基于動態自適應變參的粒子群優化算法

李 眩，吳曉兵，童百利

（銅陵職業技術學院經濟貿易系，安徽 銅陵 244061）

算法。該算法采用非線性遞減策略對慣性權重進行調整,使其具有平衡PSO 算法的全局和局部搜索能力。仝秋娟等［5］、張曉莉等［6］提出一種基于適應度的粒子群優化算法，根據粒子的適應度值動態自適應地調整算法中慣性權重和學習因子的取值，以平衡算法的全局搜索與局部搜索能力，從而避免算法陷入局部極值。楊巍等［7］對基本粒子群算法的更新迭代方式進行了改進，提出一種改進的動態權值自適應粒子群優化算法。采用動態權值自適性優化局部搜索和全局搜索，達到合理搜索的目的。以上研究表明，通過對粒子群算法慣性權重的自適應調整能改善算法的尋優能力。上述基于粒子群算法的慣性權重自適應改進，是改進粒子群算法提升算法效率的一條思路，為后續自適應粒子群算法的研究提供了借鑒。

引 言

粒子群算法（PSO）是模擬鳥群覓食行為發展起來的集群體協作和信息共享的群體智能算法，具有操作簡單、收斂速度快、魯棒性好的特點，且有深刻的智能背景，在科學研究和工程中應用非常廣泛。粒子群算法的應用從最初的函數優化擴展到現在的神經網絡訓練、圖像處理、工程領域的過程優化、隨機優化問題的求解、最優控制等領域［1］。隨著粒子群算法應用研究的深入，傳統PSO 算法的局限也相繼被發掘，譬如存在早熟收斂或者不收斂、維數災難、易陷入局部極值等問題［2］。對粒子群算法進行改進可以提高尋優能力。有學者從算法參數的設置來改進算法。李艷等［3］、張娟芝等［4］以PSO算法為基礎,提出一種新的自適應調整慣性權重的PSO

由于粒子群算法涉及參數不僅有慣性權重還有加速因子，它們對算法的尋優性能都存在影響。單獨調整其中某個參數，忽視其他參數對算法尋優能力的影響，這樣的改進存在局限性。基于此，本文嘗試運用動態自適應調整策略對傳統粒子群算法多個參數進行調整，結合引入自適應變化的控制因子，來改進粒子群算法，以期提高算法執行效率和全局尋優能力。

1 粒子群算法原理

1.1 粒子群算法基本思想

粒子群算法（PSO 算法）起源于對鳥群覓食行為的研究。由于鳥群覓食和優化問題求解在一些方面具有相似性，于是人們模擬鳥群覓食的生物原理進行優化決策和尋找問題最優解［8］。標準PSO 算法實現過程如下：假設在M 維（即有M 個函數自變量）搜索域中，有n 個粒子組成一個群體，n 代表種群規模。種群太小則不能保證粒子群體的多樣性，以致算法性能很差，種群太大盡管可以增加尋優的效率，阻止早熟收斂的發生，但無疑會增加計算量，造成收斂時間太長，表現為收斂速度緩慢［9］。Xi=(xi1,xi2,...,xiM)（i = 1,2,...,n），為粒子i的位置向量，粒子維數取決于待優化函數的變量數。 其中，xik∈[ ]

L,U ，代表粒子i在第k 個自變量上的取值。在實際應用中，X 每一維取值保證在一定的范圍內，這在函數優化問題中相當于自變量的定義域，L 表示第k 個自變量的取值下限，U 表示第k 個自變量的取值上限。Vi=(vi1,vi2,...,viM)為粒子i 的的速度向量，它們都是M 維的，vik∈[vmin,vmax]，vmin表示粒子在第k 維方向上的最小速度，vmax表示粒子在第k維方向上的最大速度。在每一代尋優中，粒子將根據其自身找到的歷史最優位置和群體找到的歷史最優位置來調整自己的飛行方向和方位［10］。記Pi=( pi1,pi2,...,piM)為粒子i 自身找到的具有最佳適應值的位置；記Pg=( pg1,pg2,...,pgM)為整個粒子群搜索到的最優位置。

其中，w 為慣性權重，c1與c2為加速因子，r1與r2為隨機量。

每一維粒子速度和位置都會被約束在一個范圍內，為了防止粒子逃遁出解空間，若超過邊界條件，采用如下方法進行處理：

或者

1.2 參數對粒子群算法的影響分析

算法搜索性能對參數有較高的依賴性，算法涉及3個參數：慣性權重w、加速因子c1及c2。3 個參數若設置為定值或者線性變化，則會對算法尋優及效率帶來不利影響［11］。3 個參數設置不當可能會使粒子群算法演變成局部尋優算法，或者粒子群在早期就喪失多樣性，造成算法早熟收斂［12］。另外，在優化前期，為了粒子具有較大速度，可以提高搜索全局最優解的能力。而在后期接近最優解時，為了不使粒子速度過大而偏離最優位置區域，錯失全局最優解而陷入局部最優，因此，在后期接近全局最優區域時，位置更新幅度不宜過大，應該對粒子速度進行有效調整和約束，不能忽視后期粒子可能因速度過大而導致俯沖脫離全局最優區域的情況出現，從而可能造成算法不成熟收斂［13］。鑒于上述原因，在PSO計算中引入非線性變化的收縮因子ρ(t)，與慣性權重相比，其更能有效管束粒子的飛行速度改善算法的收斂能力。

在算法搜索過程中，慣性權重值的變化應該滿足如下要求：前期減少的速度比較慢，慣性權重值較大且減少幅度較小利于全局探索；后期較小且減少的速度較快，利于粒子展開精細的局部搜索，這樣在保證收斂速度的同時又平衡了全局和局部搜索能力，有效避免陷入局部最優［14］。另外，算法兩個加速因子的變化應滿足c1先大后小、c2先小后大的要求［15］，這樣算法能較好兼顧局部和全局搜索。

2 動態自適應的粒子群算法

隨著PSO 算法研究的不斷深入，人們考慮到粒子群算法參數對其尋優能力和效率有很大影響，開始關注運用自適應變化的參數提升粒子群算法性能。通常從慣性權重的動態調整入手來優化粒子群算法，較大的慣性權重有利于展開全局搜索，而較小的慣性權重則有利于局部尋優，可以運用慣性權重的自適應調整來協調PSO算法的全局和局部尋優能力［16］。但僅從單一參數的調整來進行優化，其提升算法的性能相對有限，不僅要對算法的慣性權重和加速因子進行動態時變調整，同時引入動態時變的控制因子來約束粒子的位置更新幅度。因為參數值的非線性變化能比線性變化獲得更佳的算法性能［17］，李丹提出運用非線性調整的慣性權重來提升算法的探索和開發能力，以獲得全局最優的目的。3 項參數的調整皆采取非線性的動態自適應時變調整策略，其隨著迭代次數呈非線性變化。慣性權重的動態非線性調整，在此以反正切函數來構建慣性權重調整公式如下：

式中，反正切函數是一個遞減的函數，隨著自變量的增加，函數值遞減的步長逐漸減少。自變量等于1.56 時，函數值等于1，經過反正切函數改進的慣性權重變化正好符合PSO 算法的要求。本文中，wstart=0.9，wend=0.4。當t=1 時，w(t) = wstart= 0.9，當達到最大迭代次數tmax時，w(t) = wend= 0.4。k 為控制因子，控制w 隨t 變化曲線的平滑度, k取0.3，算法能取得較好的穩定性。

若僅對w 作出非線性調整會使得算法一旦陷入局部陷阱內就很難跳出，極易收斂到局部極值點。為了改變這種局限性，考慮到加速因子c1，c2對算法全局和局部尋優能力亦有重要影響，因此同時對兩個加速因子進行非線性的時變動態調整。以指數函數為基礎構造變化關系式，使其分別呈現遞減和遞增變化，能讓算法獲得較好的全局尋優性能。其調整函數如下：

其中，c1max，c2max都設為2.0，c1min，c2min都設為0.6，α 為常數，設為0.009。

在前期為了粒子能以較大速度接近最優位置，在后期為了不使粒子速度過大造成俯沖脫離最優位置區域，而錯失全局最優解從而陷入局部最優，因此在后期接近全局最優區域時，位置更新幅度不宜過大。對位置更新公式（2）引入動態自適應時變的控制因子ρ(t)，對算法后期粒子位置更新幅度進行約束。其變化規律按照如下函數進行調整：

其中，ρmax設為1.8，ρmin設為0.4，α 為常數，設為0.009。

如此，粒子位置更新公式調整如下：

各參數取值隨迭代變化曲線如圖1所示。

圖1 各參數變化曲線

3 動態自適應PSO算法性能分析

為驗證提出的動態自適應變參優化的PSO 算法的性能，用一些典型的復雜函數極值尋優對算法進行測試。第一個測試函數為一個三維函數：

該函數三維圖像及其初始粒子分布如圖2所示。

圖2 f1函數圖像及其初始粒子分布圖

在測試過程中，取粒子數為100，粒子維數為2 維，最大迭代次數為50 次。為了進一步顯示這種改進的有效性，將隨機變化權重PSO 算法記為PSO-RIW、慣性權重和加速因子線性動態調整的粒子群算法PSO 算法記為PSO-PIW、非線性動態自適應變參PSO 算法記為PSO-AIW。對迭代過程的適應度函數值變化曲線進行了對比，f1函數3種算法適應度函數值如圖3所示。

圖3 各PSO算法的適應度值變化

從適應度函數值的變化曲線可以看出，采用帶控制收縮的動態自適應變參優化的粒子群算法，在整個尋優過程中自適應度值曲線變化順暢，能極快跳出局部極值的束縛，快速進入全局收斂，并且收斂時間較短，收斂迭代次數約為5次，表明優化后的算法性能較好。而PSORIW 算法在迭代過程中較易陷入局部極值且不容易跳出，最終沒有收斂于全局最優，而且收斂時間長，算法效率不高，全局尋優能力不理想。而PSO-PIW 算法雖收斂于全局最優值，但在迭代過程中陷入局部極值的頻次較動態自適應優化的PSO 算法要高，算法性能沒后者理想。

第二測試函數是帶正弦的三維函數。該函數是一個復雜的多峰多谷函數，存在大量的局部最小值點和高大的障礙物，因為變量之間的關系，優化算法很容易陷入局部最優。f2測試函數關系如下所示：

f2測試函數圖像及其初始粒子分布如圖4所示。

圖4 f2函數圖像及其初始粒子分布圖

為了進一步揭示這種改進的有效性，同樣將PSORIW、PSO-PIW、PSO-AIW 算法迭代過程的適應度函數值變化曲線進行了對比，f2函數3 種算法適應度函數值如圖5所示：

圖5 各PSO算法的適應度值變化

從適應度值變化情況來看，PSO-RIW 算法、PSOPIW 算法容易陷入局部極值，尋優收斂時間較長，算法效率較低，且跳出局部最優解的能力較弱。PSO-AIW算法全局收斂的速度極快，沒有陷入局部最優，其綜合效率是比較高的，同時也說明優化帶來的尋優性能的提高還是比較令人滿意的。

為進一步探討改進后的PSO算法在高維情況下的尋優能力和效率，下面用一個高維函數來測試優化粒子群算法性能。采用Sphere函數對其進行測試，其表達式為：

這是一個多維函數，其簡單性能有助于探究優化算法在問題多維度上的尋優效果。該函數最優點位于x =(0,0,…,0)，全局最優點的函數值為0［17］。在此自變量取10 維，即該函數取10 個自變量。PSO 算法適應度函數值變化曲線如圖6 所示,優化PSO 算法在進化迭代過程中適應度值曲線變化順暢，表明其在多維函數尋優上也沒有陷入局部極值，能快速收斂于全局最優值，說明改進的PSO算法在解決高維優化問題亦有出色的表現。

圖6 優化PSO算法適用度值變化

4 結束語

對傳統的粒子群算法從慣性權重、加速因子方面進行了動態的自調整優化，并加入動態變化的控制因子來提升算法的效率。結果表明：多個參數的動態自適應調整給粒子群算法帶來的性能提升是很顯著的，改進后的算法全局尋優能力有了增強。改進的粒子群算法能用于現實當中非線性強、復雜度高的問題（如路徑規劃、自動化控制等）的求解。粒子群算法改進及其應用具有很大的價值和發展空間。