基于GIMT和弧長參數(shù)化的QG-Ball曲線近似合并

胡先智，梁 艷，呂 丹，胡 鋼

基于GIMT和弧長參數(shù)化的QG-Ball曲線近似合并

胡先智1，梁 艷2,3，呂 丹4，胡 鋼4

(1. 西安理工大學信息化管理處，陜西 西安 710048；2. 西安交通大學電子與信息工程學院，陜西 西安 710049；3. 西安思源學院理工學院，陜西 西安 710038；4. 西安理工大學理學院，陜西 西安 710054)

曲線近似合并作為CAGD中復雜曲線設計的一種有效技術，一直備受學者們的關注，并在CAD/CAM領域得到了廣泛的應用。針對現(xiàn)有帶形狀參數(shù)的廣義Ball曲線難以合并的問題，提出了一種基于廣義逆矩陣理論(GIMT)和弧長參數(shù)化的QG-Ball曲線近似合并方法。首先，利用曲線近似弧長參數(shù)化算法計算出QG-Ball曲線弧長等分對應的配置點列(亦稱等分點)和配置點參數(shù)值；其次，基于所得等弧長配置點列及其參數(shù)值，再結合廣義逆矩陣理論和曲線擬合方法，便可以直接得到計算合并后QG-Ball曲線控制頂點的一個顯式表達式；最后，利用連續(xù)函數(shù)的L2范數(shù)定義了一個度量曲線合并效果的誤差計算公式，并給出了一些具有代表性的數(shù)值算例及其合并誤差。實例結果表明，所提出的方法可以高效地實現(xiàn)QG-Ball曲線的近似合并，不僅易于操作、誤差計算簡單，而且能方便地推廣到其他曲線的近似合并。

QG-Ball曲線；形狀參數(shù)；近似合并；廣義逆矩陣；弧長參數(shù)化

Ball曲線曲面是由Ball基函數(shù)構造的自由型參數(shù)曲線曲面，由于具有獨特、優(yōu)良的性質使其成為了CAD中表示曲線和曲面的最重要方法之一。1974年，英國數(shù)學家BALL[1]首次構造一種有理三次Ball曲線，并將其作為CONSU RF機身CAD造型系統(tǒng)的數(shù)學基礎。Ball曲線有著與Bézier曲線類似的性質，如對稱性、凸包性、端點插值性、幾何不變性等。此外，相比Bézier曲線而言，廣義Ball曲線還具有如下優(yōu)點[2]：①在曲線遞歸求值以及升降階的計算速度方面，明顯優(yōu)于Bézier曲線；②比Bézier曲線更適合曲線次數(shù)的提高；③Ball曲線退化為低一階曲線的條件比Bézier曲線要簡單、易判斷。因此，Ball曲線曲面具有比Bézier曲線曲面更為廣泛地應用價值，并受到了國內(nèi)外學者的廣泛關注[3-8]。

Ball模型在給定其控制頂點(或控制網(wǎng)格)后，其形狀就被唯一確定了，若要修改自身形狀則必須調整其控制頂點(或網(wǎng)格)。有理Ball方法通過引入權因子，不改變控制頂點(或控制網(wǎng)格)，由權因子可調整曲線曲面形狀。但是，有理Ball曲線曲面同樣存在缺陷，如權因子如何選取、求導次數(shù)增加、求積分不方便等[9]。為了增強Ball方法的形狀可調性和逼近性，文獻[10-15]研究了推廣的Ball曲線曲面，分別提出了含形狀參數(shù)的廣義Ball曲線曲面。其中，文獻[15]構造的四次廣義Ball曲線作為一種新穎的Ball曲線模型，其含有2個形狀控制參數(shù)，具有較好的形狀可調性。進一步，文獻[16-17]分別研究了文獻[15]中四次廣義Ball曲線和曲面的分割算法。

然而，在CAD/CAM的系統(tǒng)中曲線的近似合并是經(jīng)常遇到的棘手問題[18]。近似合并能夠有效減少產(chǎn)品設計與開發(fā)中的數(shù)據(jù)傳輸量，使得數(shù)據(jù)傳輸與交換可以在不同的CAD/CAM系統(tǒng)中實現(xiàn)。曲線的近似合并作為CAGD領域一個重要的研究內(nèi)容，多年來備受國內(nèi)外學者關注，并在Bézier和B樣條曲線曲面近似合并方面取得了一些研究成果[19-23]。令人遺憾的是，關于帶形狀參數(shù)的廣義Ball曲線的近似合并問題卻一直未被解決。為此，本文結合廣義逆矩陣理論、近似弧長參數(shù)化及曲線擬合方法，研究了文獻[15]中四次廣義Ball曲線的近似合并問題，提出了該曲線的一種有效合并方法。

1 QG-Ball曲線的定義

定義1.給定4個平面或空間控制頂點向量(=0,1,2,3)，對?[0,1]和,?[-2,4]，定義的曲線稱為帶形狀參數(shù),的四次廣義Ball (quartic generalized Ball，QG-Ball)曲線[1]，(簡稱為QG-Ball曲線)為

其中，四次廣義Ball基函數(shù)b,3(;,) (=0,1,2,3)的定義為

顯然，當==0時，四次廣義Ball基函數(shù)退化為三次Ball基函數(shù)，QG-Ball曲線退化為傳統(tǒng)三次Ball曲線。根據(jù)式(1)和(2)，可以推出QG-Ball曲線具有與三次Ball曲線類似的優(yōu)良幾何性質，如凸包性、對稱性、仿射不變性及變差縮減性等。

2 等弧長求解配置點

假設QG-Ball曲線的參數(shù)方程為(;,)= {(),()}，則該曲線自身弧長的計算式為

采用文獻[24]中近似弧長參數(shù)化方法對QG-Ball曲線弧長進行均勻劃分，計算出曲線上等弧長對應的一系列配置點(即等分點)及其配置點參數(shù)值。近似弧長參數(shù)化方法的基本步驟為：

步驟1. 根據(jù)式(3)計算QG-Ball曲線在區(qū)間[0,1]上的總弧長，選取弧長等分數(shù)，則每一小段曲線弧長為=/。

步驟2. 假設QG-Ball曲線弧長等份后的配置點為0=0,1,···,-1,=，其對應的配置點參數(shù)值為0=0,1,···,t-1,t=1。

步驟3. 構造如下-1個非線性方程

綜上，運用上述弧長參數(shù)化方法，任意取定等分數(shù)，便可計算出QG-Ball曲線等弧長對應的配置點列和配置點參數(shù)值。

圖1給出了QG-Ball曲線等弧長求解配置點的數(shù)值例子。并對帶不同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線弧長進行了4等分，利用上述等弧長參數(shù)化方法簡單高效地計算出其配置點列及配置點參數(shù)值，圖中標記的黑點為離散出的配置點。表1給出了圖1中所有曲線弧長4等分對應的配置點參數(shù)值。圖2分別給出了QG-Ball曲線弧長5等份和8等份時求配置點和配置點參數(shù)值的例子。圖中，曲線弧長5等分和8等份對應的配置點參數(shù)值分別見表2和3，QG-Ball曲線的形狀參數(shù)取值為==0,1,2,3 (自下而上)。

圖1 QG-Ball曲線弧長4等分求解配置點

表1 圖1中QG-Ball曲線弧長4等分時配置點參數(shù)取值

圖2 QG-Ball曲線弧長5等分和8等分求解配置點

表2 圖2(a)中QG-Ball曲線弧長5等分時配置點參數(shù)取值

表3 圖2(b)中QG-Ball曲線弧長8等分時配置點參數(shù)取值

3 相鄰QG-Ball曲線的近似合并

3.1 不保端點的近似合并

設以0,1,2,3,和0,1,2,3,為控制頂點的相鄰QG-Ball曲線分別為(;1,1)和(;2,2)，擬近似合并成另一條QG-Ball曲線，即

其中，=1+(1-t)2,=1+(1-t)2；(=0,1,2,3)為合并后曲線的控制頂點。本文求解合并曲線的算法步驟如下：

步驟1. 基于上述等弧長參數(shù)化方法，將曲線(;1,1)在區(qū)間[0,1]的弧長上進行1等分，并計算出相應的配置點參數(shù)值u(=0,1,···,1)；類似地，計算出曲線(;2,2)當其曲線弧長2等分時對應的配置點參數(shù)值(=0,1,···,2)，這里1與2均為大于或等于3的正整數(shù)。從而，得到待合并曲線(;1,1)上的1+1個點(u) (=0,1,···,1)和曲線(;2,2)上的2+1個點(v) (=0,1,···,2)。

假設

并令合并后的QG-Ball曲線(;,) (其控制頂點待求)滿足

步驟3.將式(8)轉化成矩陣乘積的形式，即

其中，=1+2+1。

因為b,3(;,)(=0,1,2,3)為一組線性無關的四次廣義Ball基，同時參數(shù)t(=0,1,···,1+2+1)中至少有4個參數(shù)取值不同，所以矩陣是一個列滿秩矩陣，且根據(jù)文獻[25]中的廣義逆矩陣理論(general inverse matrix theory，GIMT)可得向量超定方程組式(9)的最小二乘解為

式(10)給出了計算合并曲線(;,)控制頂點的一個顯式表達式。

步驟4.將上述步驟所得合并曲線的形狀參數(shù),和控制頂點(=0,1,2,3)代入曲線方程式(1)即可得合并曲線(;,)。

3.2 保端點的近似合并

基于3.1節(jié)方法，本節(jié)進一步研究QG-Ball曲線保端點插值的近似合并。在不保端點插值情形下，待合并曲線(;1,1)的左端點和曲線(;2,2)的右端點與合并曲線(;,)的兩端點并沒有重合。在曲線外形設計時，有時需要合并后QG-Ball曲線(;,)分別插值于曲線(;1,1)的左端點和曲線(;2,2)的右端點，該合并方式稱為保端點插值的近似合并。為了滿足曲線保端點插值近似合并的需求，結合QG-Ball曲線的端點性質

將式(11)代入式(8)中，可將式(8)重新寫成矩陣乘積形式，即

從而計算出保端點插值條件下合并曲線的控制頂點1和2，結合式(11)即可得到合并曲線(;,)的所有控制頂點。

4 實例與結果分析

4.1 數(shù)值實例

實例1.假設0(0,0)，1(0.2,0.35)，2(0.4,0.45)和3(0.6,0.38)為待合并曲線(;1,1)的控制頂點，而待合并曲線(;2,2)的控制頂點為0(0.6,0.38)，1(0.8,0.3)，2(0.85,0.25)和3(0.95,0)。本例中，待合并曲線(;1,1)和(;2,2)分別用紅色與綠色實曲線表示，相應的控制多邊形采用虛折線表示。合并后的曲線(;,)用黑色虛線表示，其控制多邊形用黑色實線表示。

利用不保端點合并方法將2相鄰曲線合并成另一條QG-Ball曲線(;,)，這里細分參數(shù)由式(7)來確定。圖3～4分別給出了當形狀參數(shù)相同和不同時相鄰曲線的合并實例。從圖3～4中的近似合并結果來看，本文中的不保端點近似合并方法取得了很好的合并效果。表4給出了圖3～4中合并曲線的控制頂點。

實例2.假設曲線(;1,1)的控制頂點為0(0,0.1)，1(0.10,0.50)，2(0.25,0.48)，3(0.5,0.38)，而另一條待合并曲線(;2,2)的控制頂點坐標為0(0.5,0.38)，1(0.72,0.28)，2(0.9,0.3)，3(1,0.5)。圖5～6分別給出了當形狀參數(shù)相同和不同時相鄰QG-Ball曲線的保端點插值合并實例。在圖5～6中，待合并曲線(;1,1)和(;2,2)分別用紅色與綠色實曲線表示，其控制多邊形則分別采用與曲線顏色相同的虛折線表示；近似合并后的曲線(;,)用黑色虛線表示，其控制多邊形為黑色實線。表5給出了圖5～6中合并曲線(;,)的控制頂點。從圖5～6的合并結果來看，本文保端點插值情形下的近似合并方法同樣取得了不錯的合并效果。

實例3.假設待合并曲線(;1,1)的控制頂點坐標為0(0.05,0.70)，1(0.13,0.76)，2(0.20,0.77)和3(0.32,0.73)，而曲線(;2,2)的控制頂點坐標分別為0(0.32,0.73)，1(0.56,0.65)，2(0.62,0.15)和3(1.00,0.10)。圖7給出了當形狀參數(shù)相同時QG-Ball曲線保端點插值近似合并的實例，在圖7中，2相鄰待合并曲線在合并點處滿足1光滑連續(xù)。圖8則給出了當形狀參數(shù)不同時QG-Ball曲線的保端點插值合并實例，圖8中相鄰待合并曲線在合并點處滿足C1連續(xù)。

圖3 帶相同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線的不保端點近似合并，待合并曲線滿足C0連續(xù)

圖4 帶不同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線不保端點合并，待合并曲線滿足C0連續(xù)

表4 圖3～4中不保端點插值時合并曲線的控制頂點

圖5 帶相同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線保端點插值的近似合并，待合并曲線滿足C0連續(xù)

在圖7～8中，待合并曲線(;1,1) (M型曲線)和(;2,2) (S型曲線)分別用紅色與綠色實曲線表示，其控制多邊形則分別采用與曲線顏色相同的虛折線表示；近似合并后的曲線(;,)用黑色虛線表示，其控制多邊形為黑色實線。表6給出了圖7～8中合并曲線(;,)的控制頂點。從圖7～8中的合并效果來看，當合并曲線形狀相差比較大時本文保端點插值情形下的近似合并方法也能取得不錯的合并效果。

4.2 誤差分析

為了驗證文中所提出方法的近似合并效果，本文定義一種與文獻[20]類似的近似合并誤差公式。如前所述，式(7)中定義的細分參數(shù)為開區(qū)間(0,1)中的一個常數(shù)，分割點(;,)可將合并曲線(;,)分割為左右2段子曲線，且分別記為left(;,)和right(;,)，則有

其中，?[0,1]。通常，連續(xù)函數(shù)的2范數(shù)被用來測量不同參數(shù)曲線之間的距離[26]，為此利用2范數(shù)定義如下的誤差公式來度量或評價合并曲線(;,)與待合并曲線(;1,1)和(;2,2)之間的合并效果，即

顯然，通過積分換元可將誤差公式轉化為

其中，運算符為向量函數(shù)的L2范數(shù)。式(15)和(16)的幾何意義為：合并曲線與2相鄰待合并曲線之間的“距離”(注：該距離是由向量函數(shù)的L2范數(shù)來度量的)被用來定義其之間的合并誤差。顯然，式(15)和(16)中的合并誤差公式可以較好地評價本文方法近似合并的效果。

表5 圖5～6中保端點插值時合并曲線的控制頂點

圖7 帶相同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線保端點插值的近似合并，待合并曲線滿足G1連續(xù)

圖8 帶不同形狀參數(shù)的QG-Ball曲線保端點插值的近似合并，待合并曲線滿足C1連續(xù)

表6 圖7～8中保端點插值時合并曲線的控制頂點

表7給出了圖3～8中數(shù)值實例的近似合并誤差。顯然，本文方法在不保端點和保端點插值的情形下均可獲得較小的近似合并誤差，結果和主觀視覺評價是一致的。數(shù)值實驗結果表明本文方法可以有效地實現(xiàn)QG-Ball曲線的合并逼近。

表7 圖3～8中實例的近似合并誤差

5 結 論

基于QG-Ball曲線基本理論，針對該曲線難以合并的問題，提出了一種基于廣義逆矩陣理論和弧長參數(shù)化的QG-Ball曲線近似合并方法。本文方法不僅可以直接得到計算合并曲線控制頂點的一個顯式表達式，還給出了合并誤差的具體計算公式。數(shù)值算例結果表明，本文方法可以高效地實現(xiàn)QG-Ball曲線的近似合并，不僅易于操作且誤差計算簡單，并方便推廣到其他類型曲線的合并，如文獻[27-28]中的高次帶參SG-Bézier曲線的近似合并。另外，如何選擇最優(yōu)細分參數(shù)以及實現(xiàn)QG-Ball曲面的近似合并等，是值得今后進一步研究的課題。

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Approximate merging of QG-Ball curves using GIMT and arc-length parameterization

HU Xian-zhi1, LIANG Yan2,3, LYU Dan4, HU Gang4

(1. Division of Informationize Management, Xi’an University of Technology, Xi’an Shaanxi 710048, China; 2. School of Electronics and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi 710049, China; 3. School of Technology, Xi’an Siyuan University, Xi’an Shaanxi 710038, China; 4. School of Science, Xi’an University of Technology, Xi’an Shaanxi 710054, China)

As an effective technique for the design of complex curve, approximate merging has generated much attention from scholars and been in wide use in CAD/CAM. To address the difficulty in merging generalized Ball curves with parameters, this paper proposed a new method for the approximate merging of QG-Ball curves based on generalized inverse matrix theory (GIMT) and arc-length parameterization. Given two QG-Ball curves, we first calculate a sequence of equal arc-length parameters of the QG-Ball curves by using approximate arc-length parameterization algorithm; Based on the sequence of parameters GIMT, and curve fitting algorithm, an explicit expression was presented to calculate the control points of approximate merged QG-Ball curve. To verify the effectiveness of the method, numerical examples were provided and the merging errors were discussed. The experimental results show that the proposed method not only can efficiently realize the approximate merging of QG-Ball curves, which is of high operability and easy for error calculation, but also can be extended to other curves conveniently.

quartic generalized Ball curves; shape parameter; approximate merging; general inverse matrix; arc-length parameterization

TP 391.4

10.11996/JG.j.2095-302X.2021050790

A

2095-302X(2021)05-0790-11

2021-02-23；

2021-04-02

23 February，2021；

2 April，2021

國家自然科學基金項目(51875454)；陜西省教育廳專項科學研究計劃項目(19JK0686)

National Natural Science Foundation of China (51875454); Special Scientific Research Project of Shaanxi Provincial Department of Education (19JK0686)

胡先智(1978–)，男，湖北麻城人，工程師，碩士。主要研究方向為數(shù)據(jù)挖掘、圖形圖像處理。E-mail：huxianzhi@xaut.edu.cn

HU Xian-zhi (1978-), male, engineer, master. His main research interests cover data mining and graphics. E-mail：huxianzhi@xaut.edu.cn