無限大非接地導體平板的靜電感應

付全紅，鄭建邦，樊元成，張富利

(西北工業大學 物理科學與技術學院, 物理實驗教學中心，陜西 西安 710129)

導體與靜電場的相互作用，即導體的靜電感應，是大學物理電磁學部分的重要內容. 深刻理解導體的靜電感應規律需要用到靜電場邊值問題的唯一性定理，但是該定理在大學物理中并未涉及，一般在物理類專業的專業基礎課“電磁學”或“電動力學”中才會涉及，因此，導體的靜電感應問題是大學物理教學中的一個難點. 在大學物理電磁學部分的教學中，通常以空腔導體和無限大導體平板的靜電感應問題作為導體靜電感應問題的教學案例. 空腔導體的靜電感應問題相對簡單，而無限大導體平板的靜電感應問題相對復雜. 盡管無限大接地導體平板的靜電感應問題是“電動力學”教材中利用電像法求解靜電場邊值問題的經典案例[1]，而且相關問題被廣泛討論[2-10]，但是無限大非接地導體平板的靜電感應問題討論較少[11]，而且缺乏嚴格的論證，甚至存在錯誤. 本文利用靜電場邊值問題的唯一性定理，嚴格分析無限大非接地導體平板的靜電感應問題，利用COMSOL多物理場仿真軟件對理論計算結果進行驗證，以糾正對無限大非接地導體平板的靜電感應問題的誤解.

1 無限大接地導體平板的靜電感應

在分析無限大非接地導體平板的靜電感應問題之前，先回顧一下“電動力學”教材中無限大接地導體平板的靜電感應問題. 如圖1所示，有一個厚度為d無限大接地導體平板，在導體平板一側距離為a處放置一個點電荷q，求空間的電場分布. 該問題是“電動力學”教材中利用電像法求解靜電場邊值問題的經典案例，其結果已為大家所熟知. 無限大導體平板將整個空間分為上、下兩部分，假設上半空間(z>0) 的電勢為φ1，下半空間(z<-d)的電勢為φ2，則電勢分布的定解問題為：

圖1 無限大接地導體平板的靜電感應

(1)

(2)

根據電像法，像電荷位于 (0, 0, -a) ，電荷量為-q，定解問題 (1) 的解為

(3)

(4)

(5)

導體平板上表面的感應電荷總量為

(6)

顯然，定解問題 (2) 的解為

φ2=0

(7)

(8)

根據電場疊加原理，點電荷q和導體平板上表面的感應電荷σ0(x,y) 在導體平板中和下半空間，即z< 0區域，產生的電場強度之和為0.

2 無限大非接地導體平板的靜電感應

若無限大導體平板未接地，如圖2所示，則不能直接利用電像法來求解. 假設導體平板帶電荷總量為Q，面積為S，電勢為φx(Q和φx并不相互獨立，若Q給定，則φx隨之確定)，上半空間 (z> 0) 的電勢為φ1，下半空間 (z< -d) 的電勢為φ2(在本問題中，雖然電荷分布在無限大區域，但是由于不涉及具體的電勢數值，所以仍然可以選擇無窮遠處為電勢零點，并不會造成電勢發散困難)，則電勢分布的定解問題為

圖2 無限大非接地導體平板的靜電感應

(9)

(10)

(11)

(12)

定解問題 (11) 與定解問題 (1) 相同，因此，它們的解也相同，即

(13)

定解問題 (12) 的解為

(14)

式中，b1和c1為待定常量.

因此，定解問題 (9) 的解為

(15)

(16)

(17)

導體平板上表面的感應電荷總量為

(18)

定解問題 (10) 的解為

φ2=b2z+c2

(19)

(20)

式中，b2和c2為待定常量.

σ下(x,y)=ε0b2

(21)

導體平板下表面的感應電荷總量為

(22)

b2=-b1

(23)

其值可由導體平板帶電荷總量來確定.

導體平板帶電荷總量為

(24)

因此

(25)

(26)

將式 (25) 和式(26)分別代入式 (16)—(18)和式(20)—(22) , 得

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

由此可見，無限大導體平板不接地時電場可以分為兩部分，一部分是導體平板接地時的電場，即

(33)

E2,1=0

(34)

另一部分是將點電荷轉移到導體平板時的電場，即

(35)

(36)

同樣，無限大導體平板不接地時的電荷分布也可以分為兩部分，一部分是導體平板接地時的電荷分布，即

(37)

Q上,1=-q

(38)

σ下,1(x,y)=0

(39)

Q下,1=0

(40)

另一部分是將點電荷轉移到導體平板時的電荷分布，即

(41)

(42)

(43)

(44)

對于有限大小非接地導體平板，只要q和場點與導體平板的距離遠小于導體平板的半徑，則電場和電荷分布的第一部分與無限大導體平板的情形相同，即式(33)、(34)、(37)—(40)仍然成立，由式(37)可知，距離無限大導體平板的中心越遠，電荷密度越小，在距離平板中心足夠遠的地方，感應電荷可以忽略；但是，電場和電荷分布的第二部分與無限大導體平板的情形差異較大，即式(35)、(36)、(41)、(43)不再成立，因為同種電荷相互排斥，電荷分布不均勻，距離有限大小導體平板的中心越遠，電荷密度越大，平板中心附近的電荷密度小于平均電荷密度；根據對稱性，E1,2和E2,2關于平板的中心面鏡像對稱，即切向分量相等，法向分量互為負矢量，式(42)、(44)、(29)、(32)仍然成立.

3 COMSOL仿真驗證

為了證明上述分析和結果正確，我們利用COMSOL多物理場仿真軟件分別從電場和電荷的角度對理論計算結果進行驗證. 由于在COMSOL軟件中，不能仿真無限大導體平板，所以我們只驗證有限大小非接地導體平板的情形. 為了更加充分地表明理論計算結果的正確性，我們采用不同的模型參數(不同的Q)分別對電場分布和電荷進行驗證，以避免出現“大數吃小數”的情況.

1) 驗證電場分布

幾何模型：點電荷用半徑為0.01 mm的帶電導體球代替；導體平板的厚度為1 mm，半徑為1 000 mm；點電荷與導體平板的距離為100 mm；模型的外邊界是半徑為10 000 mm的球面.

邊界條件：帶電導體球的表面設置為懸浮電位，電荷量為q=1 C；導體平板的表面設置為懸浮電位，電荷量為Q=100 C；模型的外邊界接地.

如前所述，對于有限大小非接地導體平板，只要q和場點與導體平板的距離遠小于導體平板的半徑，則E1,2和E2,2關于平板的中心面鏡像對稱. 因此，有限大小非接地導體平板上、下表面的電場之和為

(45)

圖3(a)表明有限大小非接地導體平板上、下表面的電場之和的仿真與理論結果完全一致；圖3(b)表明有限大小非接地導體平板下表面的電場分布不均勻，距離平板中心越遠，電場強度越大，平板中心附近的電場強度小于平均電場強度，由導體表面的邊值關系可知，這與前述的電荷分布規律一致.

圖3 有限大小非接地導體平板的電場[(a) 上、下表面的電場之和;(b) 下表面的電場. 上表面z=0,y=0；下表面z=-1 mm,y=0]

2) 驗證電荷

幾何模型：點電荷用半徑為0.01 mm的帶電導體球代替；導體平板的厚度為1 mm，半徑為1 000 mm；點電荷與導體平板的距離為100 mm；模型的外邊界是半徑為10 000 mm的球面.

邊界條件：帶電導體球的表面設置為懸浮電位，電荷量為q=1 C；導體平板的表面設置為懸浮電位，電荷量為Q=1 C；模型的外邊界接地.

在COMSOL多物理場仿真軟件中，對面電荷密度作面積分，可求得導體平板上、下表面的電荷總量分別為0.019 5 C和0.925 1 C(側面電荷總量為0.035 4 C).

由式(29)和式(32)可知，導體平板上、下表面電荷總量的理論值分別為0和1 C. 在誤差允許范圍內，仿真結果與理論計算結果一致.

電場分布和電荷的COMSOL仿真結果都表明前述分析和結果正確.

4 結論

利用靜電場邊值問題的唯一性定理，嚴格分析了無限大非接地導體平板的靜電感應問題.無限大導體平板不接地時的電場可以分為兩部分，一部分是導體平板接地時的電場，另一部分是將點電荷轉移到導體平板時的電場；同樣，無限大導體平板不接地時的電荷分布也可以分為兩部分，一部分是導體平板接地時的電荷分布，另一部分是將點電荷轉移到導體平板時的電荷分布. COMSOL多物理場仿真結果與理論計算結果一致.