透視冪函數的常見題型

■武興亮 張啟兆

冪函數是基本初等函數之一,是在學習了函數的概念與性質之后研究的一種特殊函數。下面舉例說明冪函數的常見題型。

一、冪函數的圖像

例1圖1 中C1,C2,C3為三個冪函數y=xα在第一象限內的圖像,則解析式中指數α的值依次可以是()。

圖1

解:由冪函數y=xα在第一象限的圖像知,圖中C1對應的α<0,C2對應的0<α<1,C3對應的α>1。故指數α的值依次可以是-1,。應選D。

評注:認識冪函數的圖像的關鍵是抓住第一象限的特征。①當α>1時,過點(0,0),(1,1)的拋物線型,且下凸遞增;②當α=1時,過點(0,0),(1,1)的射線;③當0<α<1時,過點(0,0),(1,1)的拋物線型,且上凸遞增;④當α=0時,即y=1(x≠0),平行于x軸的射線;⑤當α<0時,過點(1,1)的反比例函數,在第一象限內遞減,與兩個坐標軸的正半軸無限接近。

二、冪函數的性質

例2(多選題)在數學學習與研究中,常用函數的圖像來研究函數的性質。下列函數中,在(0,+∞)上單調遞增且圖像關于y軸對稱的是()。

A.f(x)=x3B.f(x)=x2

C.y=x-2D.f(x)=|x|

解:f(x)=x3的定義域為R,在(0,+∞)上單調遞增,但f(-x)=-x3≠f(x),即f(x)=x3不是偶函數,其圖像不關于y軸對稱,A排除。f(x)=x2的定義域為R,在(0,+∞)上單調遞增,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),即f(x)=x2是偶函數,圖像關于y軸對稱,B正確。y=x-2的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),在(0,+∞)上單調遞減,C排除。f(x)=|x|的定義域為R,在(0,+∞)上單調遞增,且f(-x)=|-x|=|x|=f(x),即f(x)=|x|是偶函數,圖像關于y軸對稱,D正確。應選B,D。

評注:理解y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1這五個冪函數的圖像與性質是解題的關鍵。

三、求參數的取值范圍

例3已知冪函數f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上是增函數,函數g(x)=2kx+2。

(1)求m的值。

(2)對任意x1∈[-1,2],總存在x2∈[1,2],使g(x1)=f(x2),求k的取值范圍。

解:(1)由題意可得解得m=0。

(2)由(1)知f(x)=x2。記A={y|y=f(x),x∈[1,2]},B={y=g(x),x∈[-1,2]}。容易求得A=[1,4]。由題意得B?A,所以即k∈。

評注:第(1)問是利用冪函數的概念及單調性求解的,第(2)問是將問題轉化為值域的包含關系求解的。