四元二次多項(xiàng)式可約的充要條件

唐善剛,李 偉

(1. 西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009；2. 安仁中學(xué), 成都 611331)

多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容，但要具體得到多項(xiàng)式的因式分解往往又是困難的，文獻(xiàn)［1-10］主要從帶余數(shù)除法、構(gòu)造真分?jǐn)?shù)序列與矩陣的初等變換角度給出了一元多項(xiàng)式在剩余類環(huán)、有限域，代數(shù)體與數(shù)域上可約的判定方法及分解因式的若干技巧。文獻(xiàn)［11］通過(guò)引入張量的概念來(lái)研究多元齊次多項(xiàng)式的因式分解，得到了齊次多元多項(xiàng)式基于張量分解下的因式分解的一般方法。文獻(xiàn)［12-14］研究了一類特殊的齊3次3元對(duì)稱多項(xiàng)式的因式分解的技巧及其相關(guān)的若干應(yīng)用。文獻(xiàn)［15］系統(tǒng)研究了整系數(shù)多元多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)歸納法下逐步轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式環(huán)上的一元多項(xiàng)式的因式分解的算法與分解技巧。文獻(xiàn)［16-18］將二次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上與復(fù)數(shù)域上的可約性等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次型的問題來(lái)研究，即二次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上可約等價(jià)于二次型的秩不大于2，二次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上可約等價(jià)于二次型的秩為1 或秩為2、且符號(hào)差為0，根據(jù)二次型的線性變換來(lái)得到二元多項(xiàng)式的因式分解。文獻(xiàn)［19］從矩陣論角度將多元多項(xiàng)式的因式分解與矩陣的MLP分解的算法聯(lián)系起來(lái)，闡述了多元多項(xiàng)式在矩陣MLP 分解下的算法。文獻(xiàn)［20］應(yīng)用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與帶余除法分析了一些特殊多元多項(xiàng)式的因式分解的技巧。本文討論二次實(shí)系數(shù)四元多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域上可約的充要條件，得到了僅用二次實(shí)系數(shù)四元多項(xiàng)式的系數(shù)的行列式就能判定其在實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域上可約的充要條件的新判據(jù)，而不用去檢驗(yàn)二次型的秩，推廣了已有文獻(xiàn)的研究結(jié)果［16-17］，并統(tǒng)一給出基于實(shí)系數(shù)對(duì)稱矩陣的合同變換下的二次實(shí)系數(shù)四元多項(xiàng)式的因式分解的技巧。

1 基本命題

命題3 整數(shù)n ≥1，λi為非0 實(shí)數(shù)(1 ≤i ≤n)，則關(guān)于x1,…,xn的多項(xiàng)式于復(fù)數(shù)域上可約當(dāng)且僅當(dāng)n ≤2。

2 二次四元多項(xiàng)式可約的充要條件

3 應(yīng)用舉例