運動關系，推導其電磁轉矩。

1 電磁轉矩的概念

電磁轉矩是電動機旋轉磁場各極磁通與轉子電流相互作用從而在轉子上形成的旋轉力矩，是將電能轉換成機械能最重要的物理量之一。圖1為直流電動機示意圖。其定子為永磁體，轉子為通電線圈，通過左手定則可以判定，通電轉子線圈在定子磁場的作用下逆時針運動。

圖1 直流電動機空間示意圖

電磁轉矩表達式如下：

其中：F為線圈所受電磁力；B為磁感應強度；I為線圈內部電流；θ為線圈平面與磁場平面的夾角；r為半徑；D為直徑；Te為電磁轉矩；L為線圈長度。

2 PMSM轉矩形成機理

PMSM結構與直流電動機相反，定子為通電三相線圈，轉子為永磁體。PMSM定子線圈通入三相對稱電流（相位互差120°），便可制造出如下圖2所示的旋轉磁場（虛擬合成）。

圖2 定子線圈合成虛擬磁場空間示意圖

若加上轉子永磁體[3]，轉子永磁體與定子線圈之間存在電磁力的作用，定子線圈驅動轉子運動，如下圖3所示：

圖3 定子線圈與轉子永磁體作用示意圖

3 空間定子坐標系的建立

圖4 定子線圈與兩相坐標系

為簡化計算，將定子（a、b、c）三相坐標系（實際）等效為兩相（d、q）坐標系。由磁動勢相等原則，三相線圈的繞組匝數均為T1，則兩相坐標系的繞組匝數為（3/2）T1，將a、b、c三相磁動勢沿d、q軸方向分解可得到兩相磁動勢。

4 空間定子坐標系方程建立

定子的q軸和d軸的電壓方程可由定子電阻的電壓降和磁鏈的微分求得，在每個繞組中可以表示為：

其中：p為微分算子，p=d/dt；vds、vqs為d軸與q軸繞組的電壓；ids、iqs為d軸與q軸定子電流[4]；Rd、Rq為d軸與q軸電阻；λqs、λds為d軸與q軸磁鏈。

定子繞組磁鏈可以寫為繞組自身勵磁產生的磁鏈和由其他繞組和永磁體產生的互磁鏈之和。

其中：Lqq為q軸自感；Lqd、Ldq為dq軸之間的互感；θr為瞬時轉子的位置。

繞組是對稱的，所以繞組的電阻相等，可以表示為Rs=Rd=Rq。因此d軸與q軸定子電壓。

5 定子坐標系到轉子參考坐標系的轉換

為了便于觀測，建立一個旋轉速度與電流角速度一致的參考坐標系使系統的變量變為直流量，d、q軸為定子靜止坐標系，dr及qr軸為以轉子速度（與電流角速度相等）旋轉的虛擬坐標系。

虛擬坐標系的dr軸和轉子磁鏈軸線λaf重合。轉子位置相對于定子坐標系d軸的夾角為θr。從而推導出旋轉坐標系與定子坐標系電流之間的關系式如下：

靜止坐標系電流值等于以轉子速度[5]旋轉的虛擬坐標系drqr軸電流值在靜止坐標系dq軸上的分量。

圖5 轉子坐標系與定子坐標系

將公式（4）、（5）帶入公式（6）可以得出轉子坐標系下的dr、qr軸的電壓值為：

6 旋轉坐標系電流值與三相合成電流矢量的關系

wr為電角速度，δ為轉子磁場與定子電流合成向量is的夾角（轉矩角）。從而得出旋轉坐標系電流值與三相合成電流矢量的關系如下：

7 結合空間矢量圖推導電磁轉矩

上述變換可以以下圖形式進行表達：

圖6 坐標系變換合成圖

氣隙轉矩可以由qr軸與dr軸電壓及電流推導得到，電機的瞬時輸入功率為：

觀察功率輸入方程的右側，很明顯其中各項分別表示定子電阻損耗、磁場儲能變化率及氣隙功率。將氣息功率除以轉子的機械角速度可以得到氣隙轉矩。

可以看出，影響永磁無刷同步電機電磁轉矩大小的變量包含：

P為電機極數；λaf為轉子磁鏈；Ld、Lq-dq為軸電感；irqs、irds為轉子坐標系下的dq軸電流。

針對標貼式[6]電機，其圓周方向磁通變化均勻，Ld=Lq，則轉矩公式可簡化為：

可以看出在電機結構一定的情況下，轉子坐標系下的電流直接影響電機的轉矩，實際工程應用過程中主要對此電流量進行監控和控制。

8 結語

本文通過模型簡化的方式推導出PMSM的轉矩公式，對PMSM的開發及性能調控具有重要意義。