“證明舉例”單元任務設計的實踐與思考

◎ 毛 健

一、實行單元教學設計的意義

教學設計是教師根據課程標準的要求和教學對象的特點，將教學諸要素有序安排，確定合適的教學方案的設想和計劃。過去教學設計多為基于單課時的研究和探索，深入挖掘某一個數學問題的教學策略。近年來，關于單元教學設計的研究愈加深入，在《初中數學單元教學設計指南》中明確指出：“加強對單元的活動設計、實施和評價的研究，就是對于如何落實好‘指向學生數學核心能力發展的過程與方法目標’與‘彰顯學科育人價值的情感態度價值觀目標’的深入實踐。”

學生數學核心能力應是基于數學本質和數學思想的內化反應，是在數學學習過程中逐步形成的。其中，邏輯推理素養在形成人的科學精神、理性思維等方面起著重要作用。“課時教學設計”在某種程度上，將原本連貫的幾何證明進行了分割，使得學生對于某些定理的研究路徑和研究結果“碎片化”，不利于學生掌握系統的學科知識，更不利于學生掌握遷移和運用探究知識的方法，容易造成學生狹隘的知識視野。而“單元教學設計”則能夠很好地規避這些問題，整合單元中每個課時的內容，使之前后連貫，或教法一致，或內容一致，使學生在學習過程中不斷鞏固提升，最后內化為個人數學學習能力。

依據單元設計的教學模式，能夠更多地關注到知識生成的過程與方法，把握學生思維過程，促進數學表達。教師自身也能從關注學科基本知識和基本技能的掌握，逐漸深化到注重課程意識和專業素養的提升。因此，本研究嘗試對初中數學教師在進行單元教學研究過程中存在的困難進行分析，以滬教版初中數學教材八年級上冊第十九章“幾何證明”中“證明舉例”單元的任務設計為例，重新建構單元框架，重點剖析第七課時“借助圖形的旋轉添加輔助線”的教學任務設計，通過探討其設計流程、依據、內涵和策略，為教師初探單元教學視角下的課時任務設計提供參考。

二、數學單元教學設計的難點

（一）需重新組合學習內容

課前精準分析學生學情，一直以來都是教學設計的重要依據之一。教材教學內容符合大部分學生的學習能力和認知需求，但由于班情差異大，實施教學過程需要教師根據學生學情，重組學習內容，保障高效的學習。

（二）需重新設計學習過程

在原有的課堂模式下，學生已經習慣了“接受學習”和“被動學習”的模式，不少教學設計也是“牽”著學生往前走，缺少自主性、探究性和合作性。在單元化教學中，掌握知識的研究路徑比掌握知識本身更加重要，因此，設計環節需要讓學生的主體性得到充分展現，不論是通過自我展示、獨立探究或是合作交流，將方法遷移和運用的教學設計更需要教師的智慧和對課堂的操控能力。

（三）需重新調整教學評價

從課時設計轉變為單元設計，應增加與之匹配的長期型教學評價，采用單課時作業和長課時作業統一結合的方法。每個單課時作業需要結合前幾個課時的知識點，進行循序漸進式的練習。長課時作業則需要將多個課時的知識點串聯起來，采用思維導圖、魚骨圖、表格、探究型問題、分類討論型問題等多種形式，達到將單元知識聯系和區別的目的。

三、數學單元設計的實施策略

為了提高數學單元設計的可操作性，通過查閱文獻資料、經過教研組合作探究，筆者以“證明舉例”單元為例，進行基本設計策略的探究。由于幾何證明是學生在初中數學學習過程中的難點，學生知道分析幾何問題的一般方法：從條件出發、從結論出發、兩頭湊。但根據所需結論可思考怎樣的條件，是大部分學生的薄弱點。因此，筆者將原本按幾何分析方法分類的7個課時轉為按照幾何證明結果分類的8個課時。通過拉長教學時間，增加配套練習，整理證明某一結論的相關依據，與學生共同探究幾何證明的方法。

（一）把握單元在知識體系中的主體地位，搭建單元框架體系

1.把握單元來源，明確單元重點

根據課本編寫以及知識之間的內部關聯，我們可以將本章分為三個單元：命題和證明、證明舉例、直角三角形有關概念和性質（包含閱讀材料二：勾股定理萬花筒）。

通過閱讀《義務教育數學課程標準（2011年版）》可知，本單元對應的學習主題是圖形與幾何模塊中的“定義、命題、定理”。綜合運用六、七年級所學習的“相交線與平行線”“三角形”“圖形的變化”等相關知識，知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達形式，會綜合法證明的形式。

本單元是論證幾何學的入門，從實驗幾何到論證幾何，是從感性認識到理性認識的一個重大跨越。通過直觀觀察和操作實驗形成的幾何直覺是很寶貴的，它能幫助我們洞察幾何圖形的性質，做出猜想，給出進行演繹推理的目標和步驟。論證幾何采用邏輯的方法進行嚴密的推理，使所得的結論具有高度可靠性。

“證明舉例”單元重點研究教材上的14個例題，通過這些例題和相應的習題，初步掌握演繹推理的規則和規范表達的格式，如“由因導果” “執果索因” “兩頭湊”等。而筆者在教學中發現，學生解決同一問題的過程存在差異，若按照分析路徑來劃分課時并不科學，且課時與課時之間缺乏內在聯系。因此，筆者通過對例題內容進行劃分，結合分析策略對單元進行重新建構，以幫助學生學會分析問題，同時也達到了演繹證明策略的教學要求。

2.形成設計方案，搭建知識架構

以教學內容分類，本單元共設計8個課時（見圖1），分別以不同的結論為載體，將獲得結論的一般方法和研究路徑進行整體總結，提升學生思維有效性。

圖1 “證明舉例”單元設計課時安排

本單元重點需要掌握分析幾何問題的一般方法：由“因”導“果”；執“果”索“因”；“兩頭湊”。掌握方法是目標，掌握的過程則需要借助五個證明類型的具體實踐：證明角、線段相等的方法；證明兩直線位置關系的方法；證明邊邊邊定理的方法；借助圖形運動的思想添加輔助線：真命題的證明。在第一課時“證明線段相等的方法”時，選用教材中的例3和例6，引出三種分析幾何問題的一般方法，并對證明線段相等的方法進行總結。在后續的課程中，不斷加強三種分析方法的合理選取，并對不同證明結果所需要的幾何條件和思路進行總結。

以其中“借助圖形運動的思想添加輔助線”課時為例，圖形運動分為旋轉和翻折兩個部分，兩個課時的教法均是利用圖形的運動把一些分散的元素集中在一個圖形中，體會在圖形運動思想的指導下添置輔助線的方法和構造基本圖形的方法。

（二）課時任務設計關聯單元任務設計

1.整體規劃

本單元注重于調動學生已有的知識經驗和建立必要的邏輯知識基礎，架起從實驗幾何到論證幾何的橋梁，引導學生平穩過渡，讓學生進行演繹推理證明的初步訓練。本單元安排了14道例題，落實到每一課時中，例題的組織，循序漸進，由易到難。前一個課時的結論能夠為下一個課時做鋪墊，前一個課時的研究方法能夠沿用到下一個課時。

2.同類型任務設計的多課時沿用

針對本單元的每一個課時，筆者均以五個任務為設計鏈，由淺至深，由特殊到一般，從個人思考到團隊合作，從學生小結到教師總結。接下來，筆者以本單元第7課時 “借助圖形的旋轉添加輔助線”為例，大致講述任務設計的方法和目的。

（1）任務一：利用等腰三角形的三線合一條件重組導出疑惑。

導入：在ΔABC中，AB=AC，AD⊥BC，可以得到哪些結論？

已知：如圖2所示，在ΔABC中，點D是線段BC上一點，請在下列條件中任選兩個作為已知條件：a. AD⊥BC；b.∠1=∠2；c. BD=CD。

圖2 示意圖

求證：AB=AC。

① 選取條件，分析依據。

② 個人感悟：證明線段相等的方法是構造全等三角形（或利用等腰三角形的判定）。

③ 提出問題：可否根據∠1=∠2，BD=CD，得到AB=AC？

學生從自己熟知的知識進行分析，在等腰三角形的前提下，在三個條件中，任意結合一個條件，就可推出另外兩個，那如果把這三個條件任意結合兩個，是否能得出兩邊相等呢？學生通過獨立思考，很快解決了情況1和情況2，而且都是通過全等或是等角對等邊進行證明的，但第三種情況就遇到了困難，沒有恰當的全等三角形，那就要繼續進行任務了。

（2）任務二：以問題為中心的小組討論。

已知：如圖3所示，在ΔABC中，點D是線段BC上一點，∠1=∠2且BD=CD。

圖3 示意圖

求證：AB=AC。

①獨立思考：尋求解決問題的方法。

②小組討論（任務單）：交流困難→互助解決→完善過程→小組匯報。

這個任務的作用是進行新知構建，也就是引導學生合理添加輔助線，構造全等三角形進行推理論證的。所以是在獨立思考后進行有任務的小組合作，把任務作為支持工具，促進不同層次的學生都積極參與活動，提高單元活動的效益。

（3）任務三：提供再創造的數學活動機會。

已知：如圖4所示，在ΔABC中，點D是線段BC上一點，∠1=∠2，BD=CD。

圖4 示意圖

求證：AB=AC。

① 這樣做輔助線的作用是什么？

② 這樣做輔助線的依據是什么？

這個任務的作用是進行小結提升，也就是通過追問引導學生如何合理添加輔助線，構造全等三角形進行推理論證，以及這樣添加的作用和依據。為學生提供合適的“再創造”情境，把分散條件進行集中，獲得全等三角形或等腰三角形，目的是讓學生有機會了解數學結論背后的豐富內涵——線段的中心對稱性，對自己的思維層次進行一次提升。

（4）任務四：方法遷移。

已知：如圖5所示，AD‖BC，E是線段CD的中點，AE平分∠BAD。

圖5 示意圖

求證：BE平分∠ABC。

歸納添加輔助線的一般方法：依據線段中點，借助圖形的旋轉添置輔助線，構造基本圖形。這個支架的作用是將掌握的方法運用到一般的圖形中去，讓學生了解“倍長中線”只是借助旋轉添加輔助線的方法之一，其本質為已知“中點”構造旋轉，找到合適的方式添加輔助線。把分散條件進行集中，獲得全等三角形或等腰三角形，將特殊問題一般化。

（5）任務五：從一般問題中提煉一般方法。

已知：如圖6所示，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B與∠D互補。

圖6 示意圖

求證：CA平分∠BCD。

歸納添加輔助線的一般方法：依據線段相等，借助圖形的旋轉添置輔助線，構造基本圖形。這個任務的作用是讓學生了解“中點”的本質在于線段相等，線段的中點是特殊的旋轉中心，而根據一般的線段相等和特殊的角的關系，我們同樣可以借助旋轉，添加輔助線，構造基本圖形。將特殊的“中點”情況一般化，尋求普遍方法來解決問題。

四、數學單元設計的基本原則

（一）立足學科課程標準，借助學科基本要求

教師的主要任務是將數學知識的學術形態轉化為教育形態。課程標準、基本要求、教學參考，都是我們研究單元教學設計的重要理論基礎。脫離理論的實踐往往是魯莽的，而脫離實踐的理論是不可靠的。我們進行單元設計之前，既要縱觀整個單元在初中數學系統中的地位，胸懷全局，高屋建瓴；又要把握學情，積極解決重難點問題。

（二）落實同伴互助學習，培養學生合作意識

由于學生之間存在一定差異，在單元設計中更需要關注不同層次學生的學習目標。探究性自主學習對于部分后進生而言，確實比較困難，因此分課時設置個人使用任務單和小組合作任務單，明確小組合作的內容和要求，通過小組代表匯報促進組內交流，實現有效果、有目的、實際發生的小組合作探究學習模式，能夠讓不同層次學生共同進步。

（三）注重交流表達，突出思維過程

從“說理”推進到“演繹證明”，并且最終的學習是落實到“證明”。這是高層次的幾何學習，不僅注重于運用邏輯推理的方法獲得更系統的幾何學知識，而且將成為一種極為重要的思維方式，是培養學生邏輯推理能力的非常好的時機。

單元化的教學環節設計，能避免“只見樹木不見森林”的教學誤區，提高教學的有效性和數學知識網絡的系統性，整體為學生謀發展。