基于端電壓殘差的超級(jí)電容融合建模方法研究

王 春，陳俑志，馬玉婷

（四川輕化工大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，四川 自貢 643000）

引 言

發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路，是應(yīng)對(duì)氣候變化、推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措。國(guó)務(wù)院在《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于印發(fā)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035 年）的通知》中，將突破整車智能能量管理控制納入深化“三縱三橫”的研發(fā)布局中［1］。而超級(jí)電容由于其功率密度高、充放電循環(huán)壽命長(zhǎng)等特點(diǎn)越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于新能源汽車儲(chǔ)能系統(tǒng)［2-5］。

對(duì)于新能源汽車而言，超級(jí)電容（組）的模型精度直接關(guān)系到車輛的安全性、能量決策和使用壽命等［6］。但超級(jí)電容由于內(nèi)部殘留電荷和自放電效應(yīng)的影響，其內(nèi)部狀態(tài)會(huì)發(fā)生不確定變化，并不能輕易得到其真實(shí)工作狀態(tài)［7-8］。因此，為了更好地對(duì)超級(jí)電容進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)和優(yōu)化控制，必須建立能夠準(zhǔn)確反映超級(jí)電容工作特性的模型。

目前，常見(jiàn)的超級(jí)電容等效電路模型有Rint 模型、Thevenin 模型和GNL 模型等［9-11］。一般地，相較于電池的充放電曲線，超級(jí)電容具有更好的線性。因此，眾多學(xué)者采用形式最為簡(jiǎn)單，只考慮了歐姆內(nèi)阻的Rint模型完成超級(jí)電容建模。然而，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比，超級(jí)電容還具有一定的極化作用和自放電現(xiàn)象，故能描述極化作用的Thevenin 模型和能描述自放電現(xiàn)象的GNL 模型也常常用于建模過(guò)程中［12-15］。但單一模型并不能保證在整個(gè)超級(jí)電容工作區(qū)段內(nèi)都保持最優(yōu)精度。換言之，在不同的工作區(qū)段，不同的模型有著各自的優(yōu)勢(shì)，這表明模型的精度還有進(jìn)一步提高的可能。

基于此，對(duì)上述3 種模型分別進(jìn)行建模，得到了這3種模型在UDDS（Urban Dynamometer Driving Schedule）工況下的端電壓殘差情況，并提出融合模型概念。在每一時(shí)刻對(duì)這3 種模型的優(yōu)先度進(jìn)行判斷，采用最優(yōu)的模型作為當(dāng)前時(shí)刻模型。最終模型是由每個(gè)時(shí)刻的最優(yōu)模型組合而成，以保證在整個(gè)工作區(qū)段都能保持最高的精度。

1 超級(jí)電容模型解析

超級(jí)電容不同于傳統(tǒng)化學(xué)電源，其儲(chǔ)能過(guò)程并不會(huì)發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，但由于內(nèi)部殘留電荷、自放電效應(yīng)和環(huán)境等因素的影響，其內(nèi)部狀態(tài)會(huì)隨時(shí)間而變化［16］。用等效電路模型代替其真實(shí)工作情況雖然會(huì)存在一定誤差，但其操作相對(duì)簡(jiǎn)單，可行性更高。

以下分別介紹3 種模型（Rint 模型、Thevenin 模型和GNL模型）的電路結(jié)構(gòu)和電路方程［9-11］。

Rint 模型由電源模塊和內(nèi)阻模塊兩部分組成，其電路結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 Rint模型

圖1 中，Uoc為電源模塊；R0為歐姆內(nèi)阻模塊；iL為端電流；Ut為端電壓。其數(shù)學(xué)關(guān)系如下：

對(duì)式（1）進(jìn)行離散化處理得式（2）：

式中，Ut,k，Uoc,k，iL,k分別為Ut，Uoc，iL在k 時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的值，下文中物理量下標(biāo)k 的用法同樣地表示在k 時(shí)刻下該物理量所對(duì)應(yīng)的值，下標(biāo)k+1 表示在k+1 時(shí)刻下該物理量所對(duì)應(yīng)的值。

Thevenin 模型是在Rint 模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)了一組RC 網(wǎng)絡(luò)模塊，用以描述超級(jí)電容的極化特性。由電源模塊、內(nèi)阻模塊以及RC 網(wǎng)絡(luò)模塊3 個(gè)模塊組成，其電路結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 Thevenin模型

圖2 中，RD、CD屬于RC網(wǎng)絡(luò)模塊,分別為極化內(nèi)阻和極化電容；UD為RC 網(wǎng)絡(luò)模塊的極化電壓。其電路的數(shù)學(xué)關(guān)系式如下：

式（4）中，τ為時(shí)間常數(shù)；Δt為采樣時(shí)間。

GNL 模型是在Rint模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)兩組RC 網(wǎng)絡(luò)模塊（一組表示電化學(xué)極化，另一組表示濃差極化），同時(shí)加入了自放電內(nèi)阻模塊，其電路結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 GNL模型

圖3 中，R1、R2均表示極化內(nèi)阻；C1、C2均表示極化電容；U1、U2分別為兩組RC 電路的極化電壓；Re為支路歐姆內(nèi)阻；Rs為自放電內(nèi)阻；I 為干路電流；Im為支路電流；U為自放電內(nèi)阻電壓。該電路的電路方程如下：

式（5）為GNL模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，式（6）為電流對(duì)時(shí)間積分所得的t 時(shí)刻超級(jí)電容荷電狀態(tài)方程。其中，Q0為電容總?cè)萘浚沪菫閹?kù)倫效率（單次充放電中超級(jí)電容放電量與充電量之比），其值默認(rèn)為1；SOC（State of Charge）為電源荷電狀態(tài)，其值為當(dāng)前剩余容量與最大可用容量的比值0~100%；U1,t, U2,t分別為U1, U2在t 時(shí)刻下的值。

將式（5）和式（6）進(jìn)行離散化并整理后，得到狀態(tài)空間方程如式（7）和式（8）所示：

式（7）中，a，b，c，d，e，f，g，h 為模型參數(shù)；C 為電路的總電容；wk為系統(tǒng)噪聲。

2 基于遺傳算法的離線參數(shù)辨識(shí)

2.1 遺傳算法

遺傳算法是一種基于生物自然選擇的隨機(jī)搜索算法。與傳統(tǒng)搜索算法不同，遺傳算法是從隨機(jī)生成的一組初始解（稱為“種群”）開(kāi)始搜索的［16］。種群的每個(gè)個(gè)體都是問(wèn)題的1 個(gè)解，個(gè)體之間進(jìn)行選擇、交叉、變異得到更優(yōu)秀的子代并淘汰母代［17］。經(jīng)過(guò)若干代后，算法收斂于最好的子代，它很可能就是問(wèn)題的最優(yōu)解或者次優(yōu)解。其一般步驟如下：

（1）編碼，即將初始解（初始種群）進(jìn)行編碼方便后續(xù)運(yùn)算，編碼方法可以采用格雷碼（Binary Gray Code）、BCD碼（Binary-Coded Decimal）等。

（2）選擇，即先根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)初始種群的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度計(jì)算（依照適應(yīng)度越高該個(gè)體越接近真實(shí)解的原則，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行求解），然后參照適應(yīng)度值對(duì)母代進(jìn)行選擇（每?jī)蓚€(gè)一對(duì)，總對(duì)數(shù)和母代個(gè)體數(shù)相同，單個(gè)個(gè)體可以被多次選擇，但不能選擇同一個(gè)個(gè)體作為一對(duì)），適應(yīng)度越高，被選擇或者重復(fù)選擇的概率就越高。

（3）交叉，即對(duì)選擇出的母代個(gè)體進(jìn)行交叉操作，交叉位置由交叉概率隨機(jī)決定，交叉結(jié)束淘汰母代個(gè)體，得到還未發(fā)生變異的子代。

（4）變異，即最后對(duì)交叉產(chǎn)生的個(gè)體進(jìn)行變異操作，得到最終的子代（變異位置隨機(jī)決定，是否變異由變異概率確定，不是每個(gè)個(gè)體都一定會(huì)變異）。

（5）解碼，即得到子代后對(duì)子代進(jìn)行判斷，如果不能滿足問(wèn)題要求，則將子代作為新的母代返回上述流程中的（2）“選擇”重新進(jìn)行循環(huán)；如果滿足要求，則解碼最優(yōu)的1個(gè)子代個(gè)體作為最終解輸出。

2.2 HPPC混合動(dòng)力脈沖特性測(cè)試

HPPC（Hybrid Pulse Power Characteristic）混合動(dòng)力脈沖特性測(cè)試常用于模型參數(shù)的離線辨識(shí)，采用連續(xù)的脈沖激勵(lì)序列對(duì)超級(jí)電容進(jìn)行充放電操作，以獲得超級(jí)電容在不同SOC 值下的動(dòng)態(tài)特性。超級(jí)電容端電壓范圍設(shè)定為0.5 V ～2.7 V，且設(shè)定Uoc=0.5 V 時(shí)，SOC=0%，Uoc=2.7 V 時(shí)，SOC=100%。本次使用的HPPC 測(cè)試實(shí)驗(yàn)具體流程如下：

（1）超級(jí)電容靜置180 s 后，以1 A 恒流充電，在電壓達(dá)到上截止電壓2.7 V 后，斷開(kāi)電源靜置兩小時(shí)，此時(shí)SOC=100%。

（2）靜置結(jié)束后，①以1 A 恒流放電5 s，靜置10 s，再以1 A 恒流充電5 s，靜置10 s；②接著以5 A 恒流放電5 s，靜置10 s，再以5 A恒流充電5 s，靜置10 s；③最后以10 A 恒流放電5 s，靜置10 s，再以10 A 恒流充電5 s，靜置10 s；令計(jì)數(shù)值j= 0。

（3）以1 A 恒流放出額定容量10% 的電量，靜置300 s，令j=j+ 1；

（4）如果j< 10，則返回步驟（2），反之則結(jié)束循環(huán)。循環(huán)結(jié)束時(shí)SOC=0%。

超級(jí)電容在混合脈沖測(cè)試階段的電流和電壓曲線分別如圖4和圖5所示。

圖4 HPPC實(shí)驗(yàn)電流圖

圖5 HPPC實(shí)驗(yàn)電壓圖

2.3 離線參數(shù)辨識(shí)

得到HPPC 測(cè)試數(shù)據(jù)后，通過(guò)遺傳算法分別對(duì)Rint、Thevenin和GNL這3種模型進(jìn)行離線參數(shù)辨識(shí)。

離線參數(shù)辨識(shí)基本流程如下［18-20］：

（1）標(biāo)定參數(shù)辨識(shí)區(qū)間。基于HPPC充放電曲線，每間隔10%SOC，標(biāo)定出參數(shù)辨識(shí)區(qū)間，SOC的計(jì)算方法如下：

式中，Cmax為超級(jí)電容容量（Ah），Inow為當(dāng)前時(shí)刻電流（A），t為時(shí)間（s）；SOCnow為當(dāng)前時(shí)刻SOC值，SOC0為初始時(shí)刻SOC值。

（2）計(jì)算模型中間量Uoc。由于Uoc隨SOC保持單調(diào)遞增關(guān)系，因此對(duì)式（9）采用多元線性擬合，得到Uoc和SOC之間的關(guān)系如下：

式中，αi（i=0,1,……,7）為擬合系數(shù)，z為SOC的值，用于擬合超級(jí)電容Uoc和SOC的映射關(guān)系。

（3）模型參數(shù)初始化。結(jié)合模型實(shí)際情況，建立兩列n行的參數(shù)始化矩陣，n等于該模型所需辨識(shí)的參數(shù)個(gè)數(shù)，第一列為各參數(shù)下限，第二列為各參數(shù)上限。

（4）建立適應(yīng)度函數(shù)。將等效模型離散化后的方程代入適應(yīng)度函數(shù)中，該函數(shù)以參數(shù)矩陣作為輸入，以該模型端電壓殘差作為適應(yīng)度值返回到遺傳算法中。

（5）調(diào)用遺傳算法工具箱。將參數(shù)初始化矩陣和適應(yīng)度函數(shù)代入遺傳算法工具箱中，遺傳算法工具箱基礎(chǔ)參數(shù)保持默認(rèn)即可。

（6）參數(shù)驗(yàn)證。將遺傳算法返回的參數(shù)值代入模型的端電壓方程中計(jì)算端電壓殘差值。

若遺傳算法求解不理想或者所需代數(shù)過(guò)多，則可以嘗試將參數(shù)初始區(qū)間減小，或者更換選擇、交叉、變異等算子的計(jì)算函數(shù)，以提升模型精度。

3 基于端電壓殘差的融合模型

3.1 不同模型下端電壓誤差比較

通過(guò)遺傳算法分別對(duì)Rint 模型、Thevenin 模型和GNL 模型完成參數(shù)辨識(shí)，并得到各模型在HPPC 測(cè)試數(shù)據(jù)下的端電壓殘差數(shù)據(jù)集。

但由于HPPC 是為參數(shù)辨識(shí)所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)，與實(shí)際工況有著很大的差別，故其端電壓殘差數(shù)據(jù)集并不能很好的說(shuō)明該模型的好壞，需要將不同模型分別代入實(shí)際工況數(shù)據(jù)，得到實(shí)際工況下的誤差。因此，將3 個(gè)模型分別代入U(xiǎn)DDS 標(biāo)準(zhǔn)工況實(shí)驗(yàn)，得到這3 個(gè)模型在UDDS 工況下的端電壓誤差集（表1）。從表1 中可以看出，3 種模型的最大誤差都小于16 mV，平均誤差均小于2.5 mV，均方根誤差均小于3.2 mV；其中Rint 模型表現(xiàn)最佳，其最大誤差比3 個(gè)模型中最大值小0.54 mV，平均誤差比3 個(gè)模型中最大值小0.088 mV，均方根誤差比3個(gè)模型中最大值小0.099 mV。

表1 各模型端電壓殘差對(duì)比

然而，雖然采用單一模型的情況下，Rint 模型的整體精度是3 種模型中最高的，但這并不能代表Rint 模型在超級(jí)電容的整個(gè)工作區(qū)段都能保持最佳狀態(tài)。

為了確定3 個(gè)模型在整個(gè)工作區(qū)段上的優(yōu)劣性，在每一時(shí)刻對(duì)3 個(gè)模型的誤差情況進(jìn)行對(duì)比，選出每一時(shí)刻誤差最小的模型并進(jìn)行編號(hào)記錄，結(jié)果如圖6所示。

圖6 優(yōu)先度代號(hào)圖

圖6 中，1 代表該時(shí)刻Rint 模型優(yōu)先度最高；2 代表該時(shí)刻Thevenin 模型優(yōu)先度最高；3 代表該時(shí)刻GNL 模型優(yōu)先度最高，每個(gè)時(shí)刻只有1 個(gè)最優(yōu)模型。圖6 中Rint 模型優(yōu)先的次數(shù)為3967 次，占42.41%；Thevenin 模型優(yōu)先的次數(shù)為3689 次，占39.44%；GNL 模型優(yōu)先的次數(shù)為1698次，占18.15%。

結(jié)合表1 及圖6 可見(jiàn)，Rint 模型并不是在每一時(shí)刻都能做到最優(yōu)，其余兩種模型在不同時(shí)刻都有著各自的優(yōu)勢(shì)區(qū)段。這表明模型的精度還有進(jìn)一步提高的可能。基于此，提出了以這3 種模型為基礎(chǔ)的融合模型，即將上述的3 種模型按照其優(yōu)勢(shì)區(qū)段進(jìn)行融合以求得到精度更高的模型。

3.2 融合模型的建立

綜合上述結(jié)論可知，3 個(gè)模型之間并沒(méi)有明顯的優(yōu)勢(shì)區(qū)段分界點(diǎn)，各模型之間的優(yōu)勢(shì)區(qū)段是相互交錯(cuò)的，通過(guò)SOC 區(qū)間等特征區(qū)域來(lái)劃分不同模型并不能保證得到的模型為這3 種模型的優(yōu)勢(shì)區(qū)段的融合。因此，采用基于每一時(shí)刻端電壓殘差切換不同模型的方法進(jìn)行融合，可以保證整體工作區(qū)段都能保持最佳狀態(tài)。其基本操作流程包括：

（1）模型函數(shù)建立。分別建立Rint 模型、Thevenin模型和GNL 模型的殘差計(jì)算函數(shù)，函數(shù)輸入值為電壓、電流值，輸出為端電壓殘差值。

（2）模型優(yōu)先度判斷。其過(guò)程如下：①載入U(xiǎn)DDS數(shù)據(jù)，給3個(gè)模型設(shè)置對(duì)應(yīng)代號(hào)；②計(jì)算出3個(gè)模型方程中需要用到的中間變量；③在每一采樣時(shí)刻分別將電壓、電流數(shù)據(jù)代入3 個(gè)模型的端電壓殘差計(jì)算函數(shù)中，得到3 個(gè)模型在當(dāng)前時(shí)刻的殘差值；④對(duì)端電壓殘差值進(jìn)行對(duì)比，記錄下最優(yōu)模型代號(hào)；⑤重復(fù)③~④步驟，以得到整個(gè)工作區(qū)間的最優(yōu)模型代號(hào)。

（3）切換目標(biāo)函數(shù)。載入步驟（2）得到的優(yōu)先度代號(hào)數(shù)據(jù)，依照優(yōu)先度代號(hào)數(shù)據(jù)，在每一時(shí)刻切換對(duì)應(yīng)代號(hào)的模型函數(shù)作為當(dāng)前時(shí)刻的模型，即可得到融合模型。

（4）融合模型端電壓誤差計(jì)算。根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻模型最優(yōu)代號(hào)，將電壓電流值代入對(duì)應(yīng)模型的殘差計(jì)算函數(shù)中，并記錄下殘差值。重復(fù)此過(guò)程即可得到整個(gè)工作區(qū)段融合模型的殘差情況。

3.3 融合優(yōu)化模型和未優(yōu)化模型誤差對(duì)比

建立融合模型后，將融合模型代入U(xiǎn)DDS 工況實(shí)驗(yàn)，得到其在真實(shí)工況下的誤差情況，并與3 種構(gòu)成融合模型的基礎(chǔ)模型進(jìn)行對(duì)比。其對(duì)比結(jié)果如表2 和圖7 所示。

從表2 可以看出，融合模型的最大誤差和最小的Rint 模型相同，均為15.062 mV，平均誤差為2.070 mV，比3 個(gè)基礎(chǔ)模型中最小的Rint 模型小6.88%，均方根誤差為2.982 mV，比最小的Rint模型小2.69%。

表2 各模型端電壓殘差對(duì)比

圖7 所示為各模型端電壓殘差對(duì)比情況。從圖中可以看出融合模型的殘差曲線的穩(wěn)定性是高于3 個(gè)基礎(chǔ)模型的，在1500 s 到2500 s 這個(gè)區(qū)間上尤為明顯。在1900 s到2100 s區(qū)間段的放大圖中可以發(fā)現(xiàn)Thevenin 模型的誤差抖動(dòng)非常明顯，Rint模型和GNL 模型的誤差抖動(dòng)略大于融合模型，只有在1950 s 到1980 s 區(qū)間，融合模型的抖動(dòng)大于Rint模型和GNL模型，但總體融合模型的誤差抖動(dòng)都是小于3個(gè)基礎(chǔ)模型的。

圖7 各模型端電壓殘差對(duì)比

結(jié)合表2和圖7可以發(fā)現(xiàn)，相較于單一模型，融合模型有著更高的精度和穩(wěn)定性，其在整個(gè)工作區(qū)間段內(nèi)都能夠保持最優(yōu)的狀態(tài)。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于端電壓殘差將Rint 模型、Thevenin 模型和GNL模型進(jìn)行融合，得到了精度更高、穩(wěn)定性更好的融合模型。首先介紹了這3 個(gè)電路模型的基本電路結(jié)構(gòu)及其電路方程，然后采用遺傳算法通過(guò)HPPC 測(cè)試數(shù)據(jù)分別對(duì)這3個(gè)模型進(jìn)行了離線參數(shù)辨識(shí)，并對(duì)比了3個(gè)模型在UDDS工況下的端電壓殘差，然后通過(guò)每一時(shí)刻對(duì)超級(jí)電容端電壓殘差值進(jìn)行判斷，選擇最優(yōu)模型的方法得到了融合模型，并且將UDDS數(shù)據(jù)代入融合模型中，得到了融合模型的端電壓殘差數(shù)據(jù)集。與組成融合模型的3個(gè)基礎(chǔ)模型相比，融合模型在整個(gè)工作區(qū)段表現(xiàn)是最優(yōu)的，并且其均方根誤差和平均誤差分別改善了2.69% 和6.88%。相較于單一模型，這種新的融合建模方法具有更高的精度和可靠性，有利于車載電源的優(yōu)化控制。