關于量子力學原理的注記

楊師杰

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

在經典力學中，質點的狀態由位置和動量(速度)(q,p)完整地描述，這樣一對物理量被稱作正則共軛量，它滿足哈密頓運動方程：

(1)

其中j=1,2,…,n代表n維空間獨立坐標.對于N質點系統，由獨立變量(q,p)張開一個2nN維的相空間，相空間中的一點代表質點系的一個完整狀態，質點系的時間演化即為相空間里的一條軌跡.對于孤立系統，這條軌跡被約束在相空間中的等能面上.

量子力學的情況有所不同，由于位置和動量不是好物理量，不能用它們來描述微觀粒子的狀態.我們設想仍然存在一個狀態量|ψ〉，它完備地描述粒子的全部物理性質，那么需要解決下面幾個問題：1) 狀態量|ψ〉處于什么樣的空間中？2) 狀態量|ψ〉具有什么基本特性？3) 狀態量|ψ〉在該空間中隨時間如何演化？相對于經典力學的相空間，量子系統所有可能的狀態集合構成一個完備的復內積空間，馮·諾依曼稱之為希爾伯特空間[1].所以狀態量|ψ〉是希爾伯特空間中的一個向量，它滿足線性疊加原理，并且保持歸一化條件：〈ψ|ψ〉≡1. 所有力學量都被視作對量子態進行線性變換操作的算符，該操作不會導致狀態量超出原來的希爾伯特空間，為此要求力學量都是自伴算符.

為了得到狀態量|ψ(t)〉隨時間演化的動力學方程，引入演化算符U(t,t0)，有

|ψ(t)〉=U(t,t0)|ψ(t0)〉

(2)

其中|ψ(t0)〉是t0時刻的狀態量.由于〈ψ(t)|ψ(t)〉=〈ψ(t0)|ψ(t0)〉=1，可知

U?(t,t0)U(t,t0)=1

(3)

即U(t,t0)必須是幺正算符，可表示為U(t,t0)=eiΛ(t,t0)，其中Λ=Λ?為厄米算符.現在考慮一個具有時間平移不變的系統，狀態量|ψ(t)〉應該具有什么形式呢？如果系統處于能量本征態，由于形式上狀態沒有任何改變，極有可能的情形是

|ψ(t)〉～e-iα(t-t0)|ψ(t0)〉

其中α是常量.經典力學中具有時間平移不變的系統必定能量守恒，所以常量α可能與系統的能量E有關.考慮到狀態向量的線性疊加原理——不同狀態可能具有不同的能量——常量α應該與系統的哈密頓量H有關.我們可以合理地猜測狀態演化的一般式為 |ψ(t)〉=e-iH(t-t0)/?|ψ(t0)〉

(4)

普朗克常量?的出現是出于消除量綱的需要，這個常量出現得多么及時！沒有這個常量，時間平移的態演化幺正性假設就不能成立.如果哈密頓量含時，則一般的態演化方程應為

(5)

否則將導致關于時間的非線性演化.

如果上述猜測是正確的，那么很容易得到狀態量|ψ(t)〉滿足的動力學方程為

(6)

這就是薛定諤方程.至此，我們尚不知道哈密頓量H以及其他力學量算符具有何種形式.值得注意的是，該方程與哈密頓量的具體形式無關，它既適用于中心力場這類有經典對應的力學系統，也適用于自旋這類沒有經典對應的純量子系統，尤其是，它對于非相對論情形和相對論情形都同樣適用！

(7)

(8)

哈密頓算符的矩陣表示為

態演化方程(6)可寫成

所以系數的演化由矩陣方程描述：

(9)

下面討論表象及表象變換理論.以一維為例，位置算符x的本征方程為x|x〉=x|x〉

由位置基向量表示的空間稱作坐標表象.坐標表象下的量子態表示為

(10)

投影ψ(x,t)就是通常的波函數.由歸一化條件〈ψ(t)|ψ(t)〉=1，可知

哥本哈根學派將|ψ(x,t)|2解釋為粒子在位置x出現的概率密度.

假設還存在另一個具有連續譜的算符p，其本征向量為|p〉:

p|p〉=p|p〉

根據δ函數的性質:

(11)

如果將p視作動量，由于px具有作用量的量綱[J·s]，普朗克常量?再一次及時出現，指數相因子應該除去?，即

(12)

(13)

它與坐標表象的波函數ψ(x,t)之間恰好構成傅里葉變換！根據傅里葉變換的標度性定理可知，函數在位形空間的分布寬度與其在動量空間的分布寬度成反比ΔxΔk～1，即

ΔxΔp～?

(14)

所以被視作量子力學核心的不確定性原理，其實是表象變換蘊含的必然結果，它與量子態的演化動力學沒有內在邏輯關系.需要特別指出的是，普朗克常量?可視作量子系統作表象變換的不變量，如同光速c被視作力學系統作洛倫茲變換的不變量，以及電荷e被視作電磁系統作規范變換的不變量.

將動量算符p作用在位置基向量上，有

-i?〈x′|x〉+x〈x′|p|x〉,

〈x′|xp|x〉=x′〈x′|p|x〉

→〈x′|xp-px|x〉=i?〈x′|x〉

表明算符x和p的泊松括號具有常數譜，所以它們滿足正則對易關系:

[x,p]=i?

(15)

坐標表象下的哈密頓算符為

態向量的演化方程表示為

即

(16)

這就是坐標表象下的薛定諤波動方程.

在量子力學中，所有的物理可觀測量都是希爾伯特空間中的自伴算符，A=A?.物理量的實驗測量值就是力學量算符在量子態下的平均值:

(17)

至此，我們已經演繹了量子力學的基本框架.現在還剩下一項任務，那就是驗證薛定諤方程的合法性.我們要求由它得到的結果在?→0時，能夠無縫地過渡到經典力學.在經典力學中，力學量隨時間的演化滿足哈密頓運動方程：

(18)

其中{,}表示經典泊松括號.當力學量算符不含時，其態平均值隨時間的演化方程為

(19)

(20)

可見力學量的量子運動方程和經典運動方程在邏輯上是一致的.

梳理一下量子力學理論的脈絡，有以下兩條基本原理或假設：

1) 粒子的狀態由希爾伯特空間的歸一化態向量完備地描述，所有力學量都是作用于該空間的自伴算符；

2) 存在普朗克常量?，量子態隨時間的演化由|ψ(t)〉=e-iH(t-t0)/?|ψ(t0)〉決定，其中H是描述粒子的哈密頓量.

這兩條假設中的第1條是數學公理，第2條才是物理公理.量子力學理論的其他假設都可歸結于對數學概念與可觀測量之間關系的物理解釋.

我們再討論量子力學的路徑積分表示.費曼考慮粒子從A出發的粒子經過所有路徑達到B的概率幅，他假設每條路徑貢獻一個與作用量成正比的相位[3]：

其中S[x(t)]為沿任意路徑x(t)的作用量.費曼基于此假設推導出薛定諤波動方程及整個路徑積分框架.我們現在從量子態的一般演化式(5)出發推演量子力學的路徑積分理論.將t0到t的時間等分為N段，tk=kΔt(k=1,2,…,N-1)，有

U(tB,tA)=

U(tB,tN-1)U(tN-1,tN-2)…U(tk,tk-1)…U(t1,tA)

則

K(B,A)=〈xB|U(t,t0)|xA〉=

〈xB|U(tB,tN-1)|xN-1〉〈xN-1|…

|xk+1〉〈xk+1|U(tk+1,tk)|xk〉…〈x1|U(t1,t0)|xA〉

當N→∞,Δt→0時，取一階近似

有

〈xk+1|U(tk+1,tk)|xk〉=

(21)

K(B,A)=

(22)

圖1 路徑積分

(23)

粒子傳播到B點的總概率幅是將所有可能時序路徑的概率幅疊加起來，用符號D[x(t)]表示為

(24)

這樣就得到了費曼的假設式(21)，注意此處丟棄了一個異常無窮大的歸一化因子(N→∞,Δt→0).在推導式(24)時，我們利用了高斯積分，它源于哈密頓量中能量與動量成二次函數關系，非此則傳播子表示為相空間的路徑積分形式[4]

(25)

假設宏觀粒子的經典路徑為xcl(t)，令S[x(t)]=S[xcl(t)]+δS[x(t)]，由于?很小，偏離經典路徑的相位δS[x(t)]/?導致概率幅急劇振蕩，不同路徑對概率幅貢獻互相抵消，所以經典路徑滿足δS[x(t)]=0，即作用量S[x(t)]取極值的情形，這被稱作最小作用量原理.

(26)

可得相干態路徑積分的拉格朗日量為

(27)

對于量子自旋系統的路徑積分表示，相干態之間的內積會導致一個幾何相位，通常稱作貝里相，它不是由哈密頓量決定，但可以影響系統的動力學行為.比如自旋-1/2系統H=B·S，取相干態|n〉=|z〉，采用旋量表示：

(28)

其傳播子為[5]

(29)

其中

(30)

S[n(t)]=-∮BnSdt+

(31)

其中D是閉合路徑對應的球面區域.

路徑積分方法對于討論多粒子相互作用的系統顯示出極強的實用性，它將不同自由粒子及其相互作用的作用量簡單地加起來即可

Stot=Sfree+Sint+…

(32)

這種形式十分便利于發展量子場和有限溫度量子統計理論.考慮單粒子配分函數的路徑積分表示:

(33)

其中β=1/T是溫度的倒數，其中K(xB,xA,β)≡〈xB|e-βH|xA〉可視做沿著虛時的傳播函數，按照相似的推導，可得相空間的路徑積分:

K(xB,xA,τ)=

(34)

于是配分函數為

(35)

其中x(0)=x(β),p(0)=p(β)，即可以把虛時方向看作是閉合的，通過解析延拓可化為實時傳播函數

K(xB,xA,τ)|τ=it=iK(xB,xA,t)

(36)

致謝：作者感謝郭文安教授的許多討論和評論.