一維受迫諧振子的幾何相位

孫玉明

(煙臺大學物理系，山東 煙臺 264005 )

受迫諧振子是一類可以解析求解的含時問題，求解方法大致上分為不變算符法[1-3]、幺正變換法[4]、李代數法[5]和格林函數法[6].根據系統特點選擇合適的方法,一般可以得到系統的量子態. 因為哈密頓量含時,系統能量不守恒,量子態在希爾伯特空間中的運動軌跡更加復雜，路徑的特點體現在量子態的幾何相位中. 不少文獻已經對含時諧振子的幾何相位進行了討論[6-8],不過對絕熱近似下的Berry相位研究的多一些,對非絕熱或非循環的情況涉及不多. 在以不變算符法和格林函數法為基礎的研究中,則需要求解輔助微分方程或者參數微分方程，它們的求解往往很困難.本文結合幺正變換法和李代數法給出了1維受迫諧振子的1種簡潔求解方法,而且討論了量子態循環和非循環演化時的幾何相位.

1 受迫諧振子的量子態

(1)

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(3)

(4)

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也構成1個李代數[9],對易關系是

[Mη,Mr]=Mr, [Mη,Ml]=-Ml,

[Ml,Mr]=Mδ, [Mη,Mδ]=0

(6)

-iηMη和-i(rMr+lMl+δMδ)分別是該空間中的矢量,它們在李群中的元素是指數矩陣e-iηMη和e-i(rMr+lMl+δMδ).

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哈密頓算符式(2)的矩陣形式是

(9)

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(11)

根據表4可以得知，中國綠色經濟增長數值隨著總產出的增加而增加。而在近10年的產出中，虛值比例是逐年下降的，與10年前的虛值比1.32%相比，近三年的虛值比均未超過0.7%。產生這種現象的原因是：雖然10年以來產出和煤炭消費都呈現增長的趨勢，但是煤炭消費增長速度小于產出的增長速度，所以在此基礎上計算出來的產出的虛值比在緩慢下降。同時，在某種程度上也表明了中國近年來所采取的向綠色、環保、低碳方向發展的政策起到了一定的作用，為了創造生產總值而付出的環境成本在不斷降低。

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(15)

(16)

只要再次應用李代數的特點，由式(8)與式(16)的矩陣表示相等,可得等式:

(17)

由此我們得到

(18)

(19)

假設系統的初始態是真空態|ψ(0)〉=|0〉:

e-iδ|z(t)〉

(20)

其中第3行應用了l和r互為復共軛的關系.第4行應用了指數算符分解形式:

(21)

式(20)的最后結果是一個相干態[10],z(t)=-il*e-iωt.

2 幾何相位

在量子力學中|ψ〉和eiλ|ψ〉,只是相位不同.將一個量子系統[11]中只存在相位差別的態用希爾伯特空間中一條直線表示(如圖1中的直線),用微分幾何的語言,把它叫做纖維或者射線.量子系統從初態|ψ(0)〉開始依照薛定諤方程隨時間演化,如果經過時間T后,量子態|ψ(T)〉與|ψ(0)〉處于同一條射線上,但相位不同,在希爾伯特空間中的軌跡是一條非閉合的曲線(如圖1中上部的實線所示),那么稱之為循環演化.如果起點和終點量子態在同一條射線上,而且相位相同,那么軌跡是一條閉合曲線(如圖1中虛線所示),稱之為周期性演化.假設一個量子系統量子態遵循薛定諤方程的演化軌跡是圖1中的實線|ψ(t)〉,它在相空間P(H)中的投影是閉合曲線C.投影到C上的曲線有無窮條.希爾伯特空間中2條曲線在相空間中的投影相同,那么它們之間存在規范變換.假設圖1中曲線|ψ(t)〉和|φ(t)〉在相空間P(H)中投影都是閉合曲線C,即量子態循環演化,它們之間規范變換關系是:|ψ(t)〉=eif(t)|φ(t)〉,f(0)=f(T).若將|ψ(t)〉代入薛定諤方程中,得到

圖1 量子態演化路徑規范變換示意圖

(22)

(23)

就受迫諧振子(1)而言,如果采用不變算符法,不變算符是系統對易物理量中的一個,所以哈密頓算符的本征態可以由不變算符本征態|Ik(t)〉的規范變換得到[13],即|φk(t)〉=eiαk(t)|Ik〉.將它代入薛定諤方程,得到的因子:

(24)

根據前面關于幾何相位的論述,如果|Ik(t)〉周期性演化,即在希爾伯特空間中的軌跡是閉合曲線,那么式(24)右邊第一項代表幾何相位,第二項是動力學相位.如果僅僅是循環演化,就不能這么簡單地認定.因為對量子態|Ik(t)〉規范變換的目的是定義明確的相位αk.如同式(20)中的相位因子δ(t),反映了系統實際演化的一部分.在此基礎上再次進行規范變換,得到一條閉合路徑,才能定義式(23)中那樣的幾何相位.

幾何相位是由量子態的演化路徑決定的,循環演化中存在幾何相位,一般意義上的非循環演化,即初態和末態不在同一條射線上,也會有幾何相位.雖然不能把這種情況的幾何相位定義為式(23)右邊第一項的形式,不過可以從中找到相應的計算方法.既然其中幾何相位具有規范不變性,那么末態和初態的相位差與動力學相位的差也是規范不變的.非循環演化情況下,可以定義一個類似的規范不變量.作規范變換|ψ(t)〉→|ψ′(t)〉=eig(t)|ψ(t)〉,那么有

(25)

arg〈ψ′(t0)|ψ′(t)〉=

arg〈ψ(t)|ψ(t0)〉+[g(t)-g(t0)]

(26)

而動力學相位是

(27)

由式(26)和式(27)可知

(28)

是一個規范不變量,因而可以用來計算非循環演化時的幾何相位.可見與式(23)是相通的.

現在我們開始具體計算受迫諧振子的幾何相位.假設外力是周期性的,f(t)=sinω0t,式(20)中的相干態參數

(29)

當諧振子的振動頻率與外力的頻率之比是有理數時,|ψ(t)〉循環演化.從式(23)知道相應的幾何相位是

(30)

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