相位型光柵的衍射及分光功能

鄒意蘊，林佳麗，盧悅媛，閻曉娜

(上海大學 理學院物理系，上海 200444)

光柵是一種重要的分光元件，它通過對入射光的振幅或相位進行調制實現分光功能，在光纖通信和分光光譜儀中具有廣泛的應用. 我們在大學的光學課程中主要學習了平面振幅型光柵的衍射，了解到光柵的分光功能是發生在高衍射級[1]. 但在平面振幅型光柵衍射中，不具備分光功能的0級衍射是最強的，它占了入射光能的很大一部分，其余光能量則分散在各高級光譜中，而實際使用光柵時往往只利用它的某一級光譜. 由于光能量分散，各級光譜強度就比較弱，這對光柵應用很不利，因此如何把衍射光能集中于某一具有分光功能的高衍射級次是實現光柵應用的關鍵. 目前常用的方法是利用閃耀光柵[2]和體全息光柵[3]. 本文提出利用相位型光柵來實現該功能. 相位型光柵是對入射光場的相位進行調制的器件，相比于振幅型光柵來說, 由于它沒有不透光縫對光的散射, 因此具有更高的衍射效率. 前期, 高華等人已討論過相位光柵的透射光譜[4]，謝莉莎等人討論了具有正弦分布的超聲相位光柵的衍射[5]，但他們是基于傅里葉變換的思想來推導衍射光場，對于沒有學習過傅里葉光學或信息光學的同學來說可能不清楚該方法隱含的物理意義，難以掌握. 通過光學課程的學習，我們已經知道衍射即是干涉，已有多人利用干涉的相干疊加思想推導了光柵的衍射，如曹馳宇等人利用矢量疊加法推導了縫寬周期性變化的光柵的衍射光強分布[6]；陳學文等人利用旋轉矢量法推導了光柵衍射公式[7]；黃時中等人利用實函數積分導出了光柵衍射[8]；張永梅利用光柵衍射是單縫衍射和多縫干涉綜合作用結果的思想推導了多圓孔的夫瑯禾費衍射[9]. 本文基于相干疊加，即復振幅疊加的思想對相位光柵的衍射公式進行推導，并研究實現光能從0級到±1級轉移的光柵參數條件.

1 相位型光柵結構及衍射場推導

圖1(a)是本文討論的透射相位型光柵及其分解圖，其中灰色部分代表相位縫, 白色部分代表透光縫. 相位縫由相位材料組成, 對入射光場引入相位. 由于相位光柵中的相位縫和透光縫對入射光都有衍射，為了簡化分析，把相位型光柵分解為純相位光柵和純振幅光柵的疊加. 其中純相位光柵只包括相位縫, 原相位光柵中的透光縫用黑色的不透光縫代替；而純振幅光柵只包括透光縫，原相位光柵中相位縫用不透光縫代替. 相位型光柵的衍射可以看作是分解后的兩個光柵衍射光場的相干疊加, 因此下面分別對兩個光柵的衍射進行推導.

圖1 相位型光柵的結構及分解后光柵的衍射

(1)

整理后得到純相位光柵在P點的復振幅為

(2)

(3)

整理后得到純振幅光柵衍射的復振幅為

(4)

純相位光柵和純振幅光柵中衍射角相同的衍射光通過透鏡后會聚到焦面上同一點P, 因此相位型光柵總的衍射場是上述兩個衍射的復振幅疊加

Ap=Ap1+Ap2

(5)

對復振幅求模值平方得到相應的衍射光強

Ip=|Ap|2

(6)

下面基于衍射光強公式研究相位型光柵的衍射.

2 相位型光柵的衍射及隨光柵參數的變化

設相位型光柵的入射光是He-Ne激光，波長為632.8 nm. 光柵常量d=a+b=2b，縫數N=5，相位層為折射率n=1.5的玻璃材料.圖2給出了相位層引入的相位φ為nπ/6，這里n=1,2,3,4,5,6(相應的厚度h分別取0.035 μm，0.070 μm，0.105 μm，0.141 μm，0.176 μm，0.211 μm)時，相位型光柵的歸一化衍射光強隨衍射角正弦的變化.

圖2 歸一化衍射光強隨衍射角正弦的變化

由圖2可見，當相位縫和透光縫寬度相等時，隨著相位層引入的相位φ的增加，0級衍射光強逐漸減小，而±1級衍射光強將逐漸增大；當φ增加到π時，0級衍射光強接近0，而±1級衍射光強達到最大值.很顯然，相位材料引入的相位φ對衍射光強有調制作用，這可由相干疊加條件來解釋.由第一節討論可知相位光柵的衍射是式(2)和式(4)所描述的兩個衍射場的相干疊加.根據雙光束相干疊加條件可知，當兩個場同相時，疊加強度為極大值；當兩個場反相時，疊加強度為極小值；若兩個場的相位差介于0和π時，疊加強度將介于極大和極小值之間[1].由式(2)和式(4)可見兩個場的相位差與φ有關，所以φ的變化對衍射強度有影響.由圖2進一步發現，±2級缺級,φ=π時±3級及高衍射級(這里未全部顯示)的衍射光強遠遠小于±1級衍射,即入射光能量大部分集中在±1級.由此可見，通過改變相位層材料引入的相位可以改變兩個疊加光場的相位差，從而實現能量從0級到1級的轉移.另外,圖2是在d=2b情況下得到了±2級缺級，可見相位型光柵的缺級條件與振幅型光柵的相同.相位型光柵±1級衍射光強大于0級，從這點來說相位型光柵性能優于振幅型光柵.

由以上討論可知,改變相位層引入的相位可以改變±1級衍射光強,下面進一步討論相位層引入的相位及光柵占空比對± 1級衍射光強影響.

定義相位型光柵± 1級的衍射效率為

(7)

其中I+1和I-1分別代表正、負一級衍射光強，二者是相等的.Ip代表相位型光柵的總衍射光強.

圖3是+1(或-1)級的衍射效率相對于相位型光柵的占空比a/b和相位層引入的相位φ之間的三維關系曲線. 由圖可見，占空比和引入的相位都對衍射效率η有影響. 當占空比過大或過小時，±1級衍射效率隨相位φ變化不明顯；對于確定的占空比，±1級衍射效率都隨相位φ的增加而增大. 當相位φ增加到 π 時，能得到最大衍射效率的占空比為1. 即當占空比為1(即相位縫和透光縫寬度相等)、相位層材料引入的相位φ為π時，±1級的衍射效率是最大的，都約為42%，為式(4)所表示的純振幅光柵±1級衍射效率的4倍. 由此可見，本文提出的相位型光柵的衍射效率是很高的.

圖3 +1(或-1)級的衍射效率隨占空比a/b和相位層引入的相位φ 的變化關系

3 相位型光柵的分光功能

根據上面的討論可知，當相位型光柵的相位縫和透光縫寬度相等、且相位層引入的相位φ= π(此時相位層厚度h=0.211 μm)時，±1級的衍射效率是最大的，下面討論在此情況下相位型光柵的分光功能.

取波長分別為632.8 nm、514.5 nm、440 nm的紅、綠、藍3種顏色的復色光入射到此厚度的相位型光柵，設光柵透光縫N=51. 圖4是復色光入射相位型光柵的衍射示意圖. 討論中假設入射時各波長的入射光強相等. 由圖可見，不同波長光的衍射位置在0級是重合的，而在±1級是不重合的，即在±1級實現了分光功能.

圖4 不同波長單色光的衍射光強分布(h=0.211 μm)

對圖4進一步研究發現，3種波長的1級衍射光強相差較大，且藍光的0級衍射比±1級衍射還大些，原因是h=0.211 μm的選擇是針對紅光而言的，對其他波長的光束來說該厚度不能滿足±1級獲得極大值條件. 為使不具有分光功能的0級衍射強度盡可能小，而使±1級衍射強度盡可能大且近似相等，下面討論如何尋找合適的相位層厚度h.

為使±1級衍射光強盡可能大，那么0級衍射光強應盡可能小. 為保證3種波長入射時的0級衍射都盡可能小，考慮使3種波長入射時0級衍射的總光強要小. 圖5是紅、綠、藍三種波長光的0級衍射光強的總和隨相位層厚度h的變化曲線.

圖5 三種波長0級衍射總光強隨相位層厚度h的變化

由圖5可見，當h=0.169 μm時0級衍射總光強得到極小值. 選擇該厚度作為相位型光柵的厚度，圖6是復色光入射該光柵時的歸一化衍射光強隨入射角正弦的變化曲線，可見3種波長光的±1級衍射光強相差不大，且遠大于0級衍射光強，此時相位光柵的分光效果是最理想的.

圖6 3種波長單色光的衍射光強分布(h=0.169 μm)

圖7 相位光柵的衍射

圖8可進一步說明兩類光柵的色散率是相同的. 圖中虛線代表相位光柵的衍射，實線代表圖1(c)所示的振幅光柵的衍射. 由圖可見，同一波長所對應的±1級極大值所在的位置是相同的.

圖8 相位光柵和純振幅光柵對3種波長單色光的衍射(虛線和實線分別代表相位光柵和振幅光柵的衍射)

4 結論

本文利用相干疊加, 即復振幅疊加的思想推導了相位型光柵的衍射光場和光強表達式. 數值模擬結果表明當光柵的占空比為1、相位層引入的相位變化為π時，具有分光功能的±1級將具有最大的衍射效率；不同波長入射時，為保證±1級衍射光強最大且近似相等，選取0級衍射總光強最小的光柵厚度. 實現的相位型光柵可以作為分光器使用.