角的認識要凸顯量性特征

孫曉平

“角的大小與兩邊張口的大小有關，而與所畫兩邊的長短沒有關系。”這是認識角的教學難點。一方面，學生在日常生活中比較大小，絕大多數是從多少個（數量）、多長（長度）、多大的面（面積）、多大的塊（體積）等方面去比較，很少接觸到角的大小。另一方面，由于受長度和面積的影響，他們會習慣性地按兩邊的長短及兩邊所夾區域的大小來比較角的大小。

教學中，教師往往注重從“形”的角度引導學生認識角，相對弱化了角的本質屬性——“量”。這導致學生對角的大小到底指什么以及為什么要比張開度不甚理解。如何讓學生在初次認識角時就實現對角“形”與“量”的同步建構，凸顯角的本質特征呢？

一、創設情境，激活角的量性經驗

學生的已有經驗是主動建構新知識的前提和基礎。教師要充分挖掘學生生活中有關角的量性特征的已有經驗，激活學生的生活體驗，喚醒學生關于角的量感直覺。

開課時，筆者創設了比比鱷魚爸爸與鱷魚媽媽誰的嘴巴張得更開的趣味情境。首先，筆者用課件呈現鱷魚爸爸和鱷魚媽媽張開嘴巴的圖片，并提問：“鱷魚爸爸和鱷魚媽媽，誰的嘴巴張得更大一些？你能用手勢表示它們嘴巴張開的樣子嗎？”學生想到用兩只手或叉開兩根手指來表示鱷魚嘴巴的張開度。筆者乘機提示：鱷魚的上下顎可以用兩條直直的線來表示（課件呈現從鱷魚嘴巴剝離出平面上的角），從而引出角的概念。然后，筆者引導學生觀察實物圖片（剪刀、手帕、紅領巾）并從中找到角。學生交流后，筆者用課件顯示用紅線描出角的過程，并讓學生用手勢做出這三個角的樣子，引導他們直觀感知哪個角張開得最大，哪個角張開得最小。最后，筆者用課件演示把這些角“請下來”（從實物中抽象出角）的過程。

趣味情境的創設，有效激活了學生頭腦中已有的有關角的量性特征的經驗。用動作直觀感知鱷魚嘴巴張開的大小及剪刀、手帕、紅領巾上角的張開程度的活動，使學生在初步接觸角時便實現了對角的量性特征的有效關注。

二、符號表征，外顯角的量性特征

在教學角的各部分名稱后，教師往往會直接告知學生“通常在兩條邊之間靠近頂點的地方畫一個短弧線來表示角”。這在教師看來是自然而然的事，但學生卻很疑惑。為什么要添上這個小弧線？小弧線表示什么意思呢？小弧線跟角的樣子也很不一樣啊？以至很多學生畫角時常常會忘記標示短弧線。其實短弧線源自清晰標記研究對象的需要，它有表示開口方向、兩邊所夾區域以及旋轉掃過的區域等多方面含義。同時，該符號耦合了角的弧度制測量的意蘊。因此，用短弧符號能有效外顯角的量性特征，彰顯其獨特的測量內涵。基于此，筆者進行了如下教學。

首先用課件出示鐘面（時針、分針重合指向“12”），動態演示分針走1個大格，并提問：仔細觀察，你看到角了嗎？接著演示分針繼續走4個大格，并提問：這時形成的角和剛才那個角有什么不一樣？（屏幕下方呈現前后兩次形成的角）學生發現第二個角大，第一個角小。筆者追問：你是怎么知道的？有的學生說：第一個角只張開了一點，第二個角張開得很大。還有的學生說：第一個角時針與分針之間只隔了1個大格，第二個角時針與分針之間隔了4個大格還多一點，所以第二個角更大。筆者總結：也就是第二個角中分針走得更遠一些，所以角張開得更大，為了清楚地表示出第二個角分針走得更遠，角張開得更大，我們常用這樣的短弧來表示角兩邊之間張開的大小（課件呈現兩條表示旋轉方向的短弧）。

角可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形，這是角的動態化定義。雖然二年級學生主要是認識靜態角，但恰當引入動態角，有利于學生清晰地感知角的大小變化。適時呈現的短弧線，讓學生對表示角的符號所蘊含的量性本質有了明確的認識。當短弧線在學生心中有了意義，他們畫角時就不再是盲從教師的指令，而是自覺運用短弧線來表示角，甚至還會注意到給大小不同的角標注符號時，所畫弧線的長度也會不一樣。

三、豐富體驗，理解角的量性特征

科學研究發現，8歲以后的兒童，雖然能察覺角的兩邊張開的程度，但缺乏角的保留性概念，同樣大的角，角的兩邊長短不同或是角的開口方向不同，學生就較難由視覺正確分辨。教學中，筆者感知到相比“角的大小與兩邊張口的大小有關”，學生更難理解的是“角的大小與所畫兩邊的長短無關”。面對頭腦中還沒有“射線”概念的學生，怎樣有效突破這一難點呢？筆者組織學生開展了以下探究活動。

活動一：做個身體角。筆者讓學生把肚臍當作角的頂點，把雙腿當作角的兩條邊，兩腿張開做個角，然后讓學生演示把角變大一些（把兩腿張開些）、變小一些（把兩腿收攏些），并說一說自己的發現。

活動二：比較張開度差異較大（同方向）的角。重在引導學生掌握用重疊的方法比較角的大小。

活動三：找出三角尺上的哪個角與紙上所畫的角一樣大。筆者出示兩個開口方向和張開角度差異較大的角（∠1較大，∠2較小），先讓學生用重疊的方法比一比三角尺上的角與學習單上∠1的大小，并用實物投影展示學生的操作過程。接著筆者提問：這個三角尺放在這，看起來似乎很大，可為什么這兩個角一樣大呢？有的學生說：因為它們的兩條邊分別重合了，說明它們的張口一樣大。于是筆者引導學生觀察兩個一樣大的角有沒有不同的地方。學生發現三角尺上這個角的兩條邊長一些，學習單上∠1的兩條邊短一些。筆者總結：這兩個角的兩邊長短不同，但角卻是一樣大的，這說明角的大小與邊的長短無關，只與兩邊張開的大小有關。接下來，筆者讓學生在三角尺上找到與∠2一樣大的角。學生通過猜想、比畫、驗證，明確了“角的方向雖然變了，但比角的方法沒有變”。以此打破學生習慣觀察右開方向的角的思維慣性，促進學生靈活地建立角的“量感”表象。

活動四：辨一辨，角變大了嗎？筆者用課件呈現一個角及這個角用放大鏡放大后的圖片，引導學生交流角的大小是否發生了變化。這個問題激發了學生的認知沖突。有學生認為：既然是放大鏡放大了，那角也應該變大了。也有學生附和：放大后的角的邊變粗變長了，我感覺角變大了。立即有學生反駁：不對，角的大小與邊的長短沒有關系，邊變粗了，但兩邊的張口并沒有改變，所以角沒有變大。筆者乘機總結：放大鏡下的角，雖然邊變長變粗了，但兩條邊沒有移動，說明兩邊的張口沒有改變，所以角還是和放大之前一樣大。

教學不僅僅是一種告知，更多的是學生的體驗、探究和感悟。筆者設計的四個活動遵循學生的認識規律，由直觀比較到直接比較再到間接比較，思維難度由淺入深，使學生在活動中探究、在操作中體驗，不斷完善對角的量性特征的理解，形成了對角的大小的正確認知。

（作者單位：枝江市仙女鎮仙女小學）

責任編輯? 劉佳