基于四邊形網格均值坐標的K-2環網格曲面構造

滕一劍，李亞娟，鄧重陽

基于四邊形網格均值坐標的K-2環網格曲面構造

滕一劍，李亞娟，鄧重陽

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

曲面造型；K-2環網格；四邊形網格均值坐標；形狀控制；連續性

在計算機輔助設計中，基于控制點的方法是定義自由形式參數曲面的重要方法[1]。每個控制點與一個基函數相對應，這些基函數決定了曲面的形狀和性質。

1997年，ZHENG和BALL[2]提出在3-，5-，6-邊形區域上任意次Bézier曲面片的構造方法，滿足1連續。1999年，PIEGL和TILLER[3]提出C連續NURBS曲面的構造方法，并將其應用于填充由NURBS曲線界定的任意邊域。2001年，COTRINA等[4]提出+1次參數曲面片的構造方法，并將其應用于填充控制網格環繞的邊孔。2005年，劉浩和廖文和[5]改進了文獻[4]所提出的算法，并將其應用于C-C(Catmull-Clark)細分曲面正則部分圍成的邊域的構造和填充，實現了用流形方法構造的曲面和C-C細分曲面的融合，曲面滿足2連續。2008年，HAN等[6]基于Bézier曲線和曲面提出了Q-Bézier(Quasi-Bézier)曲線和曲面，這種新的曲線曲面構造方法不僅保留了Bézier曲線和曲面的數學性質，并且生成的曲線和曲面更逼近控制多邊形，滿足2連續的條件也比普通Bézier曲線更加靈活。同時Q-Bézier曲線設置了形狀參數，通過調整參數便可進行形狀控制。2008年，LOOP和SCHAEFER[7]提出了一種用最小的雙三次曲面集逼近Catmull-Clark細分曲面的方法，生成的曲面滿足光滑性，但邊界處僅滿足0連續。同年，LOOP和SCHAEFER[8]還提出了一種對個雙三次B樣條曲面片組成的邊形域的二階光滑填充方法。

2017年，KOVáCS和VáRADY[13]在均值坐標(mean value coordinates，MVC)[14]的基礎上利用一種新的基函數(P basis functions)構造曲線曲面，將生成的曲線曲面稱為P曲線(P-curves)和P曲面(P-surfaces)，并設置了一個全局形狀參數控制P曲線或P曲面與給定控制結構間的逼近程度。2018年，THIERY等[15]提出了四邊形網格均值坐標(quad mean value coordinates，QMVC)，這是一種應用于空間四邊形網格的特殊坐標。已有許多實例表明，對同一空間四邊形網格模型，若分別使用QMVC，MVC以及Green Coordinates[16]進行變形實驗，在使用QMVC時，強制三角剖分而引起的扭曲完全消失。

1 K-2環網格

給定一個四邊形網格，令一個四邊形面上的頂點為相關點。尋找點在四邊形網格中的所有相關點的集合1，記{1,}為點的K-1環網格。

尋找1在四邊形網格中的所有相關點的集合2，稱{2,1,}為點的K-2環網格。其中，K為頂點的度數，即K-1環網格包含四邊形的個數。圖1展示了中心點度數為6時的6-1環網格與6-2環網格。

圖1 中心點的6-1環與6-2環((a)中心點的6-1環；(b)中心點的6-2環)

2 3D四邊形網格均值坐標

之前已有的用于三角形網格的重心坐標已經得到廣泛應用并有著很好的效果。但當其應用于四邊形網格上時，例如在空間四邊形網格中使用這些坐標進行變形，就有可能導致在變形結果中出現扭曲，而文獻[15]提出的四邊形網格均值坐標解決了這一問題。

將空間四邊形網格中的四邊形稱為邊界四邊形，網格中的頂點記為={}，根據點所處位置，計算其四邊形網格均值坐標。

2.1 x在邊界四邊形面上

圖2 當x在空間四邊形網格邊界四邊形面上((a) q為平面四邊形；(b) q為非平面四邊形)

2.2 x不在邊界四邊形面上

當點不在邊界四邊形上，將每個邊界四邊形的頂點=(1,2,3,4)映射到以點為球心的單位球上，如圖3所示。并令

其中，Ni為四邊形q在點x處的法向量，qi為向量qix與向量qi+1x形成的空間夾角。

通過文獻[16]的研究，得到

可將式(1)寫為

其中，w為在每個包含頂點的四邊形內，計算點關于頂點的四邊形網格均值重心坐標，其坐標之和即為w。

3 曲面生成算法

本文提出的基于四邊形網格均值重心坐標的K-2環網格曲面構造算法，保留了四邊形網格均值重心坐標的數學性質，且與其他曲面構造算法相比，無需三角化、移除中心點，只需要將四邊形網格利用細分得到簡單的K-2環網格。算法步驟如下：

步驟1.將給定的拓撲網格細分為一個中心點的K-2環，將中心點的K-2環作為控制網格。

圖4 中心點度數N=6時的平面網格G

圖5 G中部分點的移動過程((a)點往z軸正方向移動(b)點往z軸反方向移動)

圖6 N=4時的空間四邊形網格S

可得到

曲面為

4 實例分析

在圖8～13中，(a)展示了控制網格生成的曲面；(b)展示了添加斑馬紋標記的曲面；(c)展示了高斯曲率圖，通過(b)和(c)可觀察到本文生成曲面具有良好的光滑性。圖8展示了=5時的控制網格生成的曲面，中心點向上凸起，曲率變化較大時斑馬紋依舊保持光滑。圖9和10展示了=6,7時的控制網格生成的曲面，可以看出，曲面與控制網格的逼近程度很高，在網格有較大角度的彎折時，斑馬紋也十分光滑，曲率也未發生振蕩。圖11～13展示了=8,10,10時的控制網格生成的曲面。當中心點度數增加且控制網格更不規則時，曲面依舊十分光滑，斑馬紋未出現扭曲折疊。

圖14為本文曲面構造方法與C-C (Catmull-Clark)細分曲面構造方法在同一控制網格上生成的曲面對比，其中圖14(a1)，(b1)和(c1)所示為本文算法所生成的曲面圖、曲率圖和曲率局部放大圖；圖14(a2)，(b2)和(c2)所示為C-C細分所生成的曲面圖、曲率圖和曲率局部放大圖。從局部放大的曲率圖中可以觀察到，如圖14(c2)所示，通過迭代5次的C-C細分生成的曲面在局部會出現振蕩，而本文方法生成的曲面曲率圖如圖14(c1)所示，其中不同顏色之間過渡自然，未出現突變。且由生成的曲面可以看出，文本算法生成的曲面更加逼近控制網格。

圖7 取不同全局形狀因子h值時生成的曲面

圖8 當N=5時的控制網格及曲面((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標記；(c)高斯曲率圖)

圖9 當N=6時的控制網格及曲面((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標記；(c)高斯曲率圖)

圖10 當N=7時的控制網格及曲面((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標記；(c)高斯曲率圖)

圖11 當N=8時的控制網格及曲面((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標記；(c)高斯曲率圖)

圖12 當N=10時的控制網格及曲面模型1 ((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標記；(c)高斯曲率圖)

圖13 當N=10時的控制網格及曲面模型2 ((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標記；(c)高斯曲率圖)

圖14 相同控制網格生成的曲面對比((a)曲面及控制點；(b)高斯曲率圖；(c)局部放大高斯曲率圖)

5 結束語

[1] FARIN G E. Curves and surfaces for CAGD[M]. 5th ed. San Francisco: Margan Kaufmann, 2002: 1-499.

[2] ZHENG J J, BALL A A. Control point surfaces over non-four-sided areas[J]. Computer Aided Geometric Design, 1997, 14(9): 807-821.

[3] PIEGL L A, TILLER W. Filling N-sided regions with NURBS patches[J]. The Visual Computer, 1999, 15(2): 77-89.

[4] COTRINA J, PLA N, VIGO M. H-Sided patches with B-spline boundaries[R]. Politècnica de Catalunya: Universitat Politècnica de Catalunya, 2001.

[5] 劉浩, 廖文和. 用C-C細分法和流形方法構造G2連續的自由型曲面[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2005, 17(4): 644-650.

LIU H, LIAO W H. Modeling G2continuous free-form surfaces by C-C subdivision method and manifold method[J]. Journal of Computer Aided Design & Computer Graphics, 2005, 17(4): 644-650 (in Chinese).

[6] HAN X, MA Y C, HUANG X L. A novel generalization of Bézier curve and surface[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 217(1): 180-193.

[7] LOOP C, SCHAEFER S. Approximating Catmull-Clark subdivision surfaces with bicubic patches[J]. ACM Transactions on Graphics, 2008, 27(1): 1-11.

[8] LOOP C, SCHAEFER S. G2Tensor product splines over extraordinary vertices[J]. Computer Graphics Forum, 2008, 27(5): 1373-1382.

[9] YAN L L. Modifiable composite curves and surfaces with automatic smoothness[J]. Journal of Information and Computational Science, 2014, 11(17): 6359-6367.

[10] VáRADY T, SALVI P, KARIKó G. A multi-sided bézier patch with a simple control structure[J]. Computer Graphics Forum, 2016, 35(2): 307-317.

[11] 唐月紅, 李森, 劉浩, 等. 細分曲面奇異點處的光滑過渡[J]. 應用數學進展, 2017, 6(9): 1163-1173.

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[12] VáRADY T, SALVI P, KOVáCS I. Enhancement of a multi-sided Bézier surface representation[J]. Computer Aided Geometric Design, 2017, 55: 69-83.

[13] KOVáCS I, VáRADY T. P-curves and surfaces: parametric design with global fullness control[J]. Computer-Aided Design, 2017, 90: 113-122.

[14] FLOATER M S, KóS G, REIMERS M. Mean value coordinates in 3D[J]. Computer Aided Geometric Design, 2005, 22(7): 623-631.

[15] THIERY J M, MEMARI P, BOUBEKEUR T. Mean value coordinates for quad cages in 3D[J]. ACM Transactions on Graphics, 2019, 37(6): 1-14.

[16] LIPMAN Y, LEVIN D, COHEN-OR D. Green coordinates[J]. ACM Transactions on Graphics, 2008, 27(3): 1-10.

Construction of K-2 ring mesh surface based on quad mean value coordinates

TENG Yi-jian, LI Ya-juan, DENG Chong-yang

(School of Science, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou Zhejiang 310018, China)

surface modeling; K-2 ring mesh; quad mean value coordinates; shape control; continuity

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021050784

A

2095-302X(2021)05-0784-06

2021-02-05；

2021-04-05

5 February，2021；

5 April，2021

國家自然科學基金項目(61872121，6191101102)

National Natural Science Foundation of China (61872121, 6191101102)

滕一劍(1996-)，男，浙江金華人，碩士研究生。主要研究方向為CAGD和CG。E-mail：t_yj0817@163.com

TENG Yi-jian (1996-), male, master student. His main research interests cover CAGD and CG. E-mail：t_yj0817@163.com

鄧重陽(1976-)，男，湖南隆回人，教授，博士。主要研究方向為CAGD和CG。E-mail：dcy@hdu.edu.cn

DENG Chong-yang (1976-), male, professor, Ph.D. His main research interests cover CAGD and CG. E-mail：dcy@hdu.edu.cn