有限局部環(huán)上方陣的幾種新型拓展廣義逆

吳 炎

(海南熱帶海洋學院 a.理學院；b.學報編輯部，海南 三亞572022)

0 引言

設A是環(huán)R上給定的可相似對角化的n階矩，為了方便確定矩陣A的幾種新型拓展廣義逆的計數(shù)結果，本研究限于在給定的有限局部環(huán)上討論相關問題，但除了計數(shù)結果之外，給定矩陣A的幾種新型拓展廣義逆的存在條件和表示式等結論，均可推廣到一般的局部環(huán)上。為此，設R=/pk是模整數(shù)pk的有限局部環(huán),p是一個奇素數(shù)，R*是R中可逆元的乘法群，為R的唯一極大理想，R中任一元素a均可表為用Rt×s表示R上所有t×s矩陣構成的集合,用GLn(R)表示Rn×n中所有可逆矩陣構成的n階線性群，用I(s),0(s)分別表示R上s階單位矩陣和s階零矩陣，用A⊕B表示準對角矩陣diag(A,B)。

定義1設R是有單位元1的可換局部環(huán)(對于其他環(huán)可類似定義)，A∈Rn×n，給出關于矩陣X∈Rn×n的幾個方程：

1)AtXA=As(s,t∈+)，

2)XAX=X,

2)′XtAX=Xs(s,t∈+,t>1),

3)AX=XA,

4)AX=A,

5)XA=A,

6)XA=X。

若H為矩陣A的某種拓展廣義逆構成的集合，則用n(H)表示該集合的元素個數(shù)。

矩陣廣義逆理論已經(jīng)在統(tǒng)計學、信息與計算機科學、控制論、力學等諸多方面有著直接而重要的應用。國內(nèi)學者于20世紀90年代就開始了體上和帶有對合自同構的環(huán)上矩陣廣義逆的研究[1-3],之后在矩陣廣義逆的M-P逆、D-逆等的研究方面相繼得到了一批豐碩的成果，使得矩陣廣義逆一般問題的研究變?yōu)榱吮容^基本的問題。因此,最近十幾年來,就有更多學者轉向或側重于廣義逆的相關問題的研究。譬如,聶祥榮等[4]在研究廣義Hadamard延拓矩陣奇異值分解的基礎上給出了矩陣的M-P逆;王宏興[5]則研究了矩陣廣義逆的偏序問題;文獻[6-14]卻從另外幾個不同方向去研究環(huán)(或域)上矩陣廣義逆的相關拓展問題,其中：文獻[6]研究了對角線元為冪等矩陣的上三角矩陣的數(shù)量冪等性及這類2×2上三角矩陣的廣義逆，文獻[7]利用文獻[6]的方法將文獻[6]的相關結論加以推廣，文獻[8]進一步研究了對角線元為冪等矩陣的一般形式的2×2分塊矩陣的數(shù)量冪等性，文獻[9]則繼續(xù)研究了文獻[8]中具有數(shù)量冪等性的2×2分塊矩陣的廣義逆，文獻[10-11]研究了環(huán)上矩陣廣義逆集合的子集或子半群及其性質(zhì),文獻[12-13]在有限局部環(huán)R=/pk上研究了矩陣的(t,s,i)-Ⅱ(i=4,5)型拓展廣義逆及其相關問題，而文獻[14]在復數(shù)域上徹底解決了冪零矩陣和一般方陣的(t,s)-Ⅰ型拓展廣義逆的表示問題。本研究將繼續(xù)探討有限局部環(huán)R=/pk上矩陣的(t,s,2，3)-Ⅰ型型拓展廣義逆和(t,s,i)-Ⅰ(i=2,3,4,5,6)型拓展廣義逆，并討論其計數(shù)問題，從而能夠完整、系統(tǒng)地給出了這一局部環(huán)上矩陣的(t,s,i)-Ⅰ(i=2,3,4,5,6)型拓展廣義逆的表達形式。

1 預備知識

為了下面討論方便，引入如下一些預備知識。

已經(jīng)知道，如果B∈Rn×n,且有B2=B，則有P∈GLn(R)使得

PBP-1=I(r)⊕0(n-r)

(1)

成立，其中r=rk(B)為B的真秩。

實際上，在有限局部環(huán)R上，還有一些矩陣可以對角化，如對合矩陣等。文中總假設Rn×n中矩陣A是環(huán)R=/pk上可對角化的矩陣,且存在P∈GLn(R),使得

PAP-1=V⊕D=C,

(2)

令

下面主要討論環(huán)R上滿足式(2)條件的可對角化的n階矩陣A的幾種新型拓展廣義逆。

2 方陣A的(t,s,2)-I(s≤t)型拓展廣義逆及其相關計數(shù)問題

(3)

其中：X11∈Rr×r,X22∈R(n-r)×(n-r),X12∈Rr×(n-r),X21∈R(n-r)×r且滿足

這件事到此才真相大白，但是孟導和古錢幣的故事還遠遠沒有結束。事后陸教授幫孟導鑒定了他手里剩下的5枚古錢。結果全是珍品，其中四枚都是“五十珍”里赫赫有名的逸品。陸教授口里所謂的“五十珍”，指的是古錢幣界最值錢的五十種稀有錢幣，這些錢幣大半都是短命的皇帝或者是地方政權、農(nóng)民起義時期發(fā)行的幣種，幾乎都沒來得及流通就胎死腹中了，所以存量稀少。很多種類都還只有母錢和樣錢，成品錢都沒有面世。這些存量極少，又極具歷史價值的古錢，價錢則和常見的只值個位數(shù)的古錢不在同一個次元。所以被業(yè)內(nèi)冠以“五十珍”的名號。

X11=V-1，X12D=0，X22DX21=0，X22=X21VX12+X22DX22。

(4)

證明(a)先證充分性。假設有Vt-s=I(r),Ds=0。在此條件下可以證明，適合式(4)的由式(3)所給矩陣X是存在的。因為由命題3可知方程X12D=0有解，而X21=0，X22=0顯然是同時適合式(4)中方程X22DX21=0和X22=X21VX12+X22DX22的其中一個解，于是選取適合X12D=0的矩陣X12,以及X11=V-1，X21=0，X22=0，則由這些選取的塊矩陣確定的矩陣

就是適合式(4)條件的具有式(3)形式的矩陣。

比較上面兩式得到等式AtXA=As成立。同理可證,將滿足條件(4)的式(3)中矩陣X代入等式XAX=X左右兩邊，注意式(4)中條件，也得到等式XAX=X是成立的。

由命題2及式(6)中第四式可知Ds=0。在Ds=0及s≤t之下，有Dt=Ds=0，因此式(6)中第三式和第四式都成為恒等式，這時式(6)中的第三式中X21和第四式中X22分別可選取任意(n-r)×r矩陣和任意(n-r)階矩陣，故滿足方程AtXA=As(s≤t)的矩陣X=P-1(Xsj)2×2P可表示為

其中:Ds=0;X11=(V-1)t-s+1；X12D=0；X21為任意(n-r)×r矩陣,X22為任意(n-r)階矩陣。

由于X同時滿足XAX=X和AtXA=As(s≤t),類似地，將滿足等式AtXA=As(s≤t)的式(7)中矩陣X再代入方程XAX=X兩邊并比較對應位置元，注意到X12D=0,得到

將式(8)中第一式的結果(V-1)t-s=I(r)分別代入到式(8)中第二式和第三式以及式(7)中X11=(V-1)t-s+1，得到式(8)的第二式為恒等式，第三式等價于X22DX21=0而X11=(V-1)t-s+1=V-1。于是聯(lián)立式(7)和式(8)可得到Vt-s=I(r),Ds=0,并且同時滿足方程XAX=X和AtXA=As(s≤t)的矩陣X=P-1(Xsj)2×2P可表示為

其中Xij(i,j=1,2)必滿足如下條件：

X11=V-1,X12D=0,X22DX21=0,X22=X21VX12+X22DX22。

顯然式(9)所給矩陣就是滿足式(4)條件的式(3)中矩陣。因此,命題的必要性得證。

3 方陣A的(t,s,i)-Ⅰ(i=3,4,5,6)(s≤t)型拓展廣義逆及其相關計數(shù)問題

下面僅討論A的(t,s,4)-Ⅰ型拓展廣義逆及其相關計數(shù)問題，其他結果用類似方法可得。

其中:

X11=I(r)；X12=0,DX21=0；D[I(n-r)-X22]=0。

(11)

其中:X11=I(r)；X12=0；DX21=0；D[I(n-r)-X22]=0。

故有

Vt+1=Vs,Dt+1X21=0,Dt+1X22D=Ds。

(14)

由式(14)中Vt+1=Vs有Vt-s+1=I(r);由Dt+1X22D=Ds有Ds[I(n-r)-Dt-s+1X22D]=0,由命題2可知[I(n-r)-Dt-s+1X22D]∈GLn-r(R)，于是有Ds=0，故有Dt=0(s≤t)，此時式(14)中Dt+1X21=0,Dt+1X22D=Ds均為恒等式0X21=0,0X22D=0(式中X21,X22都可任取)。因此式(14)就等價于如下條件

Vt-s+1=I(r),Ds=0,X21∈R(n-r)×r,X22∈R(n-r)×(n-r),

(15)

X21和X22都可選取。

再證充分性。若有Vt-s+1=I(r),Ds=0成立。由命題3可知DX21=0,D[I(n-r)-X22]=0均有解，且D[I(n-r)-X22]=0的解Y22=I(n-r)-X22與X22一一對應，即適合D[I(n-r)-X22]=0的X22存在，并且X22的個數(shù)與方程DY22=0的解Y22的個數(shù)一樣多。因此，利用方程D[I(n-r)-X22]=0中的X22、方程DX21=0中的解X21、X11(=I(r))和X12(=0)和構作的矩陣

是存在的，其中Xij(i,j=1,2)滿足：X11=I(r),X12=0,DX12=0,D[I(n-r)-X22]=0。

事實上，條件Vt-s+1=I(r),Ds=0得到Vt+1=Vs,Ds=0=Dt(s≤t)得到由此將式(16)中矩陣X和A=P-1(V⊕D)P代入AtXA=As(s≤t)左邊和右邊并整理，得到

由(a)的充分性論證可知，滿足式(11)條件D[I(n-r)-X22]=0的(n-r)階矩陣X22存在，且X22的個數(shù)與適合方程DY22=0(其中Y22=I(n-r)-X22)的解數(shù)Y22一樣多，因此由命題3得到

同理，由命題3，適合式(11)條件DX21=0的(n-r)×r矩陣X21存在，且

由式(18)和式(19)代入式(18)并整理就得到式(12)結果。

X=P-1(X11⊕X22)P(∈Rn×n),

(20)

4 方陣的拓展(t,s,2,3)-I型廣義逆唯一性的討論

定理4設A∈Rn×n，如果矩陣A的(t,1,2,3)-I型拓展廣義逆矩陣X(∈Rn×n)存在，那么矩陣X是唯一的。

證明由已知，若設X,Y(∈Rn×n)都是A的(t,1,2,3)-I型拓展廣義逆,也即X同時滿足如下三個方程

AtXA=A,XAX=X,AX=XA;

(21)

Y也同時滿足如下三個方程

AtYA=A,YAY=Y,AY=YA。

(22)

由式(21)中AtXA=A和XA=AX得到At+1X=A=XAt+1成立。

同理,由式(22)得到At+1Y=A=YAt+1也成立。

因此由式(21)和式(22)有

Y=YAY=Y(At+1X)Y=(YAt+1)XY=AXY=XAY=X(XAt+1)Y=XX(At+1Y)=XXA=XAX=X。

X=P-1(V-1⊕0n-r)P(∈Rn×n)。

(23)

2)下面證明必要性及A的(t,s,2,3)-I型拓展廣義逆矩陣是唯一的。

X=P-1(X11⊕X12)P(∈Rn×n)，

(24)

Vs-t=I(r)(即Vs=Vt)，且X22DX22=X22(即X22[I-DX22]=0)。

(25)

若假設X,Y都是A的(t,s,2,3)-I型拓展廣義逆矩陣，則必有下面兩式成立：

AtXA=As,XAX=X,AX=XA?At+1X=XAt+1=As,XAX=X,AX=XA,

(26)

AtYA=As,YAY=Y,AY=YA?At+1Y=YAt+1=As,YAY=Y,AY=YA。

(27)

由式(26)和式(27)中第一式左右兩邊相減得到

At+1(X-Y)=0=(X-Y)At+1,

(28)

將X-Y=P-1(Xij-Yij)2×2P及A=P-1CP代入式(29)并整理，注意到V∈GLr(R),就有

由此得到

X11-Y11=0,X12-Y12=0,X21-Y21=0,也即X11=Y11,X12=Y12,X21=Y21。

類似地，將X=P-1(Xij)2×2,P,Y=P-1(Yij)2×2P分別代入式(26)中At+1X=XAt+1=As和式(27)中At+1Y=YAt+1=As,得到

X11=Y11=Vs-t-1,X12=Y12=0,X21=Y21=0。

因此X,Y分別表示為

X=P-1(Vs-t-1⊕X22)2×2P,Y=P-1(Vs-t-1⊕Y22)2×2P,

(29)

再將式(29)中分別代入式(26)和式(27)中第二式，得到

X22[I(n-r)-DX22]=0,Y22[I(n-r)-DY22]=0,

由此及命題2得到X22=Y22=0，由上證明可知Xij=Yij(i,j=1,2),X=Y。

(責任編輯：潘姝靜)