兩類Beta算子的收斂階

蔡清波,周國榮

(1.泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362000；2.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 廈門 361024)

1 預(yù)備知識

設(shè)f是定義在[0,1]上的可積函數(shù),Lupas[1]提出了如下正線性積分型Beta算子：

(1)

本文在此基礎(chǔ)上結(jié)合若干數(shù)值例子對算子(1)的收斂性質(zhì)做進(jìn)一步研究. 由于算子(1)僅為常數(shù)保持算子,所以提出如下線性保持的修正的Beta算子：

(2)

2 一些引理

引理1令x∈(0,1)， 以下等式成立：

βn(e0;x)=1;

βn(e4;x)=

證明由式(1)及Beta函數(shù)的定義和性質(zhì), 顯然有βn(e0;x)=1成立. 當(dāng)i=1,2,…時,有

從而, 引理1證畢.

引理2令x∈(0,1)，以下等式成立：

(3)

(4)

(5)

6x2βn(e2;x)-4x3βn(e1;x)+x4βn(e0;x)=

引理2證畢.

推論1令x∈(0,1)，由引理1和引理2易知以下極限式成立：

(6)

(7)

(8)

證明由式(2)、引理1和引理2經(jīng)簡單計算易知引理3成立.

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

3 收斂階的估計

首先給出βn(f;x)的局部逼近定理.

證明構(gòu)造輔助算子：

x∈(0,1).

(14)

此外,又因?yàn)?/p>

‖f‖βn(e0;x)+2‖f‖≤3‖f‖，

(15)

所以由式(14)和(15)可得

對式(15)右端的g∈C2(I)取下確界, 可得

|βn(f;x)-f(x)|≤

從而,

其中,M為正常數(shù). 定理1證畢.

由定理1、式(2)、(9)和(10)易知以下定理成立.

定理3設(shè)f∈C(I)，對于算子βn(f;x),有

證明對于取定的x∈(0,1)，由Taylor公式,有

f(t)=f(x)+f′(x)(t-x)+

由Cauchy-Schwartz不等式,有

定理3證畢.

4 數(shù)值結(jié)果

例1令f(x)=sin(2πx)，在圖1(a)中給出了f(x)和n分別取10,50，100的βn(f;x)算子的曲線像. 在圖1(b)中給出了n分別取10,50,100時的逼近誤差|f(x)-βn(f;x)|的曲線.

圖1 βn(f;x)算子的逼近趨勢(a)和逼近誤差(b)Fig.1 The approach trend (a) and approximation error (b) of βn(f;x) operators

圖算子的逼近趨勢(a)和逼近誤差(b)Fig.2 The approach trend (a) and approximation error (b) of operators

圖3 βn(f;x)和的逼近趨勢(a)和逼近誤差(b)比較Fig.3 The comparison of approach trend (a) and approximation error (b) of βn(f;x) and operators

表1 n取不同值時βn(f;x)和的逼近誤差上界Tab.1 The approximation error upper bound ofβn(f;x) and operators with different n

5 結(jié) 論

本文首先引入了一類常數(shù)保持和一類線性保持的Beta算子, 通過對這兩類Beta算子的矩量和中心矩量的估計, 分別得到它們的收斂階和Voronovskaja型漸近展開公式. 然后, 通過若干數(shù)值例子的圖像給出了兩類算子對不同函數(shù)的收斂效果并進(jìn)行數(shù)值誤差估計.