蜃景形成的原理及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

韓潤(rùn)澤

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

海市蜃樓，又稱蜃景，是光線經(jīng)過不同折射率的介質(zhì)層發(fā)生連續(xù)折射或者發(fā)生全反射時(shí)出現(xiàn)的一種光學(xué)現(xiàn)象.

蜃景成因的主流觀點(diǎn)是光線經(jīng)過多次折射，入射角不斷增大，最后出現(xiàn)全反射改變光路方向[1,2]，也有觀點(diǎn)認(rèn)為上現(xiàn)蜃景是由于掠入射導(dǎo)致的鏡反射引起的[3].人造蜃景的方法主要是利用自由擴(kuò)散法[4-7]，且大多數(shù)文獻(xiàn)只是通過擴(kuò)展光源照射得到蜃景為止，暫無通過激光顯示光路來驗(yàn)證蜃景形成原因的.

蜃景常見的是上現(xiàn)蜃景、下現(xiàn)蜃景和復(fù)雜蜃景.復(fù)雜蜃景是變形的上現(xiàn)、下現(xiàn)蜃景以及一些其他蜃景(如側(cè)向蜃景)的復(fù)雜疊加[8].本文將以上現(xiàn)蜃景為例進(jìn)行理論和實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，得到蜃景形成的一般原理.

1 光在介質(zhì)中傳播基本理論

1.1 光線軌跡理論推導(dǎo)

大氣層分成同心球殼,每一球殼的折射率認(rèn)為相同, 在任意相鄰的兩個(gè)球殼的分界面上, 發(fā)生折射現(xiàn)象.

由菲涅耳定律，設(shè)入射處折射率為n0，入射角為θ0.第i層的折射率為n(y)，入射角為θ(x,y)，有

即有

(1)

以射入點(diǎn)為原點(diǎn)，沿容器向上開口為y軸正方向.在垂直于y軸的平面內(nèi)，沿光線在該平面上的投影的方向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系.如圖1所示.

圖1 光線傳播軌跡示意圖

在y處的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為

代入式(1)得

(2)

通過2.2節(jié)配置溶液的方法，n(y)滿足

(3)

折射率漸變?nèi)芤?其中a、b為溶質(zhì)決定的參數(shù)；M0%為起始溶液的質(zhì)量百分?jǐn)?shù)；S、V為與裝置有關(guān)的常量. 記

(4)

n0sinθ0=E

(5)

(6)

由全反射限制，取E>a積分得

C為積分常量. 條件入射點(diǎn)(0,y0),積分得

稱為光線方程. 式(7)中

(8)

(9)

a、b、β、E由式(3)、(4)、(5)決定.

由反三角函數(shù)定義域, 得

(10)

則y的最大值ym恰為光線發(fā)生全反射時(shí)的y值. 即n(ym)sin90°=n0sinθ0. 代入ym，得到對(duì)應(yīng)的全反射處的x值滿足

(11)

1.2 一種特定折射率漸變?nèi)芤旱某上褚?guī)律

由NaCl溶液折射率n與其質(zhì)量百分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)公式[9]，得到式(3)中的參數(shù)：

a=1.333 1±0.000 5;

b=0.001 85±0.000 03

(12)

并取β=7.955/m,M0=16.

激光以不同入射角從y0=0.03m處射入溶液，光線發(fā)散，所成像為在特定觀察點(diǎn)的光線切線的交點(diǎn)，故為虛像. 用Matlab模擬入射光線在溶液中的光路及物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的成像點(diǎn)，如圖2所示. 盛放配置溶液的容器長(zhǎng)1m，物貼在容器一側(cè)的器壁上，人在另一側(cè)觀察.

觀測(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)一定時(shí)，對(duì)于物體的兩端分析，探究成像情況. 由于光射出容器后沿直線傳播，且觀測(cè)人眼離容器壁很近，故取觀測(cè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0=1m，物點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為y0=0.03,0.09m. 箭頭所指的圈中為對(duì)應(yīng)物點(diǎn)的像點(diǎn)位置，如圖2所示.

圖2 改變物點(diǎn)縱坐標(biāo)模擬成像位置

通過圖2可知，物點(diǎn)越高像點(diǎn)越高，所以不論物的縱坐標(biāo)在何處，只要光線透過溶液且切線的交點(diǎn)近似為一點(diǎn)，得到的都是正立的虛像.

2 光在非均勻介質(zhì)中傳播的實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

改進(jìn)指數(shù)分布法配置溶液裝置示意圖如圖3所示.由四部分組成，分別是水管、混合槽、觀景槽、內(nèi)外雙層開縫塑料管. 水管通入可調(diào)恒定水流，通過調(diào)節(jié)水流流量與混合槽流出水流流量相等來使混合槽水位不變. 混合槽實(shí)驗(yàn)前裝入配置好的已知初始質(zhì)量百分?jǐn)?shù)的溶液，高度適宜.

圖3 配置裝置示意圖

觀景槽實(shí)驗(yàn)前調(diào)平，以保證折射率分界面水平.在實(shí)驗(yàn)開始前，觀景槽內(nèi)放入緩沖板.緩沖板是與觀景槽槽底等大的打孔泡沫板，可以漂浮在水面上，一定程度上使水流相對(duì)平穩(wěn)落入觀景槽.

在混合槽一側(cè)的水龍頭加上內(nèi)外雙層開縫塑料管(剖面圖如圖4所示)，內(nèi)部小口徑塑料管上側(cè)開口，保證其灌滿后再均勻溢出.外部大口徑塑料管下側(cè)開多個(gè)槽使溶液流出. 水龍頭與塑料管的規(guī)格大小為：內(nèi)管外徑和外管內(nèi)徑與水龍頭的內(nèi)外徑恰好相同，避免水的泄漏.實(shí)驗(yàn)開始前，內(nèi)外雙層開縫塑料管的末端需要封住，避免實(shí)驗(yàn)時(shí)溶液外流.

圖4 內(nèi)外雙層開縫塑料管剖面圖

2.2 配置觀景槽溶液的原理及步驟

水管和水龍頭流量相等，記為Φ.混合槽內(nèi)裝入質(zhì)量百分?jǐn)?shù)為M0，體積為V的食鹽水. 設(shè)t時(shí)刻混合槽內(nèi)鹽水質(zhì)量百分?jǐn)?shù)為M(t)，dt時(shí)間內(nèi)槽內(nèi)食鹽的增量為VdM，從混合槽排出的鹽水質(zhì)量百分?jǐn)?shù)也為M(t)，dt時(shí)間內(nèi)從混合槽排出鹽量為Φdt·M.在混合槽內(nèi)食鹽增量就等于該槽食鹽的排出量，因此有

VdM=-Φdt·M

(13)

(14)

(15)

令t時(shí)刻觀景槽鹽水的高度為y，底面積為S，則

(16)

聯(lián)立式(15)、式(16),得

(17)

其中M%為混合槽內(nèi)鹽水質(zhì)量百分?jǐn)?shù)，S為觀景槽的底面積，V是混合槽中液體的體積，M0%為混合槽中溶液初始質(zhì)量百分?jǐn)?shù)，對(duì)于食鹽水一般是10～20%[10].

2.3 實(shí)驗(yàn)步驟

1) 按圖3擺放實(shí)驗(yàn)裝置，保證觀景槽高度適宜觀看.

2) 打開水管和混合槽水龍頭，調(diào)整二者流量使混合槽內(nèi)水位達(dá)到不隨時(shí)間改變.關(guān)閉水管和水龍頭，倒出混合槽內(nèi)的水并擦拭干凈.

3) 在混合槽內(nèi)注入鹽水，質(zhì)量百分?jǐn)?shù)M0=20左右.標(biāo)記混合槽水位，保證配置過程高度不變.

4) 同時(shí)打開水管和混合槽水龍頭.用攪拌棒在混合槽內(nèi)不斷攪拌.目視混合槽標(biāo)記處，保證混合槽水位高度不變.

6) 去掉除觀景槽以外的所有裝置，配置完成.

2.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提取方法

配置完溶液后，激光如圖5方式斜入射，之后用Tracker軟件提取照片中光路的數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析. 提取數(shù)據(jù)點(diǎn)具體方法如下.

1) 用win10電腦自帶的圖片轉(zhuǎn)視頻功能，將一張如圖5的光路照片轉(zhuǎn)為時(shí)長(zhǎng)約為30 s的MP4文件.

圖5 激光筆斜上入射

2) 打開Tracker，導(dǎo)入轉(zhuǎn)換好的MP4文件.

3) 建立坐標(biāo)系，設(shè)定定標(biāo)尺和質(zhì)點(diǎn). 把原點(diǎn)設(shè)置在視頻中長(zhǎng)方體容器左下角，坐標(biāo)系x軸與容器底邊重合. 利用定標(biāo)尺，把容器長(zhǎng)度定為1 m. 點(diǎn)擊工具欄中的創(chuàng)建質(zhì)點(diǎn)，按住Shift鍵出現(xiàn)一個(gè)小方框，將方框中心置于y軸上的光線入射點(diǎn). 點(diǎn)擊之后就將質(zhì)點(diǎn)A創(chuàng)建在了方框正中心.

4) 手動(dòng)逐幀在光線上標(biāo)定質(zhì)點(diǎn)，每點(diǎn)一次鼠標(biāo)就會(huì)標(biāo)定一幀，每幀質(zhì)點(diǎn)都在上一幀基礎(chǔ)上右移3 mm左右，直到把整個(gè)光線標(biāo)定出來.

5) 將提取的x,y坐標(biāo)導(dǎo)入Excel，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

如圖6所示，將提取的數(shù)據(jù)點(diǎn)還原光路，與理論計(jì)算光路對(duì)比可初步判斷理論的可靠性.其中誤差棒表示的是每一點(diǎn)測(cè)量的不確定度，可以看到誤差棒的數(shù)量級(jí)為1 mm.

圖6 一次實(shí)驗(yàn)的理論與實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)照?qǐng)D

圖7為物點(diǎn)縱坐標(biāo)為y0=0，觀測(cè)點(diǎn)橫坐標(biāo)x0=0.3 m，即與圖6實(shí)驗(yàn)參數(shù)吻合情況下理論模擬的不同入射角的光線和成像位置. 箭頭所指的圈為像點(diǎn)位置.該處成像原理并不是全反射，而是光線的過度折射.

圖7 在真實(shí)實(shí)驗(yàn)參數(shù)下的光線和成像圖

2.5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

B=PA

(18)

記A、B正比關(guān)系擬合的斜率為k，則

(19)

選用斜率k作為對(duì)照理論值與實(shí)驗(yàn)值的依據(jù).

(20)

的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，同時(shí)設(shè)置截距為0.

這個(gè)限制嚴(yán)格來說會(huì)導(dǎo)致全反射之后的光線無法與文中理論直接對(duì)照，但是由于光路的對(duì)稱性，只考慮全反射之前的理論實(shí)驗(yàn)對(duì)照依然是可行的.

實(shí)驗(yàn)中靠上層的溶液與計(jì)算得到的溶液質(zhì)量百分?jǐn)?shù)符合度較低，主要原因是溶液越靠上，相鄰層的變化越小，擴(kuò)散作用會(huì)導(dǎo)致上層幾乎變?yōu)榫鶆蛉芤海凵渎蕸]有變化，故而光線進(jìn)入該區(qū)域后不再向下彎折.

2.6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

條件為：β=8.594/m,y0=0,x0=1 m,a=1.333 1,b=0.001 85,M0=16,ρ=1.116 g/cm3[11]，改變?nèi)肷浣沁M(jìn)行實(shí)驗(yàn). 斜率k的理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)照見表1，圖8為入射角θ0=85.64°條件下B-A圖. 可以看出，各次實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差都是比較小的.

表1 改變?nèi)肷浣铅?時(shí)斜率k的理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)照

圖8 θ0=85.64°條件下B-A正比關(guān)系擬合圖

2.7 誤差分析

實(shí)驗(yàn)中直接測(cè)量的物理量為：觀景槽的長(zhǎng)p，觀景槽的寬q，射入點(diǎn)縱坐標(biāo)y0，配置食鹽水的食鹽質(zhì)量mNaCl，水的體積Vwater，構(gòu)成射入角的短邊h，長(zhǎng)邊d，標(biāo)定點(diǎn)的坐標(biāo)x、y.

直尺測(cè)量物理量為p、q、y0、h、d，不確定度為

(21)

(22)

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得u(θ)的數(shù)量級(jí)為10-3rad，故記u(θ)=0.001 rad；mNaCl由機(jī)械天平測(cè)量且除食鹽外含有0.2%雜質(zhì)(如KCl，I等)，故記不確定度u(mNaCl)=5g，Vwater由量筒測(cè)量，不確定度u(Vwater)=5ml.

用2.4節(jié)提取數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法，x、y數(shù)據(jù)精度主要受Tracker內(nèi)置算法，手動(dòng)標(biāo)點(diǎn)誤差以及照片視差的影響. 查閱Tracker參考手冊(cè)得到信息：當(dāng)照片像素高時(shí)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)誤差很小，雖然沒有給出具體數(shù)據(jù)，但由Tracker可以適用于測(cè)量單縫衍射[12]，有理由估算上述三種誤差帶來的極限誤差和不超過1 mm.故u(x)=u(y)=1 mm.

由式(12),得u(a)=0.000 5,u(b)=0.000 03，將上述所有不確定度合成，代入不確定度計(jì)算公式

(23)

其中

(24)

(25)

(α=p,q,y0,a,b,mNaCl,Vwater,θ), 得到的不確定度如下表.

表2 改變?nèi)肷浣铅?的斜率k實(shí)驗(yàn)不確定度

由于理論計(jì)算得到的值基本上在實(shí)驗(yàn)值的2σ區(qū)間內(nèi)，所以實(shí)驗(yàn)結(jié)果是比較可靠的.

溶液從內(nèi)外雙層開縫塑料管落入觀景槽時(shí)不可避免會(huì)對(duì)配制溶液產(chǎn)生擾動(dòng)，得到的溶液與理論計(jì)算有差異.這個(gè)差異是不可控的，而且是主要誤差來源.

3 討論

首先討論激光熱效應(yīng)的影響. 通過估算，在實(shí)驗(yàn)時(shí)間內(nèi)水升高的溫度小于ΔT=0.36℃，在這個(gè)溫度變化范圍內(nèi)，折射率的變化為10-5數(shù)量級(jí)[13]，而配制溶液折射率精度為10-3，故激光熱效應(yīng)帶來的影響可以忽略不計(jì).

其次討論配置溶液的穩(wěn)定性和溶液的橫向折射率對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響. 由于食鹽溶液的折射率不易無接觸測(cè)量，而溶液的穩(wěn)定性與溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)有關(guān)，考慮到食鹽和葡萄糖的擴(kuò)散系數(shù)均為10-9數(shù)量級(jí)，我選擇利用葡萄糖的旋光性測(cè)量相同折射率漸變葡萄糖溶液的折射率.

一是在5處豎直方向坐標(biāo)不同的位置用消光法多次測(cè)定濃度(如圖9)，二是在同一高度測(cè)量多處濃度. 偏振片A不動(dòng)的情況下，消光偏振片B角度變化小于1°. 由葡萄糖溶液濃度和折射率經(jīng)驗(yàn)公式得到[14,15]，折射率變化量為1.4*10-5(20 ℃)，配置溶液折射率精度為10-3，故在實(shí)驗(yàn)過程中自由擴(kuò)散影響和橫向折射率的影響均可忽略不計(jì).

圖9 旋光法測(cè)溶液濃度示意圖

4 總結(jié)

用激光照射有折射率漸變流體，光路為

對(duì)于折射率n與高度y滿足式(3)的溶液，從(0,y0)入射，光路方程為

其中P、Q、a、β、E由式(8)、(9)、(12)、(4)、(5)決定.

由于負(fù)指數(shù)梯度的折射率變化與大氣類似[16]，所以通過溶液成像的模擬和實(shí)驗(yàn)可以歸納上現(xiàn)蜃景的總體規(guī)律：上現(xiàn)蜃景物和像大小關(guān)系不能確定，且大部分為正立虛像，