機械密封焊接金屬波紋管隨機振動響應及優化分析*

陶興偉 穆塔里夫·阿赫邁德，2 孫光耀 張偉國

(1.新疆大學機械工程學院 新疆烏魯木齊 830047；2.新疆大學電氣工程學院 新疆烏魯木齊 830047)

機械密封因其泄漏量小、使用壽命長、工作可靠性能好， 廣泛應用在化工、石油等工業領域中[1]。焊接式金屬波紋管作為機械密封的關鍵零部件，是一種高效實用的彈性元件，其結構的可靠性和穩定性直接影響到機械密封系統的安全性和使用壽命。機械密封系統在運行過程中，波紋管一直伴隨有高溫、高壓、啟停、沖擊和振動等復雜載荷，其失效的主要形式不再是由單一的靜強度破壞和動失效形式[2]。因此，對機械密封系統的關鍵零部件焊接式金屬波紋管進行隨機振動分析更為符合失效的實際情況。

國內外學者對機械密封波紋管進行了廣泛研究。張清波等[3]認為波紋管密封性能受自身平衡影響，并通過改變焊接式波紋管的關鍵結構參數，研究不同的結構參數對平衡直徑的影響。譚金等人[4]對焊接金屬波紋管的波形對其剛度的影響進行研究，結果表明波片的不同位置的波形尺寸對波紋管的剛度有不同的影響。陳宇翔[5]通過對多層波紋管的剛度和振動的激烈程度進行數值模擬和分析，得到了通過改變波紋管的材料、壁厚和增大波峰來增加剛度。王升林等[6]針對波紋管產生的疲勞泄漏問題，研究了波紋管的焊接結構對波紋管使用壽命的影響。PIERCE和EVANS[7]對處于循環載荷下的金屬波紋管的失效進行分析。PAVITHRA和KUMAR[8]采用有限元方法研究了室溫與高溫環境下的波紋管徑向應力變化規律，得到波紋管的失效是由于持續工作時產生高溫環境所致。趙文元等[9]針對波紋管在實際工況下的失彈、疲勞失效等現象進行研究，得到溫度和力對波紋管在工作中的失效影響較大。

目前，國內外學者對焊接式金屬波紋管研究主要集中在對波紋管的密封性能、失效原因、使用壽命和波紋管的剛度進行分析。由于波紋管在工作中所受到的載荷是隨機的，其運動規律無法用確定的本構方程進行表述，所以對機械密封波紋管在隨機激勵下的振動特性研究的很少見。針對焊接式金屬波紋管在工作中出現的隨機振動問題，本文作者運用虛擬激勵法理論，分析波紋管激勵下的振動特性，為波紋管的設計和可靠性分析提供參考。

1 波紋管動力學模型及振動模態分析

1.1 波紋管動力學模型

在焊接式金屬波紋管中，波紋管位于前環和后環之間，其結構示意圖如圖1所示。

圖1 波紋管結構Fig 1 Structure of bellows

由于金屬波紋管是一個復雜結構的多自由度的系統，且在振動時其角位移很小，可忽略其轉動慣性，在有限元分析中通常將其結構簡化成用質點、彈性元件和阻尼器等構成[10]。簡化力學模型如圖2所示。圖中，k1、k2為動態剛度，c1、c2為等效阻尼系數，m1、m2、m3分別為前環、波紋管、后環的質量。

圖2 波紋管簡化力學模型Fig 2 Simplified mechanical model of bellows

1.2 振動模態分析

模態分析法的目的是得到固有頻率和振型，從而在機械密封系統的動力性能設計時，避免波紋管運轉過程中與機械密封系統發生共振，影響使用壽命。

由振動理論和有限元模態分析理論知，多個自由度的彈性振動系統其結構振動的動力學通用方程為

(1)

在對結構的自由振動的固有頻率和振型求解時，阻尼對其影響極小，可以忽略不計。由于在模態分析時，沒有力的作用即F(t)={0}，故可得到無阻尼的結構振動運動方程[11]：

(2)

則其特征方程為

(K-ω2M)M={0}

(3)

式中：ω表示系統的固有頻率。

2 波紋管載荷的虛擬激勵

假設該系統為線性系統，則所受到的自功率譜密度為Sxx的平穩隨機激勵為x(t)，其對應響應y的自功率譜為

Syy=|H|2Sxx

(4)

式中：H為頻率響應函數。

由于用傳統的方法進行隨機振動響應分析會受到計算效率的影響且計算比較繁瑣，而虛擬激勵法[12]的提出將平穩的隨機振動分析轉化成簡諧振動分析。

考慮到波紋管的彈性體受到單元同相位的平穩隨機激勵，運動方程為

(5)

式中：M、C、K分別為結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；F(t)=pf(t)，p為力矢量；f(t)為平穩隨機作用力，其自功率譜為Sff(ω)。

(6)

其中，“～”表示虛擬激勵下的結構響應。此時，式(6)中的激勵由平穩的隨機響應激勵轉化成諧響應激勵。可得到波紋管在虛擬激勵下的位移響應為

(7)

式中：H(ω)為頻率響應矩陣。

由虛擬激勵法求得的位移功率譜矩陣為

(8)

3 波紋管的振動特性分析

3.1 數值模態分析

文中研究的是DN55號波紋管，其材料屬性如表1所示。

表1 DN55號波紋管材料屬性Table 1 Material properties of DN55 bellows

由于波紋管的前環與靜環鑲嵌為自由端，后環與壓蓋相連為固定端，故施加的邊界條件為一端固定，另一端自由[14]。結合商用分析軟件對波紋管進行模態分析，得到的固有頻率和振型如表2所示。

表2 波紋管前10階固有頻率Table 2 First 10 natural frequencies of bellows

在結構模態分析中，模態有效質量提供了一種方法用于判斷模態重要性[15]，模態有效質量越高越容易被外界激勵起來。在前10階模態分析中，超過70%的模態有效質量在前10階模態中，高階的有效質量占比較小，則不容易被外界激勵起來。由表2可以看出，波紋管的固有頻率隨著階數的增加而增大，無規律可循，表現出無阻尼振動的隨機性；前10階振型主要是以彎曲、軸向、折疊和擠壓等振型的形式表現，其中在前10階中，有4組模態頻率相同說明了軸對稱結構存在多對重根且相對密集。

3.2 隨機振動響應分析

隨機振動分析即功率譜密度分析(Power Spectral Density,PSD)，是一種基于概率統計學的譜分析方法。PSD是結構在隨機載荷激勵下的概率統計結果，包括位移功率譜密度、速度功率譜密度和加速度功率譜密度。文中在模態分析的基礎上，根據虛擬激勵法理論，使用MATLAB匯編語言對波紋管在隨機激勵下的軸向和徑向進行時域分析，對其進行快速傅里葉變換，將時域轉化成頻域，得到功率譜密度，再結合商業分析軟件Workbench進行數值仿真計算。

由MATLAB匯編語言編程得到的波紋管在穩態時隨機激勵的軸向和徑向振動隨機響應如圖3和圖4所示。

圖3 軸向位移Fig 3 Axial displacement

圖4 徑向位移Fig 4 Radial displacement

由圖3和圖4知，波紋管的振動位移均呈現隨機性和不可預測性，軸向振動位移范圍在-0.5～0.5 mm,小于徑向振動位移范圍-4～4 mm，這與文獻[16]通過試驗得到的結果相一致，同時也說明了文中對波紋管動力學建模的正確性和方法的可行性。軸向位移較小，在工作過程中會出現靜環與動環之間的位移差，會出現瞬態碰撞從而造成鑲嵌在靜環上的石墨環的破損；而徑向位移較大，在工作過程中，由于存在動環與靜環之間位移差，導致其出現接觸磨損，密封性能降低。

采用Periodogram函數將時域信號轉化成振動位移功率譜密度分別對軸向和徑向進行分析。圖5和圖6分別示出了波紋管軸向和波紋管徑向位移功率譜密度。結果表明：波紋管的軸向和徑向的能量都集中在190～240 Hz之間，且徑向的能量遠大于軸向的能量，這是由于在安裝時軸向有預應力且只有一個自由度，在工作時不易釋放能量，而波紋管為旋轉體，徑向自由度多，能更好地釋放能量；波紋管外界激勵的頻率在190～240 Hz范圍內且介于模態分析結果1階頻率190.89 Hz和3階頻率241.09 Hz之間，工作在此激勵下容易發生共振現象，因此，在對波紋管的設計時要注意一階、二階和三階的振動形態對波紋管結構的影響。

圖5 波紋管軸向位移功率譜密度Fig 5 The power spectrum density of the axialdisplacement of the bellows

圖6 波紋管徑向位移功率譜密度Fig 6 The power spectrum density of the radialdisplacement of the bellows

由于徑向位移功率譜密度整體大于軸向功率譜密度且能量較大，其對結構具有較大的影響作用，故取徑向位移功率譜密度作為輸入位移功率譜密度，結合商用分析軟件Workbench對波紋管進行隨機振動分析。圖7所示為波紋管軸向變形云圖，圖8(a)和圖8(b)所示分別為徑向變形應云圖和徑向變形局部放大圖。

由圖7可以看出，波紋管軸向最大變形發生在鑲嵌靜環的一端即自由端，并且沿軸向且靠近固定端的位移響應呈遞減趨勢。這是由于波紋管的彈性自由端在運動過程中剛度得到了釋放。從圖8可以看出，整體徑向位移響應具有對稱性，將波紋管分成4個對稱部分，體現出對稱結構的對稱性；徑向變形最大點發生在靠近波紋管的固定端的波片弧度較大處。這些位置在工作過程中最容易損壞，設計時應進行優化。

圖7 軸向變形云圖Fig 7 Contour of axial deformation

圖8 徑向變形云圖及局部放大圖Fig 8 Contour of radial deformation(a) anda partial enlarged view(b)

圖9和圖10所示分別為波紋管軸向和徑向載荷下的等效應力云圖?？梢钥闯鲈陔S機振動下的等效應力分布主要集中在靠近波紋管膜片焊接處的焊箍處，軸向載荷下的最大等效應力為976.23 MPa，小于徑向載荷下的最大等效應力1 096.3 MPa。此處的等效應力較大，是應力集中發生的主要位置，容易發生固定端波紋管斷裂，與在實際工作中的破壞位置相一致。為提高波紋管的使用壽命，在設計過程中應該對該處進行優化。

圖9 波紋管在軸向載荷下的等效應力Fig 9 Equivalent stress of bellows under axial load

圖10 波紋管在徑向載荷下等效應力Fig 10 Equivalent stress of bellows under radial load

4 響應面優化分析

優化分析的目的是滿足波紋管正常的運轉過程中降低隨機振動響應，減小在外界激勵下的變形量，延長波紋管的使用壽命。

文中優化分析采用的是Ansys Workbench中響應面優化方法(Response Surface)。通過改變波紋管的部分結構參數來改變波紋管在隨機激勵下的響應。以單個V形焊接式波紋管波片的厚度P1、最小彎曲半徑P2和兩波片的焊箍半徑P3為優化變量，如圖11所示；以單個波片在虛擬激勵下的徑向變形量P4和等效應力P5作為目標變量，求解出它們的最小值，即min(P4、P5)。各物理量的初始值如表3所示。

圖11 波紋管波片優化變量Fig 11 Optimized variables of the bellows wave plate

表3 波片設計變量及初始范圍Table 3 Waveplate design variables and initial ranges

4.1 靈敏度分析

通過響應面分析可得到不同的設計參數對不同的輸出變量的靈敏度，同時，靈敏度可以作為輸入參數對輸出參數影響的參考評定。為得到輸入變量對目標函數的可靠程度，采用Box-Behnken方法進行仿真試驗得到目標函數的局部靈敏度。局部靈敏度分析結果如圖12所示。可知，P1、P2和P3為正值，對P4正相關；P1、P2和P3對P4的影響依次減?。籔1和P2對P5為正相關，P3對P5為負相關。目標函數P4和P5所對應的設計變量均有正有負，對設計變量來說，并不是增加或降低某一變量就能改變P4和P5，合理地選擇結構參數很有必要。

圖12 局部靈敏度分析Fig 12 Local sensitivity analysis

4.2 響應面分析

由試驗結果可得到設計變量與目標函數之間的響應曲面，如圖13所示。從圖13(a)可知，P1和P2對波片的變形量(P4)呈正相關趨勢，但在曲面增長的同時也出現較大波動，這是由于V形焊接式波紋管的波片變形還受到其他較小結構參數的影響。從圖13(b)可知，波片厚度(P1)與等效應力(P5)呈正線性關系，減小波片厚度能減小等效應力。減小波片的厚度可以降低波片的變形和等效應力，同時適當地減小焊箍半徑有助于減小變形，適當地增大最小彎曲半徑可以降低等效應力。

圖13 響應曲面分析Fig 13 Response surface analysis (a)deformation(P4);(b)equivalent stress(P5)

4.3 優化結果分析

由靈敏度分析和響應面分析得到P1、P2、P3對所求的目標函數有較大的影響。為了降低目標值，因此采用自適應多目標優化法(Adaptive Multiple-Objective，AMO)對其進行優化分析。最終，在生成的617組樣本中篩選評估出3組優化方案如表4所示。

表4 優化方案Table 4 Optimization schemes

基于表4中的3種優化方案，結合實際工程中零部件的損壞情況，以波紋管在運轉過程中變形量最小和適當減小等效應力為目標，選取優化方案2作為最佳方案。對比優化前后V形波片變形量和等效應力可知，優化后波片的變形量減小10.17%，等效應力減小12.65%。

優化前后波紋管的固有頻率如圖14所示?？梢钥闯?，優化后波紋管的前5階固有頻率有一定減小。固有頻率降低，可避免波紋管在工作中受外界隨機激勵而發生共振，從而提高波紋管的振動特性。

圖14 優化前后波紋管固有頻率對比Fig 14 Natural frequency comparison of bellowbefore and after optimization

優化后波紋管的變形量和等效應力如圖15(a)、(b)所示。波紋管運轉過程中，受到流場隨機激勵導致波紋管的振動，其實質是波紋管在循環作用下形成的振動疲勞導致。優化后波紋管的最大變形量減小64.96%，整個波紋管的最大等效應力減小1.94%。波紋管等效應力降低較小是因為波紋管變形較大，能更好地吸收波紋管在變形時釋放出的能量。優化后的波紋管能更好地抵抗外界干擾而產生的變形，具有更高的抗破壞能力，使用壽命更長。

圖15 優化后波紋管的變形及等效應力Fig 15 The deformation (a) and equivalent stress(b) of bellows after optimization

5 結論

(1)針對焊接式金屬波紋管在工作中出現的隨機振動問題，通過對焊接式金屬波紋管的模態響應和外界激勵的響應分析，發現波紋管的前3階的固有頻率與外界激勵的頻率接近，導致金屬波紋管的隨機振動。

(2)將外界激勵的位移功率譜密度導入商用分析軟件中，發現波紋管易損位置位于靠近波紋管的膜片焊接處的焊箍處，這與實際工況下的破壞位置相吻合。

(3)采用自適應多目標優化法對波紋管的危險位置進行結構優化，找到一組最佳優化參數。結果表明，優化后波紋管的振動特性提升，更符合波紋管的工作要求。