基于Hopfield混沌神經網絡和壓縮感知的可視化圖像加密算法

沈子懿，王衛亞，蔣東華*，榮憲偉

（1.長安大學信息工程學院，西安 710064；2.哈爾濱師范大學物理與電子工程學院，哈爾濱 150025）

0 引言

隨著數字通信技術的快速發展與大規模應用，越來越多的數字圖像被產生并在公用信道中傳輸。由于它們具有共享性與開放性，使得數字圖像容易被非授權地傳播、復制、篡改以及偽造，如何保證圖像信息的安全成為當下研究的熱點。

就目前而言，保護數字圖像內容安全的技術主要分為兩大類。第一類就是致力于將明文圖像加密成類噪聲密文圖像的傳統圖像加密技術，基于混沌理論［1-3］、編碼技術［4-5］、神經網絡［6-7］、光學技術［8-9］、壓縮感知［10-11］等各種傳統加密算法相繼提出用以保護含有重要信息的數字圖像；然而這類加密算法無法保證密文圖像的視覺安全。另一類則是可視化圖像加密技術，它致力于將明文圖像預先加密成一幅類噪聲圖像，然后再嵌入到另一幅具有視覺意義的載體圖像中，以實現對數字圖像內容和視覺上的雙重保護。可以通過最終產生的密文圖像是否具有視覺意義來辨別這兩種加密技術。

具有視覺意義的圖像加密技術是傳統圖像加密技術與信息隱藏技術的結合，自被提出以來，就得到很多學者的關注和深入研究。例如，Chai 等［12］首先利用Zigzag 置亂以及壓縮感知技術對明文圖像進行加密和壓縮，并在小波域上將密文圖像嵌入到載體圖像中來產生一幅具有視覺意義的隱寫圖像。同時，為了提高算法的安全性，還采用了散列函數來控制Zigzag 置亂和測量矩陣的產生。隨后，又在空間域上基于最低有效位（Least Significant Bit，LSB）嵌入提出了另外一種可視化圖像加密算法［13］，值得一提的是該方案中的嵌入和提取過程完全可逆。Ping等［14］也提出了一種具有視覺意義的圖像加密算法，首先通過二維Logistic-adjusted-Sine 映射和壓縮感知對明文圖像同時進行加密和壓縮，然后再采用可逆彩色變換將經過量化操作得到的密文圖像分塊嵌入到載體圖像中。除此之外，Ye 等［15］也結合了Logistic-Sine 混沌映射、壓縮感知技術和舒爾分解嵌入提出了一種可視化多圖像加密算法。目前，可視化圖像加密技術正朝著多元化的方向發展。

上述所描述的可視化加密方案都是通過各種嵌入方式將密文圖像隱藏到載體圖像的像素值中，這樣做會破壞載體圖像原有的像素結構，具有相同問題的還有文獻［16-17］中所提算法。因此，為了實現對明文圖像內容和視覺上的雙重保護，本文基于Hopfield 混沌神經網絡［18］和壓縮感知提出了一種高安全性的具有視覺意義的圖像加密算法。與現有的可視化加密算法不同的是，本文算法將加密產生的無視覺意義的密文圖像嵌入到載體圖像的Alpha 通道中，而這個過程并不改變原始載體圖像的像素結構，因此本文所提加密算法具有更高的視覺安全性。

1 相關工作

1.1 Hopfield混沌神經網絡

Hopfield 混沌神經網絡最早由美國物理學家Hopfield 在1982 年提出，主要用于模擬生物神經網絡的運動機理。三維Hopfield混沌神經網絡的數學模型如式（1）所示：

其中f(xi)是一雙曲正切函數：

1.2 壓縮感知技術

Donoho［19］基于信號的稀疏性提出了一種全新的信號采樣定理，并命名為壓縮感知。對于一個長度為N的信號u，如果它可以通過一組稀疏基ψ={ψ1，ψ2，…，ψN}線性表示，即：

其中ai=。當K?N時，稱信號u在ψ域上是K-稀疏的。壓縮信號v是通過稀疏信號u在測量基上做線性投影所得到的，即：

其中Φ∈RM×N為測量矩陣。當測量矩陣Φ與稀疏矩陣Ψ不相干時，可以實現對稀疏信號u的完美重構［20］。此外對稀疏信號u的重構可以表示為求解l1范數問題，即：

1.3 生成測量矩陣

構建測量矩陣是壓縮感知技術的核心之一，直接影響到重建后信號質量的好壞。本文則采用三維貓映射［21］來產生所需要的測量矩陣，該三維混沌映射的數學模型表述如下：

其中［x，y，z］T為該混沌映射的狀態變量。然后再根據式（7）對生成的混沌序列進行抽樣組合：

式中：j為某一固定的正整數用于消除混沌映射的瞬時效應，d為抽樣間距。

最后對得到的混沌序列wn進行歸一化處理（如式（8）所示）即可得到測量矩陣Φ：

2 所提算法的實現過程

2.1 加密算法過程

本文提出的可視化加密算法的流程如圖1 所示，它由預加密過程和嵌入過程兩部分組成：在預加密過程中，首先利用三維Cat 映射產生的測量矩陣對經過索引置亂后的稀疏矩陣進行壓縮，然后在量化的中間密文圖像中加入隨機數并進行Hilbert 置亂和擴散操作以生成最終的類噪聲密文圖像；在嵌入過程中，通過LSB替換將密文圖像嵌入到載體圖像的Alpha通道中，從而生成最終具有視覺意義的隱寫圖像。詳細的加密步驟如下所示。

圖1 所提加密算法流程Fig.1 Flowchart of the proposed encryption algorithm

步驟1 選擇合適的小波基構造出稀疏變換矩陣Psi∈RN×M，并根據式（9）對大小為M×N的明文圖像P1 進行稀疏化。

步驟2 為了提高解密圖像的質量，需要設定一個閾值TS，并將矩陣P2中絕對值小于等于該閾值的所有元素全部賦值為0。將經過閾值處理后的矩陣稱為P3。

步驟3 通過四階龍格庫塔法求得Hopfield 混沌神經網絡的三條長度為M×N2 的混沌軌跡［XP，YP，ZP］T，其中系統的初始值設置為。對其中兩條混沌軌跡進行拼接獲得新的混沌軌跡SP，并對該混沌軌跡排序即可得到置亂序列Tsp。計算式描述如下：

步驟4 利用序列Tsp對經過閾值處理所得到的矩陣P3進行索引置亂，如式（12）所示：

其中：j=floor()+1，floo（r·）表示對括號中的元素朝負無窮方向取整；而mod則表示取余操作。

步驟5 使用密鑰A：［x0，y0，z0］控制三維Cat 映射產生一個測量矩陣Φ∈RCN×M，其中CN=CR×N，CR為預設的壓縮率（構建方法如1.3節所述）。再用測量矩陣Φ對置亂后的矩陣P4進行測量。測量式如式（13）所示：

步驟6 根據式（14）對矩陣P5 進行量化，然后再在矩陣P6中填充隨機數得到P7 ∈NM×N：

其中：max和min分別表示矩陣P5中的最大值和最小值。

步驟7 通過產生的擴散矩陣對經過Hilbert 置亂后得到的矩陣P7進行擴散操作。該過程的公式描述如下所示：

其中符號⊕表示異或操作。

步驟8 將全255矩陣D1∈N2M×2N等分成4個子矩陣D1i（i=1，2，3，4）；然后再將加密得到的類噪聲圖像P8 中所有的元素分解成4個兩位二進制數；再通過LSB分別替換掉4個子矩陣中所有元素的最后兩位，以得到含有密文信息的4 個子矩陣D2i。

步驟9 將得到的4 個子矩陣D2i重新組合，并將其替換掉原有載體圖像C1 的Alpha 通道，即可得到最終具有視覺意義的密文圖像C2。

2.2 解密算法過程

本文提出的可視化圖像加密算法屬于對稱加密領域的范疇，因此相應的解密過程是其加密的逆過程，其流程如圖2所示。

圖2 所提解密算法流程Fig.2 Flowchart of the proposed decryption algorithm

為了從隱寫圖像中成功解密出明文圖像，需要將加密密鑰傳輸給解密方。它們分別是CR、max、min和d。具體的解密步驟如下所示。

步驟1 首先讀取出隱寫圖像的Alpha 通道，再利用LSB提取出密文圖像P8。

步驟2 通過密鑰B和四階龍格庫塔法求解出Hopfield混沌神經網絡的三條混沌軌跡，用以產生擴散矩陣DT。

步驟3 利用擴散矩陣DT對密文圖像P8 進行逆擴散操作，而后再進行Hilbert逆置亂求解出矩陣P6。

步驟4 使用量化參數max和min對矩陣P6 進行逆量化操作，并去除隨機數，再使用正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）重構算法得到矩陣P4。

步驟5 接著再利用混沌軌跡排序產生的置亂序列Tsp對矩陣P4 進行索引逆置亂，并對得到的稀疏系數矩陣P3 進行二維逆離散小波變換即可得到最終的解密圖像DI。

3 仿真與結果分析

3.1 加密和解密結果

為了驗證本文可視化加密方案的有效性，在搭載3.0 GHz CPU 和16 GB RAM 的臺式計算機上進行了仿真實驗，另外仿真平臺為Matlab R2019a。隨機選取4 幅256×256的明文圖像和4 幅512×512 的載體圖像進行仿真測試。加解密過程中所使用的密鑰設置為A：［0.698，0.376，0.976］，B：［0.6，0.3，0.7］，CR=0.5。剩余的參數設置為d=10，TS=25。在解密階段，采用OMP方法來重構稀疏系數矩陣。

仿真結果如圖3所示。從圖3中看出，加密得到的類噪聲密文圖像將明文圖像所包含的信息完全掩蓋起來；從視覺上看，產生的隱寫圖像與相應的載體圖像是一樣的，表明通過LSB 替換將密文圖像隱藏到載體圖像中的Alpha 通道是有效的，而且相應的解密圖像也具有非常好的質量。

圖3 所提加密方案的仿真結果Fig.3 Simulation results of the proposed encryption scheme

3.2 閾值對解密圖像的影響

在本文算法中，閾值的取值會對解密圖像的質量產生一定的影響。圖4 為閾值TS對解密質量的影響曲線，其中三條曲線均表示為明文圖像與解密圖像之間的峰值信噪比PSNRdec。從圖4 中可以看出，閾值對解密圖像質量的影響是非單一的，當閾值的取值小于25 時，解密圖像的質量隨著閾值的增加而得到改善；一旦超過25，解密圖像的質量會持續下降。因此，為了得到更好的解密效果，閾值TS應該設置在25左右。

圖4 閾值TS對解密質量的影響Fig.4 Influence of threshold TS on decryption quality

4 性能分析與對比

4.1 密鑰分析

密鑰空間和密鑰敏感性決定了算法抵抗暴力攻擊的能力。而本文提出的可視化圖像加密算法的密鑰主要由以下兩部分組成：1）用于產生對稀疏矩陣P3 進行索引置亂的密鑰；2）用于控制三維Cat映射生成測量矩陣的密鑰A：［x0，y0，z0］和抽樣間隔d。假設計算機的計算精度為10-14，則總的密鑰空間keytotal>(1014)3×(1014)3×103>2289，遠 遠大于2100。

除此之外，圖5 顯示的是使用錯誤的密鑰解密得到的Lena 圖。從圖5 中可知，當正確的密鑰發生非常細微的變化時，解密所得到的圖像與明文圖像具有非常大的差異，并且從視覺上看，解密圖像沒有顯示出任何明文圖像的信息，表明本文加密算法具有非常好的密鑰敏感性。綜上所述，本文提出的可視化圖像加密算法完全可以抵抗得住暴力攻擊。

圖5 使用錯誤的密鑰解密Lena圖像Fig.5 Decrypted Lena images using incorrect keys

4.2 直方圖分析

直方圖描述的是圖像中各個灰度級的頻數或是該灰度級出現的頻率，反映了圖像的灰度級分布情況。為了抵抗統計攻擊，要求密文圖像的直方圖分布非常均勻。圖6 給出不同圖像的直方圖，從圖6 中可以直觀地看出，所產生的密文圖像的直方圖分布非常均勻。另外從視覺上看，隱寫圖像的直方圖與載體圖像的一樣，表明本文提出的可視化圖像加密算法能非常好地掩蓋明文圖像的灰度級分布信息。

圖6 不同圖像的直方圖Fig.6 Histograms of different images

4.3 相關性分析

對于一幅類噪聲密文圖像，其中相鄰像素點之間的相關性應該趨向于0。本節將采用式（18）來計算不同圖像中相鄰像素點之間的相關系數：

式中：L為隨機抽取像素對的數量，而分別為像素點ai和bi的期望值。

圖7 顯示了Lena 圖像和相應的密文圖像在水平、垂直和對角線方向上的相關性分布圖。從圖7 可以看出，Lena 圖像中相鄰像素點之間具有很強的相關性，并且呈正相關分布。而在所產生的密文圖像中，相鄰像素點之間的相關性非常低，呈現出雜亂無章的分布。表1 給出了本文算法與最近文獻［13］和文獻［22］所提出的可視化圖像加密算法的相關系數對比結果。從表1 中可以看出，本文算法所產的密文圖像具有更低的相關性。

表1 不同算法的相關性對比Tab.1 Correlation comparison of different algorithms

圖7 明文圖像與相應密文圖像的相關性分布Fig.7 Correlation distribution of plaintext image and corresponding ciphertext image

4.4 視覺安全性分析

對于具有視覺意義的圖像加密算法來說，隱寫圖像和載體圖像的差異越小，算法的視覺安全性越高。本節將采用峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）來衡量加密算法的視覺安全性，其計算式如式（19）所示：

得到的實驗數據如表2所示。

表2 不同加密算法的視覺安全性對比 單位：dBTab.2 Comparison of visual security of different encryption algorithms unit：dB

從表2 可以看出，本文提出的加密算法的視覺安全性要優于文獻［13］算法、文獻［22］算法，同時說明本文提出的嵌入方式具有非常好的視覺安全性。

4.5 解密質量分析

不可否認，本文所提加密算法與文獻［13］算法、文獻［22］算法一樣都存在能量損失，會降低解密圖像的質量，因此對解密圖像的質量進行對比和分析很有必要。對不同解密算法的解密質量計算并列入到表3 中。從得到的實驗數據來看，本文算法具有非常好的解密質量。與文獻［22］算法相比，本文算法可以改善將近13.592 8%的解密質量。

表3 不同加密算法的解密質量對比 單位：dBTab.3 Comparison of decryption quality of different encryption algorithms unit：dB

4.6 魯棒性分析

在隱寫圖像的Alpha 通道中加入不同的干擾來測試本文加密算法的魯棒性，實驗結果如圖8和圖9所示。

圖8 Lena對噪聲攻擊的魯棒性測試結果Fig.8 Robustness test results against noise attack for Lena

圖9 抗剪切攻擊的魯棒性測試結果Fig.9 Robustness test results against cropping attack

從解密圖像的質量上來看，本文提出的可視化圖像加密算法具有較好的抗噪性能。另外，表4和表5給出了不同加密算法抵抗噪聲攻擊和剪切攻擊能力的實驗結果。通過對比文獻［13］算法和文獻［22］算法的實驗數據可知，本文算法的魯棒性優于文獻［13］算法。不過與基于奇異值分解嵌入的加密算法相比，本文算法具有很好的抗剪切攻擊能力，但在抗噪性能方面低于文獻［22］算法。

表4 不同加密算法抗噪聲攻擊能力比較Tab.4 Comparison of anti-noise attack capability of different encryption algorithms

表5 不同加密算法抗剪切攻擊能力比較Tab.5 Comparison of anti-cropping attack capability of different encryption algorithms

5 結語

本文基于Hopfield 混沌神經網絡和壓縮感知技術提出了一種新穎的具有視覺意義的圖像加密算法。與現有的可視化圖像加密算法不一樣的是，本文算法將加密得到的類噪聲圖像嵌入到載體圖像的Alpha 通道中，以此來提供算法的視覺安全性。最后通過仿真實驗和對比分析可知，本文提出的圖像加密算法具有密鑰空間大、相關性低、視覺安全性高、解密質量好以及魯棒性強等特點。在接下來的工作中，我們將對多圖像嵌入算法進行探討和深入研究以提高圖像傳輸效率和降低傳輸花銷。