函數解析式求法“大集合”

■王佩其

函數的解析式是表示對應關系的代數式,是函數三種表示法中最重要的一種,對某些函數問題,能否順利解答,往往取決于是不是能夠求出函數的解析式。那么確定函數解析式有哪些基本方法呢?

一、待定系數法

當已知f(x)的結構時,可設出含參數的表達式,再將已知條件轉化為方程或方程組,進而求出有關參數的值,即得函數f(x)的解析式。

例1(1)已知函數f(x)為一次函數,且滿足f[f(x)]=4x-3,求函數f(x)的表達式。

(2)已知二次函數f(x)滿足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,求函數f(x)的解析式。

評析:待定系數法求函數的解析式的關鍵是列方程組,這種方法充分體現了方程思想的應用。

二、配湊法

已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的解析式,可先用g(x)表示h(x),然后再將g(x)用x代替,即得f(x)的解析式。

評析:配湊法的本質是一種整體代換的思想,這里“整體”的取值范圍就是函數的定義域,即題中+1≥1。

三、換元法

已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的解析式,若用配湊法不容易求出時,可設g(x)=t,從中解出x,代入h(x)進行換元求解。

評析:利用換元法求解析式,一定要注意“新元”的取值范圍,即函數的定義域。

四、構造法

已知關于f(x)與或f(-x)的表達式,可根據已知條件再構造出另外一個等式,然后通過解方程組求出f(x)的解析式。

例4已知函數f(x)滿足f(x)+2f(-x)=x3-2,求函數f(x)的解析式。

解:以-x代替f(x)+2f(-x)=x3-2中的x,可得f(-x)+2f(x)=-x3-2。

評析:對于函數f(x),當滿足形如af(x)+bf(-x)=g(x)(a≠b≠0)或af(x)+bf=g(x)(a≠b≠0)關系時,可用-x或代替關系式中的x,得到的新關系式與原關系式聯立消元,即得函數f(x)的解析式。

五、根據實際問題求解析式

函數在現實生活中有著廣泛的應用,其解析式“隱藏”在實際問題中,可以根據實際問題來求函數的解析式。

例5為了盡快改善職工住房困難,鼓勵個人購房和積累建房基金,決定住房的職工必須按基本工資的高低交納住房公積金,辦法如表1所示。

表1

設職工每月工資為x元,交納公積金后實得工資為y元,求y與x之間的關系式。

解:由題中的表1可知,當0

由上可得y與x的關系可用分段函數表示為y=

評析:根據實際問題求解析式,必須先讀懂題意,再將題中的“自然語言”轉化為“數學語言”,然后求出解析式,但需要注明函數的定義域。

六、利用函數的性質求解析式

函數具有單調性,奇偶性,周期性等性質,這些性質同時反映在它們的圖像上,因此利用圖像特征是求函數解析式的有效途徑之一。

例6若奇函數f(x)的定義域為R,且當x>0 時,f(x)=,試求函數f(x)的解析式。

評析:題中函數f(x)是一個定義域為R的奇函數,所以f(0)=0。這類問題的最終結果一般是一個分段函數。

感悟與提高

甲同學家到乙同學家的途中有一公園,甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km,甲10 時出發前往乙家。圖1 表示甲從出發到乙家為止經過的路程y(單位:km)與時間x(單位:min)的關系。試寫出y=f(x)的函數解析式。