小學高年級學生數學錯誤分析過程研究

鄒學紅 周鈞

摘? ?要

以分數的問題解決為例，參考蘭寧等人的錯誤分析反思循環模型，通過對56位同學“分數應用的問題解決”的錯誤分析過程的研究，總結了學生問題解決錯誤的識別方式、歸因、訂正錯誤的策略。研究發現：情境轉譯錯誤是學生分數應用問題解決錯誤的主要原因;深刻、全面的歸因對學生來說是有挑戰性的。

關鍵詞

小學生? 錯誤分析? 問題解決? 分數應用

由于數學學科的嚴謹性和科學性，以及學生認知發展和已有經驗的不足，數學錯誤與數學學習如影相隨。在教學理論中，數學錯誤被看作是教師教學和學生學習的資源[1]。一方面數學錯誤可以作為診斷學生學習效果的一種工具，幫助教師了解學生的學習情況[2]，以便教師更好地改進教學;另一方面學生通過對錯誤的反思可以加深對知識的理解，培養良好的思維品質。甚至還有研究者指出數學錯誤對教師的知識觀、數學觀的形成也有很大的影響[3]。因此，數學錯誤成為研究者和教師關注的重點，然而很少有研究者關注學生的錯誤反思過程[4]。

錯誤產生于學生數學學習的過程中，因此學生是反思錯誤的主體。學生對錯誤的反思過程，也是將錯誤作為學習資源進行探究的過程，可以幫助學生找到問題所在，發展學生的數學思維能力。另外，了解學生真實的錯誤分析過程，有助于教師了解學生的認知水平和知識理解程度，以便對學生的數學學習開展有針對性的指導。基于此，對學生的錯誤反思過程進行研究就顯得極為重要。

一、文獻梳理

鐘德認為學生問題解決時的錯誤主要是因為片面地使用定理或公式[5]。托馬斯（Thomas，T.M.）提出，日常生活中的各種說法是導致學生數學錯誤的重要原因[6]。賈金平在對錯誤的價值及成因分析的基礎上，提出了針對錯誤的課堂教學策略，如何引導學生反思錯誤[7]。周淦利提出在教師的教學中要重視學生錯誤的解法，引導學生分析錯誤的根本原因[8]。芮金芳在研究中提出教師在課堂教學中要善待“錯誤”，對比思“錯”，拓展延伸[9]。李娜通過對教師課堂錄像的分析，提出教師在課堂上為學生提供表達自己想法的機會，讓學生經歷在錯誤分析過程中的認知沖突，從而提高學生的數學理解水平[10]。相關研究主要受建構主義學習理論的影響，提倡教師將學生的數學錯誤看作課堂教學的資源[11]，借助數學錯誤來鞏固和加深學生對數學概念的理解[12]。教師在課堂中將學生的數學錯誤作為教學資源的前提是學生對數學錯誤的分析，但在現有的研究中，更多的是從教師的角度探討如何在課堂上使用錯誤資源，而很少有關注學生對錯誤的分析。臺灣學者劉婷、羅增儒通過實驗研究證實了數學作文作為學生的一種反思方式，有助于學生元認知水平的提高，從而降低錯誤率，該研究側重于學生反思與學生元認知水平的關系[13]。蘭寧（Lannin，J.）等人基于對2名學生數學學習的追蹤，研究了學生在數學學習中診斷錯誤時所使用的策略、學生錯誤的歸因類型以及訂正錯誤的策略[14]。該研究中使用的錯誤分析反思過程模型對研究的開展具有借鑒意義。

學生對數學錯誤的分析過程從識別錯誤開始，到對錯誤進行歸因，然后進行錯誤訂正。學生訂正錯誤的過程往往不是一蹴而就的，如經歷“錯誤識別—錯誤歸因”后，卻無法訂正錯誤，然后重新進行錯誤的識別與歸因;也有可能在訂正的過程中發現最初的歸因并不全面;還有可能無法識別錯誤就退出了錯誤分析的過程。

二、選取研究對象與數據收集

1.研究對象的選取

選取北京市海淀區一所普通公立小學六年級6個班，共208名學生，這些學生已學習了“分數的應用”相關內容。研究者為這6個班學生提供分數應用問題解決任務。學生在統一的數學早讀時間完成任務，然后由班級的數學任課教師對學生的問題解決進行評判，研究者收集問題解決錯誤的文本共52份。

2.數據收集

研究采用質性研究方法收集數據。為了獲取學生分析問題解決錯誤的過程材料，本研究采用維果茨基（Vygotsky，L.S.）的微衍生法（microgenetic）[15]，即先采集學生日常學習中分數應用問題解決的相關材料，并進行分析，從而確定學生在分數應用問題解決中常出現的問題：學生解決分數應用的問題，特別是題文中包含2個分數，且這2個分數對應的標準量（單位“1”）不相同時，學生問題解決比較容易出錯。在此基礎上設計如下問題。

李叔叔開車從甲地去乙地送貨，已行的路程是未行的■，如果再行60千米，就正好行了■，甲乙兩地相距多少千米？

研究者在收集學生的錯誤解答文本后，利用課間逐一反饋給解答者本人，運用有聲思維法收集問題解決錯誤學生反思和分析錯誤的過程材料。另外，根據研究需要對部分學生進行訪談，盡可能保證研究資料的翔實。

三、學生識別錯誤方式、類型與訂正

1.學生識別錯誤的方式

通過對問題解決錯誤學生的訪談，發現學生識別錯誤的方式主要是在嘗試給自己講清楚問題解決的過程中識別出錯誤。另外，還有同學通過對問題解決的結果進行推斷的方式來識別錯誤。

如錯例1，該同學在嘗試給自己講清楚問題解決的過程中識別出錯誤。

錯例1

解：設甲乙兩地相距x千米

同學F推斷自己得出的計算結果不合理，確定自己的解答是錯誤的。

錯例2

2.學生的錯誤類型

通過對這52位同學錯誤歸因的歸納發現，他們認為他們錯誤的原因有：單位“1”混淆、畫圖錯誤、閱讀不仔細。

如錯例3，該同學分析自己錯誤的原因是將■與■這兩個分數的單位“1”混淆了。

錯例3

在錯例4中，該同學在錯因分析中都寫道：“因為圖畫錯了，所以計算結果就錯了。”

錯例4

在錯例5中，該同學分析自己錯誤的原因是沒認真讀題，把已行的路程是未行的■讀成了全程的■。

錯例5

在對分數應用問題解決錯誤的分析中，多數同學都將錯誤原因歸因于單位“1”混淆、讀題不仔細，出現這類錯例的學生的共性是他們在解答問題的過程中把題文所表達的問題情境部分地轉譯成自己所構想的運算情境，然后采用與構想情境相匹配的計算策略來解決問題 [16] 。

3.學生錯誤的訂正

在學生識別出錯誤并找到錯誤的原因后，他們會嘗試訂正錯誤。對學生訂正錯誤的文本和訪談材料進行分析，發現他們訂正錯誤的主要策略有：（1）通過找關鍵詞的方式厘清分數對應的單位“1”;（2）轉化（將題文中的分數轉換成份數進行計算）;（3）重新畫圖。

同學H通過再次讀題及劃重點的方式幫助自己確定題文中■這個分數的單位“1”：

同學L在運用分數的知識進行問題解決失敗后，嘗試把■所表示的關系轉化成已行與未行之間的1份與3份的關系，從而將甲乙兩地的距離轉化為4份，然后進行計算。

同學D在嘗試用一條線段圖表征題文中的數量關系失敗后，選擇用兩條線段圖表征，使問題得到解決。

四、結論與啟示

1.情境轉譯錯誤是學生分數應用問題解決錯誤的主要原因

問題解決的過程考察學生的閱讀能力、轉譯能力、分析能力、計算能力，還涉及學生對概念的理解程度。因此，學生問題解決錯誤，可能是語言錯誤、轉譯錯誤、策略錯誤、計算錯誤、概念錯誤。臺灣學者張景媛研究學生數學文字題錯誤時總結的錯誤類型主要是語言錯誤、策略錯誤、計算錯誤、概念錯誤[17]，但本研究發現在分數應用的問題解決中，多數同學出現的錯誤是情境轉譯錯誤，他們傾向于將題文中的情境轉譯成他們構想的情境，而他們構想的情境往往便于他們進一步解決問題，但卻與題文信息不符，如題文中給出的信息是“已行的路程是未行的■”，但很多問題解決錯誤的學生都將其轉譯成“已行的路程是全部路程的■”，從而根據題文中給出的另一個信息“如果再行60千米，就正好行了■”，確定60千米對應的總路程的份數，然后根據量率對應關系求出甲乙兩地的距離。通過進一步的訪談及與所選樣本班級數學教師的交流得知，學生在之前的學習及練習中已經掌握了根據兩個單位“1”相同的分數以及它們的差量求總體的問題解決模型。然而研究者為學生提供的問題解決任務中的兩個分數的單位“1”并不相同，但學生在閱讀題文的過程中依然將問題情境轉譯成其熟悉的問題模型，實際上是一種思維定勢。

以往研究特別強調錯誤分析對學生加深數學概念理解的價值，如博拉西（Borasi，R.）建議教師要利用學生的數學錯誤加深學生對相關數學概念的理解[18]，然而本研究發現，通過學生對數學錯誤的分析，引導學生注意問題解決中的思維定勢現象對學生克服情境轉譯錯誤具有重要意義。

2.學生對問題解決錯誤的分析存在表面化、機械性的現象

學生對數學錯誤進行分析反思的過程，是嘗試暴露其思維路徑、解決認認知沖突的過程[19]。經歷這樣的過程，可以增加學生有效的知識、提升解決問題的能力、形成對數學學習的積極情感和價值觀[20]。但學生對數學錯誤的分析反思過程并不是居于同一水平，盡管多數同學都可以在這個過程中發現自己問題解決錯誤的關鍵原因，但并不是所有的同學都可以根據自己發現錯誤的原因對錯誤進行訂正，甚至有一小部分的同學的反思是表面的、機械的，因為他們根本就不明白題文所表達的含義，這就是小學生錯誤分析反思過程的差異性。因此從整體上看，深刻、全面的歸因對學生來說是有挑戰的，比如雖然很多同學將自己的錯誤歸因于分數單位“1”的混淆，但即使他們通過老師課堂上教的尋找關鍵詞的方法確定單位“1”，依然不能獨立解決問題。這就說明這類學生問題解決錯誤的原因并不是分數的單位“1”混淆，而是對“分數”這一概念還不理解，導致他們無法根據題文中分數所表征的意義解決問題。因此，在學生日常的訂錯過程中，教師在給予學生獨立思考和分析數學錯誤的基礎上，要結合學生對錯誤的認知情況，將教師的講解、學生間的互助與學生的獨立思考相結合，從而使對錯誤認知處于不同水平的學生都可以通過錯誤訂正獲得數學學習的機會，將“以學生發展為本”的教學理念扎實地落實。

參考文獻

[1] Borasi，R.Exploring mathematics through the analysis of errors[J].For the Learning of Mathematics，1987，7（03）：2-8.

[2] Schwarzenberger.錯誤的重要性——英國數學學會會長致詞[J].數學圈，1984（21）：73-80.

[3] 郜舒竹，薛漣霞.學生錯誤研究之文獻綜述[J].數學教育學報，2009，18（02）：78-75

[4] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[5] 鐘德.學生解題常見錯誤的心理分析[J].數學通報，1990（08）：16-18.

[6] Thomas T M.Encouraging versatile thinking in algebra using the computer[J]. Educational Studies in Mathematics，1991，22（2）：125-147.

[7] 賈金平.數學課堂教學中學生錯解的病因分析與對策[J].教學與管理，2006（07）：55-58.

[8] 周淦利.解題教學中如何實施“出誤探究法”[J].數學通報，2007，46（02）：52-53.

[9] 芮金芳.數學課堂教學中錯誤資源的有效利用[J].教學與管理，2007（14）：48-49.

[10] 李娜，莫雅慈，吳立寶.初中數學課堂中教師對學生錯誤反饋的類型研究——基于24節錄像課的分析[J].數學教育學報，2016，25（05）：55-60.

[11] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[12] Radatz，H.Error analysis in mathematics education.Journal for Research in Mathematics Education，？1979，10（03），163-172.

[13] 劉婷，羅增儒.“數學作文與元認知開發”的糾錯實驗[J].數學教育學報，2009，18（04）：50-73.

[14]] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[15] Vygotsky，L.S.The instrumental method in psychology. In： Wertsch，J.V.（Ed）.The concept of activity in Soviet psychology[M]. Armonk：Sharpe，1981：134-143.

[16]? 李秀榮.兒童加減法認知結構的整合性及發展的研究[J].心理發展與教育，1992，8（01）：9-16.

[17] 張景媛.數學文字題錯誤概念分析及學術建構數學概念的研究[J].教育心理學報，1994（27）：175-200.

[18] Borasi，R.Exploring mathematics through the analysis of errors [J].For the Learning of Mathematics，1987，7（03）：2-8.

[19] Bell A.Principles for the design of teaching[J].Educational Studies in Mathematics，1993，24（01）：5-34.

[20] 吳志健.數學“糾錯”的有效性探析[J].中小學教師培訓，2012（11）：52-55.

[作者：鄒學紅（1984-），女，山東臨沂人，北京師范大學教師教育研究中心，博士生;周鈞（1965-），女，云南潞西人，北京師范大學教師教育研究中心，教授，博士。]

【責任編輯? 陳國慶】