數學學科深度教學的三個實踐著力點

摘? ?要

深度教學緣起于深度學習，立意于改革我國課堂教學中注重教學形式的千變萬化而疏于對學科本質的深入理解。深入分析深度教學的重要意義后，提出數學學科中深度教學主要體現為深入數學本質的知識邏輯教學、觸及學生心靈深處的思維邏輯教學和促進每個學生發展的差異教學。

關鍵詞

深度教學? 知識邏輯? 思維邏輯? 差異教學

深度教學緣起于深度學習研究，但立意于改革我國課堂教學的形式主義、工具主義和技術主義。深度教學中的“深度”與深度學習中的“深度”含義一致，由此引申，深度教學指的是觸及教育教學本質和規律的教學[1]。雅斯貝爾斯指出“教育過程首先是一個精神成長的過程，然后才成為科學獲知的一部分”[2]。反映在教學中，首先體現的是個體精神孕育的過程，在這個過程中，知識和技能是精神成長的媒介，只有引起學生情感上的共鳴、思維上的碰撞，才有可能真正走進學生的精神世界，生成智慧、獲得新知、習得能力。如此，深度教學是指教師在準確把握學科本質和知識內核的基礎上，旨在觸動學生情感和思維的深處，引導學生自主發現和真正理解的一種教學樣態[3]。深度教學強調的是教師對學科本質的深刻理解，深度融合教學內容與學生已有經驗和情感體驗，捕捉、微縮學科相關概念、定理和符號的發現或發明的關鍵環節，激活靜態的知識，“視頻化”學科發展的歷史畫面，設計深度參與的活動過程，使學生全身心地體驗學科知識本身蘊含的豐富的、立體多維的教育意義。

深度教學雖意在教師理解學科知識的本質和情感因素，但是并非要求教師把學科內容挖得越深越好、越難越好，而是指教師要深入理解教學內容背后的文化意義，理解知識原初發明和發現時人們面臨的問題、解決問題的思路，采用的思維方式、思考過程，理解知識發現者可能有的情感，判斷評價知識的價值。透過符號去理解符號背后的內容與意義，甚至在“未書出”的無字無句之中去體會內容與意義[4];深入把握知識的內在結構體系（包含符號、邏輯形式、意義）;體現知識依存性，彰顯知識與主體發展的意義關系，賦予教學豐富性、回歸性、關聯性和嚴密性的特質[5]。實踐教學中，中小學教師本體性知識缺失現象嚴重，深度教學是促進教師本體性知識提升的重要著力點。數學學科中的深度教學是數學教學內容創生的知識邏輯教學，觸動學生心靈深處的數學思維邏輯教學以及促進每個學生發展的差異教學。

一、創生數學教學內容的知識邏輯教學

任何概念的提出，都有其歷史背景和文化基礎。深度教學旨在突破當前中小學課堂教學普遍存在的外在形式表現有余、內在深入研究不足的現象。反映在數學教學中，則是教師對數學學科內容的表面理解、膚淺認知。

由于教學情境的獨特性和動態性，教師對教學內容的挖掘貫穿于教學前、教學中和教學后。教與學行為發生之前，作為教育者的教師需要對素材和信息進行學習、理解。在這個過程中，教師長期的教育實踐和教育研究積累對教師內化相關的數學知識有很大的促進作用。教師在教學前需要掌握的素材和信息包括代表國家意識形態和價值觀的課程指導綱要或者類似作用的咨詢報告、代表學校教學方向的學科課程標準、指引教學活動的數學指導書以及數學教材，也包括與教學相關的視聽材料。對數學本質認識的主要做法有理清脈絡、構建結構，溝通聯系、整合單元，聚焦概念、深入解析三個方面。

1.理清脈絡，構建結構

（1）秉持什么樣的教學觀。在課堂教學中讓學生掌握結論性的知識內容和掌握知識發生發展的過程是兩種不同的教學觀。張奠宙先生曾經講過這樣一個事例：一位教師在講授“一元一次方程”時，在“含有未知數的等式叫做方程”的黑體字上大做文章，反復舉例，咬文嚼字地學習，瑯瑯上口地背誦[6]。典型的照本宣科講授靜態的知識內容，這樣的數學學習經歷如何培養學生的數學思維和提高數學興趣？相反的，優秀的教師都會把數學知識的來龍去脈講授得清清楚楚，為學生呈現知識的發生過程。

（2）厘清數學知識體系。教材是學生學習相關數學知識的重要載體，這些數學知識是按照一定的邏輯關系和學生的身心發展特點分布在不同年級和不同章節。教師需要通過概念的分析，按照一定的邏輯將相關數學知識內在的聯結串聯，建立知識網絡圖譜。例如一元一次方程，如果按照“以元為綱”的邏輯聯結，則一元一次方程所在知識圖譜如圖1所示[7]。

圖1? 一元一次方程知識圖譜

如果教師把所教年段的數學知識用某些邏輯線索將其串聯起來，把知識點之間的內在關聯揭示出來，就可以非常清晰地理解各個知識點在整個小學階段或者中學階段的位置，掌握他們之間的內在邏輯性，理順上下、前后的結構關系。進而了解它在整個學段的數學教學中的重要程度，在清晰的結構中尋找本質的、理性的信息，從而深入理解數學知識內在的本質[8]。

（3）深刻領悟數學思想方法。數學思想相對于數學方法而言更具有統攝的作用，數學思想是數學的靈魂，而數學方法是數學思想的外顯和具體化。數學思想作為數學知識的統帥，處于學習中的上位關系，其概括和包容的范圍會更廣，可以把一系列的下位知識囊括其中。數學方法是在提出問題、分析問題和解決問題過程所運用的具體策略與技巧，是數學思想的具體反映。例如一元一次方程，其所蘊含的思想主要有建模思想和化歸思想，一元一次方程可以通過二元一次方程化歸而成，而二元一次方程可以通過三元一次方程化歸而得到。因此，教師協助學生掌握一定的數學思想和方法對于學生的學習遷移非常有利，一般地，如果學生頭腦中的上位觀念牢固而清晰，其遷移能力強的話，就可以把新知識的下位學習作為一種練習來完成[9]。

2.溝通聯系，整合單元

在將數學知識結構化后，需要搭建結構階梯。如果把數學知識結構框架比喻為數學的骨架，那么結構階梯就是內容豐富的血和肉。數學知識結構能夠讓教師清晰地理順概念與概念、概念與定理、概念與法則等之間的邏輯關系，結構階梯則在于溝通前后知識之間的順序、左右知識之間的平行關系和上下知識之間的遞進關系。

在數學教學中，單元是構成教學內容的重要部分，每個單元基本上都是同一主題的教學內容。但是深度教學中的“單元”則完全不等同于教科書中的自然單元，深度教學中的“單元”是以挑戰性學習主題為中心，圍繞主題開展一系列的教學活動，整合相關的數學教學內容，這些數學內容有可能在教科書中的同一單元內，也有可能是多個自然單元的綜合體或者是多個自然課時的整合。這里的“單元”主要是建構主義意義下的“單元”概念，是基于“學科核心素養”整合不同的“教學方略”。不管哪一種教學方略，“學科核心素養”都是共同的追求與最大的優先事項[10]。

3.聚焦概念，深入解析

數學概念是構成數學學科的基本單元，也是反映數量關系和空間形式本質屬性和特征的思維形式。數學概念的產生具有不同的途徑，有的數學概念是從現實生活存在的模型中抽象概括得出，有的概念是在已有概念的基礎上進一步抽象概括而形成，有的概念是人們將客觀事物的屬性理想化、純粹化得到，還有的概念是根據現實生產生活的需要而產生的。整體分析和理解每一個概念，既要深入分析概念產生的根源，又要分析這一概念所反映的數學本質特征和數學思想，了解學生學習這一概念的特征與困惑，清晰核心概念在相關數學結構框架中的重要位置和對學生學習的重要意義。

在教學中，理解概念時需要教師清楚概念產生的途徑，如果概念是從現實模型中抽象出來的，比如正方體、長方體以及圓等的教學，就需要準備感性的材料作為概念引入的手段。如果概念來源于現實問題的解決，比如負數、無理數等的教學理解時就需要清楚概念產生的歷史背景資料或者提出現實問題。

對概念的解析還需要深入理解概念的本質和關注概念間的聯系，概念的本質與概念之間的聯系反映了相關的數學思想，是教師切實需要掌握的數學的核心。

二、觸動學生心靈的數學思維邏輯教學

深度教學實施的前提是深入理解數學內容，并通過設計具有挑戰性主題的建構性活動來開展。我們常說數學是思維的體操，教學中如果離開思維，就談不上真正的數學學習。換言之，沒有思維，就沒有數學學習。數學教學的實質就是數學思維活動，學習者在教師指導下，圍繞一個學習主題，開展數學活動，培養思維的邏輯性。但是，單純的數學知識并不能達成這樣的教學目標，思維邏輯的培養需要教師在深入理解數學知識本質的基礎上設計有意義的數學教學活動，即把數學知識的學術形態轉化為教育形態。

1.數學概念是培養數學思維邏輯的重要載體

數學概念是數學思維方法的重要載體，思維邏輯來源于教師和學生對數學基本概念的深刻理解，思維邏輯的建立依賴于學生在教師的指導下遵循基本概念所承載的思維特征所進行的思維活動。這種思維活動實際上是一種內化的過程，是通過課堂教學活動將符號化、概念化的數學知識借助思維活動轉化為思維邏輯[11]。

2.數學思想方法是培養思維邏輯的教學主線

數學思維是數學思想操練的重要抓手，它的作用就像木偶戲中的提線，知識代表木偶，而表演者通過提線來操練木偶的過程就是數學思維形成的過程。數學思想的點滴滲透關乎學生邏輯的形成，是學生用數學思維思考數學問題，用數學方法解決數學問題必須具備的思維基礎。各個單元知識所形成的數學思想也為如何在知識的教學中確立思維邏輯提供路徑和發展的主線。

3.問題情境是培養思維邏輯的實踐路徑

數學教學的目標是為了培養學生的“核心素養”，但是“素養”不是教出來的，而是在不同的問題情境中通過提出問題、分析問題、解決問題的實踐過程形成的。也就是說，唯有融入到真正的學習環境中，數學知識內容及其所承載的思想方法、思維邏輯乃至尋求數學領域的本質（真、善、美）態度，才能一體化的培育起來。

因此，教師在設計具有挑戰性的、學生全身心投入的問題時，需要有堅實的數學專業知識作為基礎，有建構主義理論、最近發展區理論以及學習科學等理論做支撐，有充分了解學生已有知識與新學知識之間的“剪刀差”做底氣，與學生一起設置高于學生目前認知能力的問題情境，引起學生的興趣，制造學生的認知沖突，使之處于一種“心理失衡”的狀態，從而促使學生為了達到新的“知識結構平衡”，不得不去尋找新的理論和知識點，以彌補這種不穩定的狀態[12]。

三、促進學生發展的數學差異教學

深度教學指向的是建構式的學習、理解性的學習。換言之，學習者需要借助原有的經驗，通過自己的獨立判斷，建立自己對這個世界或者所學習事物的理解，建構具有個體屬性的知識結構和問題解決策略，形成自己的理解事物的思維模式和意義系統。教師的責任在于采取怎樣的教學策略才能促進每個學生不同程度的發展。

1.詳細的差異性診斷助力教師深度了解學生

教師需要深入測查與診斷學生，了解學生的認知準備狀態、學習動機和學習態度。在教學中，教師為了提高教學的有效性，需要在課前、課中和課后對學生的差異進行診斷。課前的教育臨床診斷，目的是為了診斷學生個體內和個體間差異，掌握學生在學習新知識時是否具備相應的認知準備，學生對所要學習的新知的情緒狀態和學習動機。從而根據測查結果進行相應的補救措施，設計相適應的教學方案。課中的即時診斷，目的是為了發現教學目標、教學內容、教學環境是否與學生的真實學習狀態相匹配，存在哪些問題，如何改進和調整教學計劃。課后的測查，目的除了傳統的測試學習效果以外，更關注的是如何根據學生的測查結果進行教學反思，為后續的教學提供借鑒和參考。

2.挑戰性的學習目標和教學內容激發學生學習熱情

腦科學研究表明，適度的挑戰性目標能夠激發學習者的學習熱情，使他們達到最優的學習狀態。對于學習者而言，如果教師設計的數學知識學習過于簡單，學習者會在輕松悠然的狀態下學習，數學思維受到抑制，沒有得到發展，問題解決能力也沒有得到提升。如果設計過于艱深的數學知識，學生經過艱苦的探索依然沒有解決問題，學生的自信心就會受挫，學生會產生畏難情緒，裹步不前，不敢嘗試。但是如果設計適度挑戰性的問題，學生就會在適度緊張的精神狀態下，高度激發腦細胞的活躍程度，積極地思考，全身心地投入，吸引他們走向探索未知世界的征途，在解決問題中愉悅身心，獲得成就感，激發其進一步的思考。綜上論述，可以看出過于艱深的學習內容和過于簡單的學習內容都會使學習者喪失繼續學習下去的欲望。因此，在教學中，要保持學習者持久的學習韌性，就要設計有挑戰性的學習目標和學習內容。

學生由于學習基礎不同，潛在的智能不同，因此對于教學內容深淺層次的理解也不同。教師在教學過程中，需要根據學生的學習基礎和興趣愛好適當地調整數學教學內容。范·希爾曾說：學習過程是由各層次構成的，用低層次的方法組織活動就成為高層次的分析對象，低層次的運算內容又成為高層次的題材[13]。所以教師在組織教學內容時，需要為班級內極個別學生準備適合他們認知水平的內容菜單。例如為學習優秀者準備略高于全班平均水平的學習內容，而對于數學基礎較弱的學生，需要為他們準備低于全班平均水平的教學內容，同時在全班共同學習之外的時間里，為這些學生格外“加餐”，使他們盡快在短時間內達到全班的平均水平。另外，還需要根據學生的多元智能來設計不同類型的學習內容，例如在講述立體圖形的性質時，就需要為視覺學習風格的學生準備圖片，為動覺學習者準備實物，為聽覺學習者準備有聲音的視頻等。

3.靈活多樣的教學組織形式和教學手段促進學生深度思考

學生的學習風格是有差異的。有的學生傾向于視覺學習，有的學生傾向于動覺學習，有的學生傾向于聽覺學習，但是傾向于某種學習方式并沒有絕對性，更多的時候，學習者傾向于綜合的學習風格，因此，教師在呈現教學內容時以調動多種感官來學習是最適切的。“做中學”“聽中學”以及抽象的思辨等都要有所涉及。

不同的學習風格導致學生參與學習的方式不同。傾向于“場依存型”學習者以他人為參照進行認知，更愿意與他人合作學習，注重在團隊學習中共享信息，對他人的依賴性強，其行為屬于社會定向型的。對于這樣的學習者，需要為他們提供小組合作的機會，幫助他們完成學習。而“場獨立型”的學習者更傾向于以自我內部為參照進行認知，行事有自己獨到的見解，有自主精神，喜歡抽象的概念和理論，不善與人交往，其行為是非社會定向的。對于這樣的學習者，教師需要為他們獨辟靜謐的學習環境，使他們能夠沉浸在深入的思考世界，不受干擾。

4.多種評價方式助推教學向縱深發展

每個學生的學習基礎不同，學習中的情感態度也千差萬別，利用統一的評價標準對學生的深度發展有失公允。需要基于學生的差異，采取差異考試+多元評價的方式，向學生提供適合他們水平的試卷，對不同的學生提出不同的要求，通過相對評價、增值評價和課堂觀察評價等多種方式對個體進行綜合評價。在上述評價的基礎上，深入研究和分析認知診斷理論、比格斯solo分類理論、辛普森的動作技能目標分類法和克拉斯沃爾的情感目標分類法等理論，研究各種理論的優勢，如能夠對分數背后所隱藏的內部心理加工過程、所采用的技能和策略等進行探測，能夠對高階思維活動進行評定等，從而實現對個體的認知、技能、情感和思維有更細致的診斷，從而有助于評價者（學生、教師、家長以及教育管理者等）對學生各方面素質的全面了解和掌握，進而采取有針對性的補救措施。

參考文獻

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[作者：燕學敏（1975-），女，內蒙古赤峰人，中國教育科學研究院教師發展研究所，副研究員，博士。]

【責任編輯? 郭振玲】