二元函數偏導數的連續性計算和可視化

王培穎，卓海珊，黃思敏

（廣州理工學院 通識教育學院，廣東 廣州 510540）

在高等數學的學習中，二元函數及其導數的連續性是一個重點，難點，利用數學軟件MATLAB的計算和圖形功能，可以幫助我們深刻理解二元函數偏導數的連續性的概念[1-3]。

1 問題和解答及其圖示

[問題]

[解答]

利用MATLAB可以畫出二元函數的兩個偏導數f′x(x,y)和f′y(x,y)的曲面[5]。如圖1和圖2所示。在二元函數f′x(x,y)曲面上，點(0,0)處是一條縫，沒有固定函數值，說明f′x(0,0)不存在。在二元函數f′y(x,y)曲面上，f′y(0,0)存在且為0。

圖1 二元函數z=(x2+y4)對x的偏導數曲面

圖2 二元函數z=(x2+y4)對y的偏導數曲面

2 問題的推廣和圖示

圖3 二元函數z=(x2+y4)1/2對x的偏導數沿y=kx趨于(0,0)時的極限

圖4 二元函數z=(x2+y4)1/2對y的偏導數沿y=kx趨于(0,0)時的極限

圖5 二元函數z=(x2+y4)1/2對x的偏導數沿x=ky2趨于(0,0)時的極限

圖6 二元函數z=(x2+y4)1/2對y的偏導數沿x=ky2趨于(0,0)時的極限

圖7 二元函數z=(x2+y4)1/2的曲面

圖8 二元函數z=(x2+y4)1/2在Oxz平面上的投影

圖9 二元函數z=(x2+y4)1/2在Oyz平面上的投影

3 結論

一個問題的解決可能比較簡單，將問題推廣，就能提出新的問題，進而解決系列問題。在研究多元函數的偏導數的連續性時，手工演算是必不可少的。應用MATLAB計算和繪圖，可以檢驗手工計算結果的正確性。這種方法也可以應用于判斷二元函數在某一點的連續性。

MATLAB功能強大，在高等數學的學習中有著重要應用。建議大學第一學期就開設有關的課程，為學生學習提供強有力的學習工具，提高學生提出問題和解決問題的能力。