一種兩自由度5R平面高速并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)性能及動(dòng)力學(xué)分析*

趙 威 姜桂林

(①常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164；②上海市農(nóng)業(yè)機(jī)械研究所，上海 201106)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有剛度大、精度高、承載能力強(qiáng)、無累積誤差等優(yōu)點(diǎn)得到廣泛研究和應(yīng)用。設(shè)計(jì)時(shí)，人們總是期望并聯(lián)機(jī)構(gòu)具備良好的工作空間大小和形狀，以適用于特定的工作場合。除了工作空間，奇異性和各向同性是也衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的重要指標(biāo)。對于平面并聯(lián)運(yùn)動(dòng)機(jī)器人，盡管結(jié)構(gòu)簡單，但機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化是一項(xiàng)較為復(fù)雜的過程，目前仍是工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域值得關(guān)注的主題[1-2]。

平面兩自由度(DOF)并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式較多，其中應(yīng)用最多的是平面 5R 機(jī)構(gòu)(R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副)。劉辛軍對平面 5R 機(jī)構(gòu)進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，解決了其工作空間、位置奇異以及運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)問題[3]；張立杰全面分析了平面 5R 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，并進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)[4]；張耀欣從機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定以及軌跡跟蹤等方面對平面 5R機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究[5]。文獻(xiàn)[6]采用數(shù)值法和幾何法分析了機(jī)構(gòu)的奇異性；文獻(xiàn)[7-8]分析了兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各向同性以及各個(gè)方向上機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)靜力特征。

本文在傳統(tǒng)5R機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)1種驅(qū)動(dòng)桿同軸的2-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)，使機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)上更加簡潔，運(yùn)動(dòng)性能更好。文中根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)行學(xué)方程，分析了其工作空間、奇異位形以及雅可比條件數(shù)等運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)，以各向同性為目標(biāo)得到機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)；根據(jù)虛功原理建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程，通過數(shù)值模擬并得到機(jī)構(gòu)速度、加速度和驅(qū)動(dòng)力矩等相關(guān)曲線圖。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

平面5R并聯(lián)機(jī)器人是平面2自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的典型代表，其在并聯(lián)領(lǐng)域中，自由度最少，結(jié)構(gòu)簡單，單閉環(huán)，有較好的工作空間和靈活度，易于控制，便于實(shí)際應(yīng)用，且能實(shí)現(xiàn)平面上任意軌跡。常見的平面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型如圖1a所示，由5根桿組成，由兩條RRR支鏈組成，驅(qū)動(dòng)副與靜平臺相連于O1、O2處，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺收縮成一點(diǎn)P。當(dāng)O1、O2重合布置時(shí)，即驅(qū)動(dòng)副同軸，如圖1b所示。此時(shí)，機(jī)構(gòu)的工作空間達(dá)到最大，且機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊、占地空間小。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在圖1b中O點(diǎn)處建立坐標(biāo)系O-xy，x軸水平向右，y軸豎直向上，則機(jī)器人執(zhí)行末端的坐標(biāo)可表示為P(x，y)。A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：

(1)

根據(jù)圖1b中各桿的矢量關(guān)系，可得

s=l1iai+l2ibi(i=1,2)

(2)

式中：s表示P點(diǎn)的位置矢量，ai、bi分別為驅(qū)動(dòng)桿OA、OB和從動(dòng)桿AP、BP的單位矢量，l1i、l2i分別為主動(dòng)桿和從動(dòng)桿的桿長。

由式(2)可得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(3)

2.1 位置正反解

根據(jù)方程(3)，給定P點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，可得驅(qū)動(dòng)角度θ1、θ2的方程表達(dá)式：

misinθi+nicosθi+ηi=0 (i=1,2)

(4)

由此可求解機(jī)構(gòu)的逆解方程為

(5)

若給定驅(qū)動(dòng)角度θ1、θ2，方程(4)可轉(zhuǎn)化為

x2+y2+six+tiy+λi=0

(6)

式(6)為二元二次方程組，可求得運(yùn)動(dòng)正解，即執(zhí)行末端的位置方程x、y。

2.2 雅可比矩陣

對式(3)兩邊求導(dǎo)，可得

(7)

式中：Jq、Jφ分別為執(zhí)行器末端雅可比矩陣和驅(qū)動(dòng)雅可比矩陣，其中

當(dāng)Jq≠0時(shí)，由式(7)可得

(8)

3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能分析

3.1 奇異性分析

機(jī)構(gòu)的奇異狀態(tài)可通過速度雅可比矩陣Jφ和Jq進(jìn)行判斷。

當(dāng)行列式det(Jφ)=0，且det(Jq)≠0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生逆解奇異，此時(shí)有兩種可能性：桿OA與桿AP共線，或桿OB與桿BP共線。

當(dāng)行列式det(Jq)=0，且det(Jφ)≠0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生正解奇異，此時(shí)有四種可能性：桿AP處于水平位置或豎直位置，或桿BP處于水平位置或豎直位置。

由于本機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣的秩和任務(wù)空間維數(shù)相同，避免了機(jī)構(gòu)可能發(fā)生的內(nèi)部奇異。在滿足幾何條件的情況下，機(jī)構(gòu)具有完全各向同性。

3.2 工作空間

工作空間的約束包括桿長約束和角度約束，本機(jī)構(gòu)工作空間主要取決于驅(qū)動(dòng)角度和四桿桿長約束。根據(jù)文獻(xiàn)[9]，對于5R兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)兩驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)副同軸時(shí)，工作空間達(dá)到最大。為了便于分析，令l11=l21=a，l12=l22=b，這種結(jié)構(gòu)各向同性的幾何條件是從動(dòng)桿相互垂直AP⊥BP，即α=90°。此時(shí)，各向同性的工作空間是以O(shè)為圓心、OP為半徑形成的同心圓如圖3所示，其區(qū)域半徑為：

(9)

3.3 雅可比條件數(shù)

通常，雅可比條件數(shù)被用來描述機(jī)器人的靈活性，可描述為雅可比矩陣奇異值的最大值和最小值之比

(10)

式中：σmin、σmax分別為雅可比矩陣最小、最大奇異值。當(dāng)cond(J)=1時(shí)，最大奇異值和最小奇異值相等，機(jī)器人處于各向同性，此時(shí)機(jī)構(gòu)靈活度最高。

4 動(dòng)力學(xué)分析

4.1 速度分析

令主動(dòng)臂長l11=l21=l1，從動(dòng)臂長l12=l22=l2，由式(8)可得機(jī)構(gòu)主動(dòng)臂質(zhì)心的角速度矢量表達(dá)式

ω1i=Jivp

(11)

故驅(qū)動(dòng)臂質(zhì)心的線速度可表達(dá)為

(12)

對矢量方程(2)兩邊求導(dǎo)，可得機(jī)構(gòu)執(zhí)行末端P點(diǎn)的速度矢量表達(dá)式

vp=l1ω1i×ai+l2ω2i×bi

(13)

對式(13)兩側(cè)同時(shí)點(diǎn)乘ai，消去矢量ω1i，可得

aivp=l2ω2i(bi×ai)

(14)

由式(14)可得從動(dòng)臂質(zhì)心的角速度為

(15)

由于從動(dòng)臂的末端即機(jī)構(gòu)的執(zhí)行末端P點(diǎn)，故從動(dòng)臂質(zhì)心的線速度可表達(dá)為

(16)

4.2 加速度分析

分別對式(11)、(12)兩邊求導(dǎo)，可得驅(qū)動(dòng)臂質(zhì)心的角加速度和線加速度分別為

(17)

(18)

對式(13)兩邊求關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可得

(19)

兩邊點(diǎn)乘ai，可得從動(dòng)臂質(zhì)心的角加速度為

(20)

對式(16)兩邊求導(dǎo)，可得從動(dòng)臂的線加速度

(21)

4.3 動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，作用于各構(gòu)件質(zhì)心上的力包含重力和慣性力。由于本機(jī)構(gòu)執(zhí)行末端收縮為一點(diǎn)P點(diǎn)，故不存在動(dòng)平臺。設(shè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)上的力矩為i，則電機(jī)驅(qū)動(dòng)廣義力為主動(dòng)臂在驅(qū)動(dòng)力矩作用下產(chǎn)生的相應(yīng)轉(zhuǎn)角記為對應(yīng)的虛位移記為

主動(dòng)臂質(zhì)心處的作用力和作用力矩分別為

(22)

(23)

式中：m1為主動(dòng)臂的質(zhì)量;I1i為主動(dòng)臂關(guān)于其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;g為重力加速度矢量。

設(shè)定主動(dòng)臂質(zhì)心的線位移矢量和角位移矢量分別為δx1iv和δx1iw，則根據(jù)式(11)、(12)可得

δx1iw=Jivp=JiJ-1δq

(24)

(25)

從動(dòng)臂質(zhì)心處的作用力和作用力矩分別為

(26)

(27)

式中：m2為從動(dòng)臂的質(zhì)量;I2i為從動(dòng)臂關(guān)于其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

設(shè)定從動(dòng)臂質(zhì)心的線位移矢量和角位移矢量分別為δx2iv和δx2iw，則根據(jù)式(20)、(21)，可得

(28)

(29)

根據(jù)虛功原理，建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程可得

(30)

式中：Fp為作用在P點(diǎn)的外載荷，δP為機(jī)構(gòu)P點(diǎn)的虛位移。

將式(11)～(29)代入方程(30)，消去δq，整理可得機(jī)構(gòu)的逆動(dòng)力學(xué)方程。

5 仿真分析

機(jī)構(gòu)構(gòu)件采用輕質(zhì)桿材料，參數(shù)選擇按照上述運(yùn)動(dòng)性能結(jié)論確定，取l1/l2=0.765，設(shè)定參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)構(gòu)參數(shù)數(shù)值表

根據(jù)應(yīng)用場景，以輸出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離S作為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，采用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，如圖6所示，其擬合表達(dá)式為：

(31)

為了分析機(jī)構(gòu)參數(shù)對驅(qū)動(dòng)力矩的影響規(guī)律，指定P點(diǎn)在其工作空間范圍內(nèi)沿如圖5所示的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)，采用Matlab軟件進(jìn)行仿真計(jì)算，得到主動(dòng)臂和從動(dòng)臂的加速度、角加速度變化曲線如圖7、8所示，得到主動(dòng)臂的驅(qū)動(dòng)力變化如圖9所示。可見，驅(qū)動(dòng)力矩變化平緩，加速度幅值變化較大，但曲線平滑，機(jī)構(gòu)具有較好的加速能力。

6 結(jié)語

(1)設(shè)計(jì)了一種兩驅(qū)動(dòng)同軸的5R平面并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)上更加簡潔，運(yùn)動(dòng)性能更好。該機(jī)構(gòu)可以用于精密點(diǎn)焊、精確定位，也可廣泛應(yīng)用用于流水線中零件高速抓拿和裝配。

(2)在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的基礎(chǔ)上，分析了機(jī)構(gòu)的工作空間、奇異位形、雅可比條件數(shù)等運(yùn)行性能指標(biāo)，以各項(xiàng)同性為性能目標(biāo)確定了機(jī)構(gòu)主、從構(gòu)件的尺度參數(shù)。

(3)推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的速度、加速度矢量表達(dá)式，根據(jù)虛功原理方法建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程；以點(diǎn)P給定運(yùn)動(dòng)軌跡為目標(biāo)，計(jì)算得到驅(qū)動(dòng)力矩的變化規(guī)律。