考慮水蒸氣蒸發和冷凝的球狀泡群中泡的動力學特性*

徐珂 許龍? 周光平

1) (中國計量大學物理系,杭州 310018)

2) (深圳職業技術學院電子與通信工程學院,深圳 518055)

為了深入探究空化泡群中氣泡的動力學特性,建立了超聲驅動下考慮水蒸氣的蒸發和冷凝的泡群中泡的動力方程.基于該方程,研究了泡群中泡的位置、泡的數量、泡的初始半徑對其動力學特性的影響,探究了超聲作用下球狀泡群中氣泡半徑、能量、溫度、壓力和氣泡內水蒸氣分子數的變化規律.結果表明:泡群中泡的運動受到周圍氣泡的抑制作用;泡群中泡的初始半徑大小對泡群中泡的半徑、能量、溫度、壓力和氣泡內水蒸氣分子數有顯著影響;泡群中泡的位置距離泡群中心越遠,泡的膨脹半徑越大;隨著泡群中泡的數目增加,泡的振幅減小;超聲頻率增加,泡群中泡的空化效應減弱;超聲聲壓增加,泡群中泡的空化效應增加.研究結果為超聲空化泡群的研究提供了理論參考.

1 引言

超聲空化是指液體中的微小泡核在聲波作用下被激活,表現為泡核的振蕩、生長、收縮乃至崩潰等一系列動力學過程[1].空化氣泡在崩潰時,泡內會形成高溫高壓現象[2?7].空化氣泡崩潰的同時,還會伴隨著聲致發光、強烈的沖擊波以及微射流等現象的發生[2].利用空化氣泡崩潰瞬間產生的高溫高壓以及沖擊射流等極端物理條件,超聲空化在石油開發、癌癥治療、超聲清洗和廢水處理等領域得到了廣泛應用[8?12].

在超聲空化研究中,為了更好地理解空化效應發生的物理機理,人們基于Rayleigh 空化泡的運動方程發展了單氣泡動力學模型來分析空化泡的動力學特性[13?19].文獻[13]考慮了動態聲空化泡氣液分界面處的氣體擴散.文獻[14]考慮了動態聲空化泡的氣液界面上的相變過程.文獻[15]考慮了化學變化對動態聲空化泡內外質量交換特性的影響.文獻[16,17]提出了關于動態聲空化泡內外質量交換的唯象模型,得到了考慮內外質量交換時空化泡的平衡半徑.文獻[18]考慮空化泡徑向速度很大時對外邊界壓力梯度的影響.文獻[19]在考慮動態聲空化泡的氣液界面上的相變情況下,研究了雙頻超聲對空化泡的動力學特性影響.

但是在實際應用中的空泡總是以多泡(空化泡群)形式存在,為了探究實際情況下多泡中空化泡的動力學特性,許多課題組開展了對空化泡群[20?25]的有關研究.文獻[20]建立了鏈式泡群和球狀泡群內氣泡的動力學方程,分析了泡群內氣泡的運動行為和多泡聲致發光特征.文獻[21]建立了由不同尺寸氣泡組成的泡群的動力學模型,研究了泡群內氣泡初始半徑、氣泡數量、聲頻率及聲壓對氣泡動力學特性的影響.文獻[22]從均勻球狀泡群內氣泡非線性振動方程出發分析了驅動聲壓幅值、聲波頻率和液體環境對空化氣泡振動特性的影響.文獻[23]從泡群中氣泡動力學方程出發,對泡壁運動方程進行線性約化,得到球狀泡群中氣泡諧振頻率的表達式,并給出了泡群中氣泡諧振頻率與單泡 Minnaert頻率的修正系數.討論了泡群中氣泡初始半徑、氣泡數量、氣泡之間距離對諧振頻率的影響.文獻[24]考慮了氣泡壁上的質量交換、熱傳導和化學反應等效應,研究了聲壓幅值、頻率和氣泡數對球狀泡群內的溫度和氧化劑生成量的影響.文獻[25]利用氣泡群及群內任一氣泡的Rayleigh-Plesset 方程并結合van der Waals 過程方程,研究了不同類型氣泡組成的混合泡群中的氣泡半徑、泡內溫度和群內壓力脈沖變化規律.

以上關于空化泡群的研究,有的在不考慮氣泡內外質量交換的情況下,建立多氣泡動力學模型,或者在考慮氣泡內外質量交換的情況下,求解氣泡群內物理特性變化.本文在考慮氣泡內水蒸氣的蒸發和冷凝的前提下,結合氣泡之間的相互作用,建立了球狀泡群中泡的動力學模型,并探討了泡在泡群中的不同位置以及泡群中泡的數量、初始半徑對泡的動力學特性的影響.進一步研究了不同聲場作用下泡群中氣泡半徑、能量、溫度、壓力和氣泡內水蒸氣分子數的變化.

2 考慮水蒸氣的蒸發和冷凝的球狀泡群中泡的振動模型

2.1 理論模型

為了建立考慮內外質量交換的球狀泡群中空化泡的振動模型,先作出如下假設:1) 不考慮球狀泡群邊界運動對泡群內壓力分布的影響;2) 泡群內空化泡始終為球形,只做徑向運動;3) 氣泡在泡群中分布均勻且初始半徑相同;4) 忽略泡內空氣分子數量的改變;5) 忽略液體密度和液體中超聲傳遞速度的變化;6) 液體為可壓縮性流體,其表面張力、黏滯性不可忽略;7) 考慮水蒸氣的蒸發和冷凝的影響.

在考慮空化泡內水蒸氣的蒸發和冷凝情況下,距離球狀泡群中心r0處的氣泡振動方程可近似表示為[14,20]

式中,R,和分別表示泡的半徑、半徑隨時間的變化速度和加速度.和分別代表單位時間內空化氣泡單位面積上水蒸氣蒸發和冷凝的速度和加速度.c為水中的聲速,P0為水中靜壓,ρ為水的密度,A為超聲波的振幅,f為超聲波的頻率.其中r0為該氣泡在球狀泡群中的相對位置,N為泡群中氣泡總數,rclust為球狀泡群的半徑.

Pout(t)為空化氣泡外邊界處的液體壓力,其表達式為

其中,Pin(t)為空化泡的泡內壓強,σ為水的表面張力,μ為水的黏性系數,ρa為氣泡內氣體分子的密度,其表達式為

計算Pin(t)時,采用van der Waals 狀態方程:

式中,n(nair+)/NA,a和b是van der Waals量(二者會隨著泡內水蒸氣分子數的變化而改變),Rg是氣體常數,T是氣泡內的溫度.a和b的變化方程為

其中,E是氣泡的內能,Cv,air和Cv,H2O是空氣和水蒸氣的等體摩爾熱容.氣泡內能E在單位時間的變化為

式中,等式右端第一項表示泡內壓強在 ?t時間內導致的空化泡內能變化,?V(t) 表示氣泡體積在?t時間內的變化.等式右端第二項表示泡內的水蒸氣分子數量變化在 ?t時間內產生的氣泡內能變化.其中e是水蒸氣蒸發或冷凝所攜帶的能量[14].

其中,αM為常數[14],為水蒸氣的氣體常數,為氣泡內的飽和蒸氣壓,T0為液體溫度,為氣泡內的水蒸氣分壓.K的表達式為

3 結果與討論

本文在求解空化泡的動力學方程式時,選擇Runge-Kutta 法.計算初始條件為R=R0,=0,=0,T=T0,==0,Pout=P0.水的物性參數為c=1500 m/s,σ=0.0725 N/m,μ=1×10–3Pa·s,ρ=1000 kg/m3,P0=1×105Pa.本文主要研究功率超聲作用下,泡群內不同位置處空化泡的歸一化半徑、泡內壓力、泡內能量、泡內溫度以及泡內水蒸氣分子數隨時間的變化特性.

3.1 單泡與泡群中泡的動力學特性

為了研究泡群中泡的動力學特性,根據(1)式分別計算了單泡、泡群中心的泡和泡群表面的泡的動力學特性,計算結果如圖1 所示.單泡和泡群中泡的初始半徑R0=4.5 μm,根據文獻[20?22],泡群內空化泡個數N=300,泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲波的振幅A=1.5×P0,超聲波的頻率f=20 kHz.

圖1(a)為氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線.比較發現,單泡的振動幅度明顯高于泡群中的泡,位于泡群表面泡的振動幅度大于位于泡群中心泡的振動幅度;單泡的膨脹和崩潰時間比泡群中泡的膨脹和崩潰時間更短,泡群表面的泡比泡群中心的泡先崩潰.圖1(b)為氣泡內內能隨時間的變化曲線.可以看出,單泡的泡內內能遠大于位于泡群表面和泡群中心泡的泡內內能.圖1(c)為氣泡內溫度隨時間的變化曲線.圖1(d)為氣泡內壓力隨時間的變化曲線.結合圖1(c)和圖1(d)可以看出,單泡的泡內最高溫度和最大壓力都要高于位于泡群中泡的泡內最高溫度和最高壓力,且位于泡群中心的泡和位于泡群表面的泡的泡內最高溫度和最大壓力較接近.圖1(e)為氣泡內水分子數量隨時間的變化曲線,它的曲線形狀與氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線趨勢一致.可以看出,單泡泡內水分子數量最大值遠大于位于泡群中泡的泡內水分子數量最大值.

圖1 單泡、泡群中心的泡和泡群表面的泡的動力學特性 (a) 氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線;(b) 氣泡內內能隨時間的變化曲線;(c) 氣泡內溫度隨時間的變化曲線;(d) 氣泡內壓力隨時間的變化曲線;(e) 氣泡內水分子數量隨時間的變化曲線Fig.1.Dynamical behaviors of a single bubble,a bubble at the center of a bubble group and a bubble on the surface of a bubble group:(a) Change curve of the normalized radius with the time for the bubble;(b) change curve of the internal energy in the bubble with the time;(c) change curve of the temperature in the bubble with the time;(d) change curve of the pressure in the bubble with the time;(e) change curve of the number of water molecules in the bubble with the time.

由此可知,位于泡群中的泡由于受到周圍氣泡的作用,其振動幅度更小,崩潰時間更長,泡內內能、泡內最高溫度、泡內最大壓力和泡內水分子數量更小.

3.2 初始半徑對泡群中心泡的動力學特性的影響

圖2 給出了泡群中不同初始半徑泡的動力學特性.泡群中泡的初始半徑R0取值分別為4.5,10.5,15.5 和20.5 μm,相應的泡內初始水分子個數和空氣分子個數也會改變[14,18].泡群內泡的個數N=300,泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲波的振幅A=1.5×P0,超聲波的頻率f=20 kHz.

圖2(a)為泡中心氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線.可以看出,在泡群半徑相同且泡群內空化泡數目相同的情況下,初始半徑較大的氣泡在聲場作用下其歸一化振幅更小;初始半徑較大的氣泡的崩潰時間大于初始半徑小的氣泡的崩潰時間;初始半徑較大的氣泡有較少的振蕩.圖2(b)為泡中心氣泡內內能隨時間的變化曲線.可以看出,初始半徑較大的氣泡其泡內內能更大.圖2(c)和圖2(d)分別為泡中心氣泡內溫度和壓力隨時間的變化曲線.觀察發現,初始半徑較大的氣泡的泡內最高溫度和最大壓力均小于初始半徑較小的氣泡的泡內最高溫度和最高壓力.圖2(e)為泡中心氣泡內水分子數量隨時間的變化曲線,可以看出,初始半徑大的氣泡內水分子數量更多.

圖2 泡群中不同初始半徑的泡的動力學特性 (a) 氣泡歸一化半徑隨時間的變化;(b) 氣泡內內能隨時間的變化曲線;(c) 氣泡內溫度隨時間的變化曲線;(d) 氣泡內壓力隨時間的變化曲線;(e) 氣泡內水分子數量隨時間的變化曲線Fig.2.Dynamic characteristics of the bubbles with different initial radii in bubble group:(a) Change curve of the normalized radius with the time;(b) change curve of the internal energy in the bubble with the time;(c) change curve of the temperature in the bubble with the time;(d) change curve of the pressure in the bubble with the time;(e) change curve of the number of water molecules in the bubble with the time.

3.3 泡群中泡的數量和相對位置對泡群中泡的動力學特性的影響

圖3 給出了泡群中不同位置的泡的動力學特性.泡群中泡的初始半徑R0=4.5 μm,根據文獻[23?25],泡群內空化泡個數分別為N=300,N=500 和N=1000.泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲振幅A=1.5×P0,超聲頻率f=20 kHz.

圖3 為含有不同空化泡數量(300,500 和1000 個)的泡群中,初始半徑R0=4.5 μm 的泡的最大膨脹半徑隨其距離泡群中心距離的變化關系曲線.可以發現,自泡群中心位置到泡群表面的泡,距離泡群中心越遠,泡的最大膨脹半徑Rmax越大,Rmax/R0的曲線斜率變大,說明膨脹半徑的增長速率變大.在泡群半徑不變情況下,隨著泡群中空化泡數目的增加(即泡群中空化泡的密度增大),Rmax/R0的值減小,即泡的振幅減小.

圖3 泡群中不同位置的泡的動力學特性Fig.3.Dynamic characteristics of bubbles at different positions in a bubble group.

由以上分析可知,在泡群中,氣泡位置距離泡群中心越遠,它的膨脹半徑越大.隨著泡群中泡的數目增加,泡群中泡的振幅會減小.

3.4 聲場參數對泡群中泡的動力學特性的影響

3.4.1 頻率對泡群中泡的動力學特性的影響

圖4 給出了不同頻率下泡群中心泡的動力學特性.泡群中心泡的初始半徑為R0=4.5 μm,泡群中泡的個數N=300,泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲波的振幅A=1.5×P0,超聲波的頻率分別為f=20 kHz,f=30 kHz 和f=50 kHz.

圖4(a)為氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線.可以看出,隨著超聲頻率的增加,氣泡在一個周期內的振蕩次數減少,氣泡的振蕩幅度減小.圖4(b)—圖4(e)分別為氣泡內內能、溫度、壓力和水分子數量隨時間的變化關系曲線,比較可知,氣泡在破裂的瞬間,泡內內能達到最大值、泡內溫度最高、泡內壓力最大;氣泡膨脹到最大時泡內水分子數量最多;隨著超聲頻率的增加,氣泡的泡內最大內能、最高溫度、最大壓力和水分子數量均減小.這是因為超聲波頻率越高,負壓相位的時間縮短,氣泡內部低壓持續時間越短,水蒸氣分子蒸發的時間越短,導致氣泡中積累的水蒸氣分子越少,空化效應也會減弱.

圖4 不同頻率下泡群中泡的動力學特性 (a) 氣泡歸一化半徑隨時間的變化;(b) 氣泡內內能隨時間的變化曲線;(e) 氣泡內水分子數量隨時間的變化曲線Fig.4.Dynamic characteristics of the bubbles in bubble groups at different frequencies:(a) Change curve of the normalized radius with the time for the bubble;(b) change curve of the internal energy in the bubble with the time;(c) change curve of the temperature in the bubble with the time;(d) change curve of the pressure in the bubble with the time;(e) change curve of the number of water molecules in the bubble with the time.

3.4.2 聲壓對泡群中泡的動力學特性的影響

圖5 為泡群中心的泡在不同聲壓下驅動下的動力學特性.泡群中泡的初始半徑為R0=4.5 μm,泡群內空化泡個數N=300,泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲波的振幅分別為A=1.2×P0,A=1.5×P0和A=2.0×P0,超聲波的頻率為f=20 kHz.

圖5 不同聲壓下泡群中泡的動力學特性 (a) 氣泡歸一化半徑隨時間的變化;(b) 氣泡內內能隨時間的變化曲線;(c) 氣泡內溫度隨時間的變化曲線;(d) 氣泡內壓力隨時間的變化曲線;(e) 氣泡內水分子數量隨時間的變化曲線Fig.5.Dynamic characteristics of bubbles in bubble groups under different sound pressures:(a) Change curve of the normalized radius with the time for the bubble;(b) change curve of the internal energy in the bubble with the time;(c) change curve of the temperature in the bubble with the time;(d) change curve of the pressure in the bubble with the time;(e) change curve of the number of water molecules in the bubble with the time.

圖5(a)為氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線.隨著超聲聲壓的增加,空化泡振蕩幅值增大,氣泡半徑最大值增大,空化泡崩潰時間增加,空化泡崩潰后振蕩減少.圖5(b)—(e)分別為不同聲壓驅動下泡內內能、溫度、壓力和水分子數量隨時間的變化曲線,可以看出,超聲聲壓增大,氣泡內內能、溫度和泡內壓強的最大值會增大,氣泡內部壓強和溫度的最小值減小,氣泡泡內水分子數量最大值增大.這是因為超聲振幅越大,在超聲頻率不變的情況下,氣泡在相同時間的超聲波負壓相吸收的能量越多,同時氣泡的膨脹階段的時間也會延長,氣泡內的壓強會越低,水蒸氣分子蒸發速率會增大,泡內的水蒸氣分子數量就増加得越多,泡內內能也就越高.由此可知,當超聲聲壓增加時,泡群中泡的空化效應也會增加.

4 結論

考慮空化泡內水蒸氣的蒸發和冷凝的前提下,結合氣泡之間的相互作用,建立了球狀泡群中泡的動力學模型,探討了泡在泡群中的不同位置以及泡群中泡的數量、初始半徑對泡的動力學特性的影響.進一步研究了不同聲場作用下泡群中氣泡半徑、能量、溫度、壓力和氣泡內水蒸氣分子數的變化.得到以下結論.

1)相比于單泡,泡群中泡的振動幅度更小,崩潰時間更長,泡內的內能、最高溫度、最大壓力和水分子數量更小.泡群中泡的位置距離泡群中心越遠,泡的膨脹半徑越大.

2)泡群中泡的初始半徑大小對泡群中泡的歸一化振幅、崩潰時間、泡內內能、溫度、壓力和水分子數量具有明顯影響.

3)隨著泡群中泡的數目增加,泡群中泡的振幅會減小,會影響泡群的整體空化效果.

4)超聲頻率越高,氣泡在一個周期內的振蕩次數越小,氣泡的振蕩幅度越小,氣泡內的最大壓力和能量越小,氣泡內部壓力和溫度的最小值越大,氣泡內水分子數越小.超聲頻率增加時,泡群中泡的空化效應減弱.

5)隨著超聲聲壓的增加,空化泡振蕩幅值增大,氣泡半徑最大值增大,空化泡崩潰時間增加,空化泡崩潰后振蕩減少,氣泡內內能、溫度和泡內壓強的最大值增大,氣泡內部壓強和溫度的最小值減小,氣泡泡內水分子數量最大值增大.超聲聲壓增加時,泡群中泡的空化效應增加.