函數奇偶性的應用

■向正銀

函數的奇偶性是函數的重要性質之一,應用函數的奇偶性可求函數的值,比較函數值的大小,解不等式,求函數的值域等。下面舉例分析。

一、利用函數的奇偶性求函數的值

例1奇函數f(x)的定義域為R,若f(x+2)為偶函數,且f(1)=1,則f(8)+f(9)等于____。

解:因為f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x)。因為f(x+2)是偶函數,所以f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4)。由f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,可得f(8)=0,f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5)。由f(5)=(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,可得f(9)=1。故f(8)+f(9)=1。

評析:奇函數的圖像關于原點對稱,偶函數的圖像關于y軸對稱。已知函數f(x)的奇偶性及f(-x0)的值,可利用f(-x)±f(x)=0求f(x0)的值。

二、利用函數的奇偶性比較函數值的大小

例2若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函數,則f(0),f(1),f(-2)從小到大的排列是____。

解:因為f(x)是偶函數,所以(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,可得m=0,所以函數f(x)=-x2+2。由函數f(x)的圖像開口向下,對稱軸為y軸,在[0,+∞)上單調遞減,可得f(2)

評析:利用奇偶性比較函數值的大小,要結合函數單調性,把自變量轉化到同一單調區間內求解。對于偶函數,利用f(-x)=f(x)=f(|x|)可簡化運算。

三、利用函數的奇偶性解不等式

例3定義在R 上的奇函數f(x)滿足:當x>0時,f(x)=2x-1,則滿足f(x)<的實數x的取值范圍為____。

解:當x>0時,由2x-1<,解得x<2,可得0

綜上可得,x<-2 或0

評析:解答本題的關鍵是利用分類討論求得實數x的取值范圍。

四、利用函數的奇偶性求函數的值域

評析:利用函數的奇偶性,結合函數的單調性可求出函數在指定區間上的值域,這種求函數值域的方法在實際解題中應用很廣泛,同學們應重視。