數據驅動的湍流標量混合非閉合深度學習模型

◆于建

數據驅動的湍流標量混合非閉合深度學習模型

◆于建

（遼寧工程技術大學信息化與網絡管理中心 遼寧 123000）

借鑒物理信息深度學習和深隱藏物理模型，提出一個從噪聲的時空概率密度函數測算中辨識湍流模型的框架。該模型適用于由運積單點概率密度函數方程描述的條件Fickian標量期望擴散或耗散。采用均勻湍流二元標量混合的振幅映射閉包/Johnsohn-Edgeworth變換模型獲得精確解，對所構建的模型進行了測評。

概率密度函數模型；湍流混合；模型辨識；深度學習

湍流標量混合問題在近幾十年得到學術界廣泛研究和應用[1-3]。在Reynolds-averaged Navier-Stokes（RANS）模擬中，湍流的輸運概率密度函數（PDF）明確地描述了這一問題。對于單點PDF描述子， Fickian標量的混合作用表現為：條件期望耗散項和/或條件期望擴散項為非閉合的[2]。通過概率濾波密度函數（FDF）在大渦流模擬（LES）中也遇到了類似的非閉合問題[4]。相關非閉合項的閉包開發已成為熱點研究問題。湍流模型的首要目標是為PDF/FDF輸運方程中出現的未閉合項找到精確的閉包。在湍流建模中，常采用封閉項表達非封閉項。這種閉包的形式是基于對已有問題的物理檢查，它本身就容易出錯。這是湍流閉合過程中建模不確定性的主要來源。

本文介紹了一種新的湍流標量混合閉包方法，即從高保真度觀測中學習非閉合項。這種觀察可能來自直接數值模擬（DNS），如文獻[5-7]；或時空分辨實驗測量，如文獻[8-9]。顯然，在DNS中，未閉合項可以直接從模擬結果中提取出來。然而實際應用中執行DNS成本過高。另一方面，從實驗數據中尋找閉包涉及從實驗數據中獲取時空和分解空間的導數（在某些情況下是高階導數），難度較大，且易因時空測量的分辨率引入新的閉包不確定性。本研究的最終目標是開發一個閉包發現框架，從稀疏的高保真數據（如實驗測量）中學習閉包。上文中所提出的框架用一種數據驅動的方法取代了常用的“猜測”方法。該方法以系統的方式從數據中揭示出封閉性。本研究方法以偏微分方程深度學習[10]和數據驅動建模策略[11]，特別是基于物理學的深度學習[12]和深層隱藏物理模型[13]為理論基礎。

二進制標量混合常用在PDF閉包開發中[14-15]，本研究中以它為演算實例。該問題通常出現在設置空間均勻流研究中，其亦考慮標量PDF的時間傳輸。在這種情況下，亟須開發一個能夠準確預測PDF的演化的閉包框架。這個問題相對簡單，適合DNS和實測實驗。文獻中有大量通過這些方法獲得的數據[5-7，16-23]，測評結果表明：本文提出的計算模型學習獲得的條件期望耗散和擴散可靠性高誤差小。

1 二元標量混合

其中豎線表示條件值。式（1）也可表示為：

其中表示條件期望擴散：

2 深度學習解決方案

2.1 條件期望擴散

從上述設定及公式（3）可獲得以下物理信息神經網絡（見圖1）。

圖1 條件期望擴散的物理信息神經網絡示例

2.2 條件期望耗散

3 測試評估

4 結果評估與討論

圖3 第一組概率密度函數、條件期望擴散函數及其深度學習結果值的分布情況（a）為精確概率密度函數，（b）為精確概率密度函數的深度學習結果，（c）為二者的差值；（d）為條件期望擴散D，（e）為條件期望擴散D的深度學習結果，（f）為二者的差值

訓練過程簡述如下：測試結果是在Adam優化器[32]的105、2×105、3×105和4×105的連續時間段之后獲得的，相應的學習率分別為10-3、10-4、10-5和10-6。每個時間段均對整個數據集完整計算一次。因此，Adam優化器的總迭代次數是數據個數除以最小批量值的106倍。本文使用的小批量大小是20000，數據點的數量是20000。

圖4 條件期望擴散模型學習所得數據的誤差。左圖為精確概率密度函數及其深度學習結果的相對L2誤差（Rel. L2 Error），右圖為精確和學習的條件期望擴散D(t,) 的相對L2誤差（Rel. L2 Error）

圖5 第二組精確概率密度函數、條件期望耗散函數及其深度學習測試值的分布情況。（a）精確概率密度函數，（b）精確概率密度函數的深度學習結果，（c）二者的差值；（d）條件期望耗散，（e）條件期望耗散的深度學習結果，（f）二者的差值

圖6 條件期望耗散模型學習所得數據的誤差。頂部面板中描繪了與學習函數相鄰的精確概率密度函數P（t，ψ），而精確和學習的條件期望耗散E（t，ψ）繪制在底部面板中

5 結束語

本文提出了一個數據驅動的湍流標量混合非封閉項學習模型框架。在這個框架中，非閉合項是通過PDF輸運方程，以及在PDF上觀察到一些高保真的觀測值來學習的。上述提出的框架可以直接擴展到涉及多物種混合的高維情況，避開了數值離散化的缺陷，利用數據點位于低維流形的特點設計了可擴展到高維的算法。此外，本研究中所提出方法也可以高度擴展到研究湍流時經常遇到的大數據客體，使這些數據將以更小批量、更小計算量得到有效處理。

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