基于非仿射隨機波動模型對波動率互換的定價

劉 策, 賈兆麗, 張夢澤

(合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230601)

金融衍生品在金融市場一直有很重要的地位,波動率衍生品是一種特殊的金融衍生品。近年來,人們對于波動率衍生品的關注度越來越高,當前金融市場最普遍的波動率衍生品就是方差互換和波動率互換。

隨機波動率模型在金融計算中起到至關重要的作用,因為它可以描述金融資產收益率的波動的時變性、波動率聚集以及杠桿效應。金融計量文獻中關于隨機波動率模型的描述很多,最著名的是Heston模型。然而,Heston模型的波動率方程包含的平方根設定,雖然可以方便得到定價解析式,但忽略了金融時間序列的非線性特征,對于標的資產價格波動的描述比較片面。

文獻[1]提出Heston隨機波動模型;文獻[2]基于變換方法,分析了3/2隨機波動模型下的資產定價問題;文獻[3]研究了Heston模型對于波動率產品的定價問題;文獻[4]關注非仿射隨機波動模型;文獻[5]運用擾動法推導出風險中性測度下的標的資產對數價格lnST的特征函數;文獻[6]對仿射和非仿射隨機波動模型在資產配置影響、期權定價以及模擬分布等方面進行了研究,得出如下結論:非仿射隨機波動模型在資產價格運動方面比傳統的仿射型隨機波動模型更好,可以使用仿射跳躍隨機波動模型;文獻[7]研究了OU隨機過程下方差互換的定價問題;文獻[8]的研究表明非仿射隨機波動模型對于宏觀經濟的重要性;文獻[9-12]表達了不同的隨機波動率模型對波動率衍生品定價的影響。

本文假設標的資產價格服從非仿射隨機波動率模型,因為非仿射隨機波動率模型的標的資產對數價格分布的特征函數偏微分方程是非線性的,所以應用擾動法,將之前的非線性微分方程轉化為線性微分方程,然后完成對離散采樣波動率互換的閉解的研究。

1 波動率互換

波動率互換是一種遠期合約,它在到期日的損益為:

(1)

(2)

其中:T為合約期限;St為[0,T]時刻內標的資產的價格。假設St在[0,T]一共被觀察了N次:t0=0≤t1

(3)

2 波動率互換的定價

2.1 模型建立

假設St表示資產價格的變動過程,它的瞬時波動率計為vt。在風險中性測度下,本文研究的非仿射隨機波動率模型的形式如下:

(4)

其中:r、k、θ、σ、γ均為正常數;r為無風險利率;k為波動率均值的回歸速度;θ為資產收益波動率的長期均值;σ為資產收益率波動的波動率;W1t和W2t為2個標準的布朗運動,它們的相關系數均為ρ。

當γ=1時,(4)式是標準的Heston模型;當γ≠1時,(4)式是非仿射隨機波動率模型。

2.2 特征函數的推導

對于特征函數,文獻[3]給出了隨機變量yt,T=lnST-lnSt(t

f(φ;t,T,v0)=EQ[ejφyt,T|y0,v0]

(5)

設當前的時間為0時刻,j為虛數單位,這個特征函數是解決本文定價問題的關鍵。本節接下來的主要任務是繼續推導這個特征函數的閉解。

首先,根據條件期望的平滑性,(5)式可以表示為:

f(φ;t,T,v0)=EQ[EQ[ejφyt,T|yt,vt]|y0,v0]

(6)

其中,0

假設(6)式內部的期望具有解的形式:g(φ;s,T,ys,vs),t≤s≤T。令τ=T-t,由Feynman-Kac定理得:

(7)

邊界條件為:

(8)

顯然,(7)式是一個非線性偏微分方程,一般情況下,很難直接求它的解析解。

文獻[5]提供了擾動法求解,可以將非線性偏微分方程轉化為線性偏微分方程,以便求解。將v(γ+1)/2和vγ在v=θ處進行一階泰勒展開,可得:

(9)

vγ≈θγ(1-γ)+γθγ-1v

(10)

將(9)式、(10)式代入(7)式,可得:

(11)

此時,(11)式是一個線性偏微分方程;接下來,對(11)式采用待定系數法求解。特征函數g(φ;s,T,ys,vs)有如下形式:

g(φ;s,T,ys,vs)=eC(τ)+D(τ)v+jφyt,T

(12)

將(12)式代入(11)式,整理得:

(13)

(14)

(13)式和(14)式是2個常微分方程,分別求解得:

C(τ)=jφrτ-

(d-g)3e-dττ-4d(d-g)(1-e-dτ)]}

(15)

(16)

若t=T,則yT,T=lnST-lnST=0。

于是,可以求出(6)式的內部期望。接下來,特征函數可變為:

f(φ;t,T,v0)=eC(τ)EQ[eD(τ)vt|v0]

(17)

不妨令h(φ;t,T,s,v0)=EQ[eD(τ)vt|v0],0≤s≤t,再由Feynman-Kac定理得:

(18)

邊界條件為:

(19)

根據文獻[1],可假設h(φ;t,T,s,v0)具有仿射形式的解:

(20)

將(20)式代入(18)式,可得:

(21)

(22)

分別求解常微分方程(21)式、(22)式,可得:

(23)

(24)

于是,特征函數f(φ;t,T,v0)中的關鍵問題都得到了解決。

最后,令s=0,對f(φ;t,T,v0)的表達式進行整理,可得:

f(φ;t,T,v0)=eC(τ)EQ[eD(τ)vt|v0]=

(25)

于是得到隨機變量yt,T=lnSt-lnST(t

2.3 定價過程

由(3)式不難發現,計算Kvol的關健是求解表達式:

(26)

根據文獻[3],波動率互換的已實現波動率(26)式為:

(27)

其中:p(yti-1,ti)為隨機變量yti-1,ti的向前密度函數;q(yti-1,ti)=eyti-1,ti-r(ti-ti-1)p(yti-1,ti)為它的概率密度函數。因此

(28)

另一方面,

(29)

再根據2.2節對特征函數的計算,得到波動率互換的定價公式，即

(30)

于是,在非仿射隨機波動率模型下,對波動率互換的定價就完成了。

3 結 論

隨機波動率模型下的金融資產的定價問題已經成為學術界的熱點,傳統的仿射型隨機波動模型雖然處理問題有許多便利之處;但實驗表明,非仿射隨機波動率模型比傳統的隨機波動模型能更好地描述資產價格的運動。基于傳統波動率模型的處理經驗,可利用擾動法將非線性偏微分方程轉化為線性偏微分方程,再進行求解,最后利用傅里葉變換的原理對波動率期權進行定價。

非仿射隨機波動率模型具有更一般的資產價格描述。未來,可以利用該模型給更多的金融資產進行定價。此外,還可以將擾動法進行改進,或將反饋原理引入到非仿射隨機波動率模型中,或在技術層面上,通過改進的擾動法的泰勒展開近似表達式,進一步提高該模型的定價性能。