“韋氏擺”振動規律研究

姜付錦，韓 燦

(1.黃陂區第一中學，湖北 武漢 430300；2. 黃陂區第三中學,湖北 武漢 430300)

1 題目(威爾伯福斯擺/韋氏擺)

如圖1所示，韋氏擺由懸掛在豎直方向的螺旋彈簧和連接在彈簧末端的物塊組成，物塊既能沿彈簧上下振動，又能繞其豎直軸旋轉. 請探究這種擺的運動行為，以及它是如何依賴于相關參數的.

圖1 韋氏擺

通過實驗，可觀察到振子時而上下振動，時而繞豎直軸左右振動，當上下振動幅度最大時，左右振動的幅度最小；當左右振動幅度最大時，上下振動的幅度最小，周而復始.

2 建立模型

圖2 彈簧的模型

圖3 彈簧絲與水平的夾角

圖4 彈簧絲的受力分析圖

根據參考文獻[1]中的思想，可以把韋氏擺等效成彈簧振子與扭擺的耦合，彈簧絲的切線與水平面不平行[2]. 設彈簧的扭轉系數為k2，彈簧的折彎系數為k1，彈簧振子的質量為m，彈簧的質量不考慮，系統繞扭轉軸的轉動慣量為I.當振子上下運動時，彈簧的軸線長度是變化的，但是考慮彈簧上下運動的距離遠小于彈簧開始時軸線長度，所以可以認為彈簧絲切線與水平面的夾角不變，彈簧產生的扭矩M=k2θ(t)，彈簧的折彎力F=k1x(t)，彈簧上下振動的位移為x(t)，左右轉動的角度為θ(t)，則系統動力學微分方程組為

(1)

(2)

2.1 歸一化研究耦合因子的作用

把式(1)、式(2)整理后得

(3)

(4)

(5)

系統的初始狀態為

x(0)=0,x′(0)=v0,θ(0)=0,θ′(0)=0

(6)

聯立式(3)、式(4)、式(6)求得:

(7)

(8)

(9)

2.2 耦合因子不同時振動規律

(10)

則有

(11)

(12)

式(11)、式(12)的解為

(13)

(14)

2.3 系統簡正頻率的研究[5]

為了進一步研究系統簡正頻率與系統物理量之間的關系，可以把式(3)、式(4)中相關系數作如下變換：

(15)

(16)

在式(15)、式(16)中令

(17)

式(15)、式(16)是二階常系數齊次線性微分方程組，具有以下形式：

x=A1ept,θ=A2ept

(18)

聯立式(15)、式(16)、式(18)，為了讓式(15)、式(16)有解，則以下行列式應為零

(19)

式(19)的解為

(20)

因為系統振動的簡正頻率為正值，所以取式(20)中兩個正值即可. 還可以發現，系統振動的兩個簡正頻率與系統的相關參數緊密相關，這與參考文獻[3]、[6]中的解析解是吻合的.

3 數值模擬

為了研究問題的方便，根據式(11)、式(12)歸一化其他物理量后，得到圖5—圖8.

圖5 c1=c2=0.4

圖6 c1=c2=0.1

圖7 c1=c2=0.03

圖8 c1=0.04,c2=0.01

4 實驗驗證

圖9所示為實驗裝置，振子內置一個6軸陀螺儀芯片且帶無線傳輸功能，振子兩邊各有一個調節螺桿，調節它可以改變振子的轉動慣量，內置芯片可以測量振子在x、y、z3個方向的加速度和角速度. 現測量彈簧的勁度系數為5.158 N/m，振子的質量為57.3 g，彈簧的匝數為41，彈簧的半徑為1.65 cm，彈簧的總長度為2.962 5 m，彈簧絲切線與水平面夾角的正弦值為tanα=0.059. 由于彈簧振子的內部結構不規則，其轉動慣量很難測量，彈簧絲的折彎系數和扭轉系數也無法測量，所以以下實驗只是一種驗證性實驗：讓彈簧振子在豎直方向上小幅度振動，把彈簧振子的實驗數據與上面的數值模擬進行比對，研究其是否能達到系統內共振.在實驗過程中彈簧振子內置芯片會把測量數據無線傳輸到電腦中，電腦利用軟件處理數據作圖，如圖10、圖11、圖12、圖13所示.

圖9 實驗裝置圖

圖10 沒有達到共振時角速度、加速度與時間關系

圖11 接近共振時角速度、加速度與時間關系

圖12 共振時角速度、加速度與時間關系

圖13 接近共振時兩個方向應力與時間關系

如圖10所示，振子的角速度是周期性變化的，當振子的角速度為最大時，振子上下振動的加速度最小但是沒有達到零，這是因為彈簧振子與扭擺的兩個耦合因子并沒有調到完全相等所導致的；若緩慢調節振子兩邊的螺桿改變其轉動慣量，可以發現系統會逐漸達到共振，這與參考文獻[1]中實驗現象是吻合的.

當系統達到共振時，拍的周期約27.647 s，包絡面內大約有40個波形，如圖11、圖12所示，利用拍的相關知識可以計算得兩個分振動的圓頻率分別為ω1=8.977 rad/s,ω2=9.204 rad/s，折彎勁度系數和扭轉勁度系數大約分別為k1=4.44 N/m,k2=5.05×10-4N·m/rad，數值模擬如圖14所示. 圖13是通過兩個應力傳感器測量彈簧在兩個方向上應力與時間的關系，可以發現當豎直加速度最大時，豎直方向應力也是最大的，當水平方向角速度最大時，水平方向上的應力也是最大的，應力與時間關系之所以不是連續變化的，是因為芯片在無線傳輸數據時有少量數據丟失以及網絡不穩定.

圖14 數值模擬角速度、加速度與時間關系

5 結語

致謝:本文中的測量電路設計和數據處理是由筆者的一位朋友——孫月明老師完成，他是一位精通電子電路和單片機設計的老師；在數學建模分析時得到了筆者的一位學生——電子工程師李文成的精心指點，在此特別感謝李文成工程師和孫月明老師對這個問題的分析與解決所付出的不懈努力！