ARIMAX模型在A省人口出生率預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

姚秀俠，杜潔

（1.阜陽(yáng)師范大學(xué) 校醫(yī)院；2.阜陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

人口關(guān)系到一個(gè)國(guó)家的命運(yùn)，它是一個(gè)國(guó)家發(fā)展的基礎(chǔ)。近年來，我國(guó)人口出生率偏低，為了解決一系列由人口出生率低引發(fā)的問題，我國(guó)在2018年實(shí)行“全面放開二孩”政策。A省是我國(guó)的人口大省，根據(jù)抽樣調(diào)查顯示，A省人口出生率近年穩(wěn)步增長(zhǎng)，2017年人口出生率達(dá)到2000年以來最高值，并且二孩出生數(shù)量第一次超過一孩，總和生育率在低水平上有所上升。研究A省的人口出生率，對(duì)我國(guó)人口控制有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

很多學(xué)者對(duì)人口出生率進(jìn)行了預(yù)測(cè)研究，王郁玲，汪璽[1]利用ARIMA（autoregressive integrated moving average model）模型對(duì)寧波市奉化區(qū)的人口出生率變化趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，結(jié)果表明預(yù)測(cè)較為準(zhǔn)確。孫鑫鑫[2]等對(duì)我國(guó)1949年—2017年的人口出生率建立ARIMA(1,2,2)模型，并對(duì)未來5年的人口出生率進(jìn)行了預(yù)測(cè)。任棟，李萍[3]利用非線性回歸模型研究我國(guó)人口出生率，得到較好預(yù)測(cè)結(jié)果。H Baghestani，M Malcolm利用1975年—2001年的美國(guó)出生率數(shù)據(jù)，建立ARIMA模型對(duì)2002年—2008年美國(guó)的人口出生率進(jìn)行了精確地預(yù)測(cè)[4]。有學(xué)者指出，人均GDP和人口出生率具有負(fù)相關(guān)關(guān)系[5]。基于此，本文建立以人均GDP（PGDP）為輸入變量，以人口出生率（BR）為響應(yīng)變量的ARIMAX模型，對(duì)A省人口出生率進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 動(dòng)態(tài)回歸模型簡(jiǎn)介

2 A省人口出生率序列的預(yù)測(cè)

2.1 選取觀測(cè)值

從A省統(tǒng)計(jì)年鑒（2020）中選取1982年—2019年的人均GDP和人口出生率數(shù)據(jù)，見表1。

表1 1982年和—2019年A省人均GDP和人口出生率數(shù)據(jù)

2.2 建立動(dòng)態(tài)回歸模型

2.2.1 檢驗(yàn){l n PGDP}和{l n BR}，及{? ln PGDP}和{? ln BR}的平穩(wěn)性

圖1 {l n PGDP}和{l n BR}以及{? ln PGDP}和{? ln BR}的時(shí)序圖

表2 {? ln PGDP}的ADF檢驗(yàn)結(jié)果

表3 {? ln BR}的ADF檢驗(yàn)結(jié)果

表4 {? ln PGDP}建立ARMA模型的參數(shù)估計(jì)

表5 殘差的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果

2.2.3 建立動(dòng)態(tài)回歸模型

考察{? ln PGDP}和{? ln BR}的互相關(guān)系數(shù)，繪制互相關(guān)系數(shù)圖，如圖2所示，建立ARIMAX模型。

圖2 {? ln PGDP}和{? ln BR}的互相關(guān)系數(shù)圖

表6 ARIMAX模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表7 殘差{at}的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果

表8 {at}與{l n PGDPt-1}的互相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果

表9 {at}與{l n PGDPt-7}的互相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果

2.3 動(dòng)態(tài)回歸模型預(yù)測(cè)

如表10所示，利用擬合的ARIMAX模型對(duì)1990年—2019年的A省人口出生率進(jìn)行事后預(yù)測(cè)，得到的相對(duì)誤差的絕對(duì)值都小于12.3%，并且30個(gè)年度計(jì)算的MAPE（mean absolute percentage error）值為3.83%，一般認(rèn)為MAPE的值小于10%時(shí)預(yù)測(cè)精度較高[13]，因此該模型擬合良好。

表10 A省人口出生率的事后預(yù)測(cè)結(jié)果

利用該模型對(duì)A省人口出生率對(duì)數(shù)序列進(jìn)行未來5年的預(yù)測(cè)，得到2020年—2024年A省人口出生率對(duì)數(shù)分別為2.465 21，2.450 96，2.446 98，2.427 93，2.400 71。進(jìn)行指數(shù)化后，得到2020年—2024年A省人口出生率分別為11.77‰，11.60‰，11.55‰，11.34‰，11.03‰。

3 圖形擬合

繪制出{l n BR}和{B R}的擬合圖，如圖3（a），（b）所示。圖3（a）為{l n BR}的擬合圖；圖3（b）為人口出生率{B R}的擬合曲線，可見擬合效果良好。

圖3 {l n BR}和{B R}的擬合

4 結(jié)論

人口出生率的變化受很多因素影響，考慮到人均GDP對(duì)人口出生率的影響，建立以A省人均GDP為輸入序列，人口出生率為響應(yīng)序列的ARIMAX模型。根據(jù)1982年—2019年A省人口出生率序列的數(shù)據(jù)，得到事后預(yù)測(cè)的MAPE值為3.83%，可見模型預(yù)測(cè)精確。并對(duì)未來5年的A省人口出生率進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到預(yù)測(cè)結(jié)果依次為11.77‰，11.60‰，11.55‰，11.34‰，11.03‰。預(yù)測(cè)結(jié)果顯示A省未來5年人口出生率將有所下降，繼續(xù)在較低水平游走，這可為A省提出合理生育政策提供參考。

附件：

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