從波動(dòng)光學(xué)角度解析彩虹

賈嘉琪，黃 振，許清瀅，吳青林

(華中師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430079)

波動(dòng)光學(xué)以光的電磁理論為基礎(chǔ)研究光的傳播規(guī)律.相比于幾何光學(xué)，波動(dòng)光學(xué)的物理模型和所得計(jì)算結(jié)果更加直觀，理論上所有用幾何光學(xué)解釋的光學(xué)現(xiàn)象都可以用波動(dòng)光學(xué)來解釋.在傳統(tǒng)的光學(xué)教學(xué)中，為了照顧學(xué)生的認(rèn)知水平，彩虹現(xiàn)象的探究大多放在幾何光學(xué)部分，運(yùn)用費(fèi)馬原理推導(dǎo)出彩虹角[1]來解釋彩虹現(xiàn)象，但除彩虹角以外的許多現(xiàn)象單單使用幾何光學(xué)是無法解釋的.在電磁學(xué)課程中，學(xué)生學(xué)習(xí)了電磁波理論、能流密度、電磁波在電介質(zhì)界面的邊界條件等知識(shí)，應(yīng)用電磁場(chǎng)的邊界條件推導(dǎo)出的菲涅耳公式可以定量計(jì)算反射和折射光強(qiáng).因而本文從光的電磁理論[2]出發(fā)，對(duì)彩虹的形成機(jī)制給出解釋，以彌補(bǔ)用幾何光學(xué)探究其現(xiàn)象時(shí)的不足之處.

1 彩虹角的幾何光學(xué)解釋

早在1637年笛卡爾就指出，彩虹是太陽光經(jīng)過空氣中的水滴折射-反射-折射后形成的[3]，如圖1所示，1為入射光線，3為折射后進(jìn)入人眼的光線.D為折射光線相對(duì)于入射光線的偏轉(zhuǎn)角，入射光線和折射光線的夾角φ就是地面上的人所看到的彩虹的視場(chǎng)角.彩虹一般出現(xiàn)在清晨或傍晚時(shí)分雨后天晴的天空，地面觀察者看到的彩虹的視場(chǎng)角約為42°. 根據(jù)幾何光學(xué)中光的反射和折射定律并結(jié)合費(fèi)馬原理可以計(jì)算出這個(gè)角度.

圖1 彩虹光路示意圖

由費(fèi)馬原理可知，實(shí)際光線對(duì)應(yīng)的光程總是取平穩(wěn)值.對(duì)于圖1所示的彩虹的光路圖，光程取平穩(wěn)值等效于偏轉(zhuǎn)角D或視場(chǎng)角φ取平穩(wěn)值.雨后天空形成彩虹的水滴尺寸約為毫米量級(jí)，可看作是理想的球形，由平面幾何知識(shí)可得空氣水滴界面的入射角、反射角和折射角與偏轉(zhuǎn)角D或視角φ的關(guān)系，如圖1所示.設(shè)入射光的波長(zhǎng)為λ，水滴的折射率為n，可得偏轉(zhuǎn)角D、視角φ隨入射角θ1之間的關(guān)系為

(1)

由式(1)可知φ與折射率n有關(guān)，太陽光可看作是由不同波長(zhǎng)的復(fù)色光組成的，水滴對(duì)不同波長(zhǎng)光的折射率及對(duì)應(yīng)的視場(chǎng)角如表1所示.

折射率n給定時(shí)，視角φ是入射角θ1的連續(xù)函數(shù)，如圖2所示，φ隨入射角θ1先增后減，在42°附近達(dá)到最大值，這就是由費(fèi)馬原理求解的彩虹角.由圖2可以定性的解釋為何人眼看到的彩虹角是42°.

圖2 視場(chǎng)角φ隨入射角θ1變化曲線

在彩虹形成過程中，可以認(rèn)為入射的太陽光是平行光線，通過Matlab[4]模擬多條平行光線入射，對(duì)同一偏轉(zhuǎn)角的出射光線計(jì)數(shù)，分析各個(gè)偏轉(zhuǎn)角處的光強(qiáng).如圖3所示，在偏轉(zhuǎn)角42～43°能量最為集中，與費(fèi)馬原理得出的結(jié)論相符.但是根據(jù)幾何光學(xué)和費(fèi)馬原理無法定量計(jì)算出光強(qiáng).為給出光強(qiáng)的具體數(shù)值，需要從波動(dòng)光學(xué)入手，應(yīng)用菲涅耳公式進(jìn)行定量計(jì)算.

圖3 Matlab模擬入射光

2 彩虹角的波動(dòng)光學(xué)解釋

在光學(xué)課程中，應(yīng)用電磁場(chǎng)的邊界條件推導(dǎo)出菲涅耳公式，可以定量計(jì)算反射和折射光強(qiáng).如圖4所示，應(yīng)用菲涅耳公式計(jì)算出射光的振幅與入射角的關(guān)系.

圖4 主虹光路圖

1)E⊥于入射面

(2)

(3)

(4)

聯(lián)立式(1)～(3), 可得

(5)

2)E∥于入射面

(6)

(7)

(8)

聯(lián)立式(5)～(7), 可得

(9)

2.1 主虹的視場(chǎng)角——彩虹角

通過代入紅橙黃綠藍(lán)靛紫七種顏色的光在水中的折射率，并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行定量計(jì)算，可以得到各種頻率的出射光s分量與p分量光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角的變化.

圖5 主虹出射光s分量光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

圖6 主虹出射光p 分量光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

將s分量和p分量相加即得總光強(qiáng)，出射光總光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角變化如圖7所示，由圖7可以看出光強(qiáng)幾乎都集中在最大偏轉(zhuǎn)角附近，無論是何種顏色的光，出射光的最大光強(qiáng)對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角都在40～42°區(qū)間中.如表2所示，各個(gè)波段出射光的光強(qiáng)最大值所對(duì)應(yīng)角度不同，隨著光波長(zhǎng)的增加，最大光強(qiáng)所對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角也會(huì)增加，且運(yùn)用波動(dòng)光學(xué)計(jì)算得到的彩虹角與幾何光學(xué)結(jié)果相同.

圖7 主虹出射光總光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

2.2 主虹顏色排列順序

依據(jù)表2將紅光與紫光的光路單獨(dú)畫出，得到圖8，可以看出白光經(jīng)過小水珠兩次折射一次反射形成了一個(gè)40～42°上紫下紅的彩色光錐.而人眼看到的彩虹顏色的順序卻是上下顛倒的，這是由于人眼的入瞳很小，可以近似將人眼看做一個(gè)點(diǎn)，每一個(gè)彩色光錐發(fā)出的光在人眼中成像需要滿足：入射光經(jīng)過水珠的偏轉(zhuǎn)角=人眼與水滴的連線和入射光的夾角.如圖9(a)所示，在任一平面內(nèi)，上方水珠出射的紅光進(jìn)入人眼，下方水珠出射的紫光進(jìn)入人眼，因此人眼所見彩虹的顏色由上至下為紅橙黃綠藍(lán)靛紫.如圖9(b)所示[5]，太陽光入射到彌漫了小水珠的環(huán)境中，對(duì)人眼而言就在視場(chǎng)角為40～42°的范圍內(nèi)看到彩虹.

表2 主虹各波段出射光的偏轉(zhuǎn)角和相對(duì)光強(qiáng)

圖8 白光經(jīng)過小水珠兩次折射一次反射

圖9 彩虹在人眼中成像的示意圖

人在地面上時(shí)，只有空中的小水珠折射光線，所以看到的都是半弧狀的彩虹.當(dāng)人在飛機(jī)或高山上觀察時(shí)，人的水平線以下也有小水珠折射光線進(jìn)入人眼，此時(shí)就可以看到完整的圓環(huán)狀彩虹了.如圖10所示[6].

圖10 高空中看到的圓環(huán)狀的彩虹

2.3 副虹

副虹也稱霓，位于主虹的外側(cè)，光路圖如圖11所示，其形成的原因和主虹相同，只是光線在水珠中的反射比形成主虹時(shí)多一次，同樣可以運(yùn)用幾何光學(xué)和波動(dòng)光學(xué)分析其原理與特征.副虹的幾何光學(xué)計(jì)算方法與主虹相同.利用電磁場(chǎng)邊界條件與菲涅耳公式，用計(jì)算機(jī)模擬得到各頻率的出射光s分量和p分量的光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角的變化，如圖12所示，兩者相加即出射光總光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角的變化，如圖14所示.

圖11 副虹光路圖

圖12 副虹出射光s分量光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

圖13 副虹出射光p分量光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

圖14 副虹出射光總光強(qiáng)隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線圖

如表3所示，幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)的計(jì)算所得的副虹彩虹角相同，通過對(duì)比主虹與副虹的偏轉(zhuǎn)角不難發(fā)現(xiàn)：主虹紫光的偏轉(zhuǎn)角最大，而副虹與之相反.故結(jié)合上文介紹的彩色環(huán)帶排序原理可知，副虹為內(nèi)紅外紫，與主虹排序相反.觀察圖10可以發(fā)現(xiàn)，此結(jié)論與生活實(shí)際觀察現(xiàn)象相符.

表3 主副虹各波段出射光的偏轉(zhuǎn)角和相對(duì)光強(qiáng)

2.4 彩虹各部分亮度分布

由上述計(jì)算結(jié)果可以看出主虹、副虹以及內(nèi)外側(cè)的光強(qiáng)分布是不均勻的，以黃色光為例，主虹最大光強(qiáng)為7.379 6，副虹的最大光強(qiáng)為1.948 5，僅為主虹的26.4%，所以副虹的亮度比主虹小得多.主虹內(nèi)側(cè)光強(qiáng)為4.477 6，副虹外側(cè)為1.977 0，比主虹內(nèi)側(cè)更暗.主虹和副虹之間光強(qiáng)為零，所以最暗，稱為Alexander 暗帶.

可以看出，副虹出射光在52°左右相對(duì)光強(qiáng)最大，是55～65°之間的光強(qiáng)的9～20倍.且副虹的最大光強(qiáng)僅為主虹最大光強(qiáng)的24.3～33.1%，所以副虹的亮度比主虹要小得多.

2.5 彩虹是偏振光

3 總結(jié)

本文闡述了幾何光學(xué)解釋彩虹角的過程，并為了對(duì)彩虹現(xiàn)象的原理與特征給予更加全面和準(zhǔn)確的解釋，從波動(dòng)光學(xué)出發(fā)，應(yīng)用菲涅耳公式定量計(jì)算了出射光強(qiáng)與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系,得到了與幾何光學(xué)結(jié)果高度吻合的彩虹角，從而給出彩虹角更加直觀的理論解釋.同時(shí)運(yùn)用出射光的光強(qiáng)結(jié)果定量地對(duì)比了主虹與副虹的光強(qiáng)大小，解釋了彩虹光的高度偏振現(xiàn)象.