“咬文嚼字”學(xué)“單調(diào)”

■彭向陽

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),同學(xué)們初學(xué)函數(shù)的單調(diào)性,必須深刻理解定義,“咬文嚼字”進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)。

一、“函數(shù)沒有單調(diào)性”和“函數(shù)不單調(diào)”

例1討論函數(shù)f(x)=kx+b的單調(diào)性。

解析

此函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)于?x1,x2∈R,且x1>x2,則f(x1)-f(x2)=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)。因?yàn)閤1>x2,所以x1-x2>0。

當(dāng)k>0 時(shí),k(x1-x2)>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),可知此函數(shù)是增函數(shù);當(dāng)k=0 時(shí),k(x1-x2)=0,可得f(x1)-f(x2)=0,即f(x1)=f(x2),可知函數(shù)f(x)=b是常數(shù)函數(shù),沒有單調(diào)性;當(dāng)k<0 時(shí),k(x1-x2)<0,可得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

綜上可得,當(dāng)k>0時(shí),此函數(shù)在R 上單調(diào)遞增;當(dāng)k=0時(shí),此函數(shù)在R 上不具有單調(diào)性;當(dāng)k<0時(shí),此函數(shù)在R 上單調(diào)遞減。

點(diǎn)評(píng)

函數(shù)具有單調(diào)性,即要么單調(diào)遞增,要么單調(diào)遞減。常數(shù)函數(shù)沒有單調(diào)性,即常數(shù)函數(shù)不具有單調(diào)性。二次函數(shù)f(x)=x2+1,不能說在定義域R 上單調(diào),只能說在(-∞,0]上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增。反比例函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),不能說在定義域上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,只能說在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上也單調(diào)遞減。

二、“在區(qū)間上單調(diào)”和“單調(diào)區(qū)間是”

例2(1)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____。

(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4),則實(shí)數(shù)a的值為____。

解析

函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2 的對(duì)稱軸是直線x=1-a,圖像的開口向上,在(-∞,1-a)上單調(diào)遞減,在(1-a,+∞)上單調(diào)遞增。

(1)由題意可得(-∞,4)?(-∞,1-a),所以1-a≥4,即a≤-3。故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-3]。

(2)由題意可知,函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2 的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4),所以1-a=4,即實(shí)數(shù)a=-3。

點(diǎn)評(píng)

注意“在區(qū)間上單調(diào)”和“單調(diào)區(qū)間是”的含義是不相同的。

三、“單調(diào)區(qū)間”和“定義域”

例3求函數(shù)y=(-3+4x-x2)的單調(diào)區(qū)間。

解析

函數(shù)y=(-3+4xx2)是由函數(shù)y=t和t=-3+4x-x2復(fù)合而成。解題時(shí),先求定義域,再確定單調(diào)區(qū)間。

由-3+4x-x2=-(x-1)(x-3)>0,可得函數(shù)的定義域?yàn)?1,3)。

因?yàn)楹瘮?shù)t=-(x-2)2+1在(1,2]上單調(diào)遞增,在[2,3)上單調(diào)遞減,而函數(shù)y=是減函數(shù),所以此函數(shù)在(1,2]上單調(diào)遞減,在[2,3)上單調(diào)遞增。

點(diǎn)評(píng)

求函數(shù)的定義域,要注意區(qū)間的端點(diǎn)的取舍,要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是要先求出函數(shù)的定義域。對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,要根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則——同增異減求解。