油滴與深油膜正碰撞的動力學分析

王博東，陳 薄，寧慧銘，古忠濤

(1. 西南科技大學 制造科學與工程學院 制造過程測試技術教育部重點實驗室，四川 綿陽 621010；2. 重慶大學 航空航天學院，重慶 400044)

現代先進航空發動機工作狀態下軸承腔中處于空氣、油滴和壁面油膜共存的潤滑與換熱狀態[1]。通常，潤滑油自軸承滾動體等旋轉元件以油滴的形式甩入軸承腔，與干燥腔壁發生碰撞，在腔壁上形成初始的壁面油膜，其后的工作過程中油滴與附著于腔壁的油膜碰撞。油滴與壁面油膜碰撞后部分附著于油膜而剩余部分隨之發生飛濺并形成尺寸更小的二次油滴懸浮于腔內的空氣中。油滴與壁面油膜的作用過程以及二次油滴的初始特性，不僅直接影響著分布于軸承腔壁面的油膜厚度和流動速度等重要流體動力學特征，更為重要的是進而影響著軸承腔的潤滑與換熱功能。因此，開展油滴與油膜的碰撞及其后油膜的動力學特性分析，為軸承腔的潤滑與換熱研究提供參考依據是十分重要的工作。

已有關于液滴與液膜碰撞的研究工作多集中于液滴與淺液膜或薄液膜的正碰撞，研究成果對于理解和詮釋油滴與深油膜正碰撞的動力學特性貢獻極為有限。此外，數值計算中廣泛采用的簡化二維數值分析模型，難以描述液滴與液膜的實際碰撞情況，以及碰撞后液滴和液膜的復雜流體動力學行為。因此，開展油滴與深油膜碰撞的三維數值分析，揭示更接近于實際情況的油滴與深油膜碰撞過程動力學特性，為軸承腔中典型工作狀態下精確的油氣兩相流動潤滑與換熱分析提供技術支持具有顯著的學術和工程意義。

基于VOF方法建立了油滴與深油膜正碰撞的三維數值分析模型，通過數值計算，分析了冠狀油膜和空腔的形成及其形貌演化與流動鋪展過程，探討了油滴直徑和碰撞速度對冠狀油膜和空腔特性，以及二次油滴直徑分布的影響；借助相關試驗結果，驗證了提出的三維數值模擬方法的正確性，研究工作有助于揭示軸承腔中油滴與壁面油膜碰撞的物理本質。

1 數值分析模型

1.1 控制方程

假設油滴與深油膜正碰撞過程為瞬態不可壓縮層流流動，采用VOF方法對其界面進行動態追蹤計算。此外，假設碰撞過程中潤滑油與空氣之間沒有熱量和能量的傳遞，也沒有質量轉移。因此，潤滑油與空氣各相的連續性方程和動量方程可表示為

?·u=0，

(1)

(2)

式中：u為流體速度矢量；p為壓力；g為重力加速度；ρ和μ分別為流體的加權平均密度和動力黏度；Fσ為動量源項；上標T為矩陣轉置符號。

VOF方法是通過求解網格單元中流體體積分數實現網格不變情況下的界面重構的，根據其追蹤界面的基本思想，潤滑油的體積分數αL方程可表示為[14]

(3)

式中uL為潤滑油的速度矢量。體積分數αL= 0和αL= 1，分別表示網格單元中全部為空氣和潤滑油；0<αL<1，表示網格單元為潤滑油與空氣分界面網格[15, 16]。

對于任意計算網格，流體的加權平均密度和動力黏度分別為

ρ=αLρL+(1-αL)ρG，

(4)

μ=αLμL+(1-αL)μG，

(5)

式中下標L和G分別表示潤滑油和空氣。

由連續性表面張力模型(CSF)，方程(2)中的動量源項Fσ計算公式為[15-17]

(6)

式中，σ為潤滑油的表面張力系數；κ為潤滑油與空氣的界面表面曲率，其計算方法見文獻[17]。

1.2 數值計算模型

油滴與深油膜正碰撞后的油膜流動狀態發展過程呈現近似循環對稱性[9]，為簡化數值計算，提高計算效率，采用1/4計算模型，計算域與網格如圖1所示。定義計算域的大小為x×y×z=5d0×5d0×12d0(d0為油滴直徑)，以消除計算邊界對空氣流動和油膜狀態發展的影響，采用六面體均勻網格對計算域進行網格劃分，如圖1(a)所示。油滴與油膜的初始位置如圖1(b)所示，油膜的厚度為4d0，油滴的初始位置位于油膜液面之上。為提高VOF方法對界面追蹤的精度，經大量的試算與分析后，數值計算過程中采用最大等級為4級的自適應網格加密技術對潤滑油與空氣界面附近區域的網格進行局部加密處理(如圖1(b)～(d))，以單元密度梯度作為標定變量控制加密區域范圍[16,18]。

圖1 數值分析的計算域與網格模型Fig. 1 Computational domain and grid model in the numerical calculation

計算邊界條件設置為：邊界1和3設置為對稱邊界條件；邊界2設置為相對壓力為0的壓力出口邊界條件；其余邊界均設置為無滑移的靜止壁面條件；平面4為油膜表面，油膜表面之下為潤滑油，以上為空氣。初始條件設置為：油滴的初始速度為u0，方向為z軸負方向(如圖1(c))；油膜區域中潤滑油體積分數αL=1，空氣域(除油滴)中潤滑油體積分數αL=0；計算中考慮重力的影響，重力方向為z軸負方向。

1.3 結果分析中的物理參數定義

為便于定量表達數值計算結果，定義如圖2所示的若干物理特征參數：油冠直徑Dcr為冠狀油膜頂部頸縮區內表面所在圓平面的直徑；油冠高度Hcr為冠狀油膜頂部頸縮區至油膜液面的距離；空腔直徑Dca為油滴與油膜碰撞后形成的近似半球形空腔的直徑；空腔深度Hca為油膜液面至空腔底部的距離。

圖2 結果分析中相關物理參數的定義示意Fig. 2 Definition of physical parameters in result analysis

2 數值分析模型的驗證

采用文獻[19]中的水滴與水膜正碰撞試驗工作對提出的數值分析模型進行驗證。試驗使用的水滴直徑為4.2 mm，碰撞速度為3.7 m/s，水膜厚度為100 mm。采用本文中提出的數值分析模型對其進行數值計算，水膜形態發展以及二次液滴的直徑分布數值計算結果與試驗結果的對比如圖3(左側為數值計算結果；右側為試驗結果，括號內的時間為其對應的鋪展時刻)和圖4所示。考慮到計算效率，數值計算時水膜厚度取4倍水滴直徑16.8 mm。水膜厚度的進一步增加對計算結果的影響非常小，可以忽略不計。

圖4 二次液滴直徑分布的數值計算結果與試驗結果對比Fig. 4 Comparison of secondary droplet diameter distribution between numerical calculation and test results

由圖3可以看出，采用本文數值計算方法獲得的5個時刻的水膜形態結果與試驗結果有較好的一致性。圖中數值計算結果和試驗結果在時間上的差異，主要是由兩者的初始時刻差異造成的。

由圖4可以看出，二次液滴直徑分布的概率密度函數和累積數量分布數值計算結果與試驗結果在數值上有一定的誤差，但在變化趨勢上具有較好的吻合性。造成誤差的主要原因可能在于，第一是試驗中采用高速攝影技術難以捕捉到尺寸非常小的二次液滴，其二是基于圖像處理的試驗數據分析方法引入了一定的測量誤差，故而出現了較為明顯的試驗結果相對于數值計算結果整體右移的趨勢。上述工作一定程度上證明了本文提出的數值計算模型的正確性和可靠性。

3 結果與討論

圖5給出了油滴直徑為3.46 mm、碰撞速度為5.0 m/s、油膜厚度為13.84 mm條件下，油滴與油膜正碰撞后形成的冠狀油膜狀態發展過程以及二次油滴的飛濺情況。圖5中油膜鋪展視圖的第一行為主視圖，第二行為對應的俯視圖。由圖5可以看出，油滴與油膜接觸后，在慣性力的作用下擠壓并排開接觸區域油膜，接觸區域的油膜以碰撞點為中心向四周擴展，同時在油滴周圍形成厚度較薄的環形空間鋪展油膜，其間受空氣擾動影響，油膜邊緣出現潤滑油分離，生成大量尺寸較小、飛濺速度較大的二次油滴(如圖5(a)～(c))，即發生瞬時飛濺[9]。隨著時間的推移，油滴不斷下沉并融入油膜，油滴的質量和碰撞能量持續轉移給油膜，油液不斷進入到向外鋪展的空間油膜中，空間油膜的直徑和高度不斷增大，繼而發展為冠狀油膜；受擾動的空氣作用，冠狀油膜邊緣出現Rayleigh-Plateau不穩定現象，破碎生成尺寸較大、飛濺速度較小的二次油滴，但其間沒有明顯的指狀射流形成(如圖5(d))。其后，冠狀油膜繼續向外發展，同時因表面張力而出現輕微的收縮，達到最大高度后，因重力作用緩慢向油膜液面回落(如圖5(e)和(f))，此階段沒有二次油滴生成，但原來的二次油滴由于慣性作用繼續向空氣中離散，進而逸出計算域，以至于圖5(e)和(f)中沒有觀察到二次油滴。

圖5 碰撞速度為5.0 m/s條件下油滴與深油膜正碰撞后的油膜狀態發展過程Fig. 5 Film development process of oil droplet impacting normally onto a deep pool at impact velocity 5.0 m/s

圖5中還可以看出，在冠狀油膜形成和發展期間，油膜內部也形成了一個以碰撞點為球心的近似半球形空腔，且空腔的直徑隨著時間的推移而增大。其原因可以歸因于，持續與油膜融入的油滴轉移給油膜的碰撞能量驅使油膜沿空腔徑向運動的結果。

圖6給出了油滴直徑為3.46 mm、碰撞速度為7.0 m/s、油膜厚度為13.84 mm條件下，油滴與油膜正碰撞后形成的冠狀油膜狀態發展過程以及二次油滴的飛濺情況。由圖6可以看出，與碰撞速度為5.0 m/s條件下的碰撞結果相比較，不同的是冠狀油膜狀態發展的中后期，油膜邊緣出現了指狀射流，頂部區域呈現出了明顯的向中心的聚合和回縮，形成了“鐘鼎形”油膜冠頂(如圖6(d)～(f)),與文獻[20, 21]的試驗結果吻合。其原因在于，較高碰撞速度的油滴碰撞能量更大，與油膜碰撞后轉移給冠狀油膜的鋪展能量也更大，油膜鋪展的更快，形成的油膜厚度更薄，致使于在表面張力的作用下頂部區域聚合和回縮的趨勢更為明顯，故而呈現出“鐘鼎形”冠頂。另外，相比于碰撞速度為5.0 m/s的情況，二次油滴的數量更大，持續產生二次油滴的時間也更長，這均與液滴的碰撞能量較大有關。

圖6 碰撞速度為7.0 m/s條件下油滴與深油膜正碰撞后的油膜狀態發展過程Fig. 6 Film development process of oil droplet impacting normally onto a deep pool at impact velocity 7.0 m/s

圖7給出了油滴直徑為3.46 mm，碰撞速度為5.0 m/s、油膜厚度為13.84 mm條件下，油滴與油膜正碰撞后的冠狀油膜狀態發展過程中生成的二次油滴的直徑ds分布直方圖及其概率密度函數。圖7中縱坐標二次油滴相對數量為直徑區間內二次油滴的數量與其總數量之比值。由圖7可以看出，碰撞生成的小直徑二次油滴數量很大，其直徑主要集中在小于300 μm的范圍內，是二次油滴的主要組成部分；而大直徑的二次油滴數量非常少。其原因可能在于，二次油滴主要由碰撞初期鋪展能量較大而厚度較薄的環形油膜瞬時飛濺產生，較大的鋪展能量使得油膜被霧化為直徑較小的油滴，故而大部分二次油滴的直徑較小。此外，通過對二次油滴直徑計算結果的數據擬合，得到其直徑分布的概率密度函數基本服從對數正態分布。計算得到的二次油滴直徑分布特性與文獻[19]中的試驗研究結論一致。

圖7 二次油滴直徑分布的直方圖及其概率密度函數Fig. 7 Histogram of secondary oil droplet diameter distribution and its probability density function

圖8給出了同一計算條件下二次油滴初始速度us分布的散點圖。從圖8中可以看出，小直徑二次油滴的初始速度較為分散，而大直徑二次油滴的初始速度較為集中且速度值較小。前者的原因在于，小直徑二次油滴在冠狀油膜形成與狀態發展過程中均有產生，而決定其初始速度的油膜鋪展能量隨著油膜狀態發展而逐漸減小，從而造成生成的二次油滴初始速度也隨之變小的結果。后者出現的原因是，大直徑油滴產生于冠狀油膜狀態發展的中后期，較小的鋪展能量使得二次油滴的初始速度也比較小且較為集中。

圖8 二次油滴初始速度分布散點圖Fig. 8 Scatter diagram of initial velocity distribution of secondary oil droplets

圖9給出了碰撞速度為5.0 m/s條件下油滴直徑對冠狀油膜油冠高度和直徑的影響。從圖9(a)中可以看出，隨著油滴直徑的增大冠狀油膜油冠高度是增大的。顯然這與大直徑油滴具有較高的動量有關，大直徑油滴在與油膜碰撞后轉移給冠狀油膜的動量也較大，加速了油膜向上(z軸正向)鋪展。此外，圖9中鋪展時間t<1.5 ms時，油冠高度幾乎不受油滴直徑影響，表明環形油膜形成與鋪展初始階段由油滴轉移給油膜的動量而產生的鋪展加速度差異很小。圖中冠狀油膜達到最大高度的時間隨著油滴直徑的增大而增大，表明大直徑油滴形成的油膜鋪展的更高更遠。

圖9(a)中還可以看出，同一油滴直徑下，冠狀油膜油冠高度隨著鋪展時間先增大，達到最大高度后逐漸減小，變化過程近似拋物線，這是冠狀油膜流動鋪展過程中受重力作用的結果。

由圖9(b)可以看出，油冠直徑受油滴直徑的影響不明顯。顯然是，冠狀油膜狀態發展變化過程中潤滑油表面張力抑制了油膜在徑向(xy平面)的擴展所致。

圖9 油滴直徑對冠狀油膜油冠高度和直徑的影響Fig. 9 Effects of oil droplet diameter on the crown height and diameter

圖10給出了碰撞速度對冠狀油膜油冠高度和直徑的影響。從圖10(a)中可以看出，冠狀油膜達到最大高度之前，油冠高度隨著碰撞速度的增大而增大；而且油滴碰撞速度越大，油冠的最大高度也越大，達到最大高度的時間越短。顯然這是由于高速度的油滴具有更大的碰撞能量，進而轉移給油膜的鋪展能量更大，形成的環形油膜厚度更薄，故而加速了油膜鋪展進程，縮短了鋪展時間。

另外，圖10中碰撞速度為10.0 m/s情況下的油冠高度在達到最大值后突然減小，表明厚度較薄的冠狀油膜已經從克服重力向上鋪展階段轉捩為在重力作用下加速向油膜液面回落階段。

圖10 碰撞速度對冠狀油膜油冠高度和直徑的影響Fig. 10 Effects of impact velocity on the crown height and diameter

圖10(b)中油冠直徑的變化分為兩個階段：第一個階段為環形油膜形成與鋪展階段(鋪展時間t< 5.0 ms)，油冠直徑幾乎不受碰撞速度的影響，其原因顯然是表面張力抑制了油膜沿徑向鋪展的結果；第二個階段為冠狀油膜狀態發展的中后期(鋪展時間t> 5.0 ms)，油冠直徑隨著碰撞速度的增加而減小，這是因為碰撞速度較大的油滴形成的冠狀油膜高度較大、平均厚度較薄，隨著油膜狀態的發展，表面張力使得頂部區域的油膜加速向中心聚集和回縮所致。值得注意的是，碰撞速度為10.0 m/s時，油冠直徑在達到最大值后減小至0并保持恒定，是油冠頂部在表面張力作用下完全閉合，形成“鐘鼎形”冠頂的結果。

圖11給出了碰撞速度為5.0 m/s條件下油滴直徑對空腔深度和直徑的影響。圖中的鋪展時間范圍內空腔雖然還沒有達到最大深度但已接近深度的最大值。此外，為了便于對比表達，圖中深度值采用了負數表示。可以看出，空腔深度和直徑均隨著油滴直徑增大而增大。這一現象的產生是由于在碰撞速度恒定的情況下，大直徑油滴具有的碰撞能量更大，碰撞后轉移給油膜的擴展能量也較大，使得油滴完全融入油膜前在其內部運動的距離更大，排開的油液更多。

圖11 油滴直徑對空腔深度和直徑的影響Fig. 11 Effects of droplet diameter on the cavity height and diameter

圖11中還可以看出，同一油滴直徑下，空腔深度和直徑隨著鋪展時間的變化近似對數函數曲線關系，即空腔深度和直徑的增加速度隨著油膜鋪展時間是逐漸減小的，表明空腔的發展受與油膜深度成正比的液體壓力、潤滑油黏滯力，以及表面張力的抑制作用，排開油液的阻力不斷增大。

圖12所示為碰撞速度對空腔深度和直徑的影響規律。可以看到，空腔深度和直徑均隨著碰撞速度增大而增大。這顯然也是由于高碰撞速度油滴具有的高碰撞能量對于油滴和油膜運動貢獻的結果。

圖12 碰撞速度對空腔深度和直徑的影響Fig. 12 Effects of impingement velocity on the cavity height and diameter

圖13給出了碰撞速度為5.0 m/s條件下油滴直徑對二次油滴直徑分布的影響。可以看出，隨著油滴直徑的增大，二次油滴直徑分布越加分散，大直徑油滴數量增多，小直徑油滴數量減少。其原因可以理解為，一是大直徑油滴碰撞能量較大，轉移給環形油膜的空間鋪展能量也較大，二是大直徑油滴與油膜碰撞后轉移給環形油膜質量要大一些，兩者共同作用使得形成的冠狀油膜的厚度和達到的空間高度均更大一些，鋪展時間更長，增加了產生大直徑二次油滴的概率，故而油滴直徑區間增大、直徑分布更為分散。圖13中二次油滴相對數量的最大值隨著油滴直徑的增大而減小，表明小直徑油滴更易于形成直徑較小的二次油滴，反應出慣性力、潤滑油黏度和表面張力對二次油滴生成的復雜作用機制[22]。

圖13 油滴直徑對二次油滴直徑分布的影響Fig. 13 Effects of droplet diameter on the secondary droplet diameter distribution

圖14所示為碰撞速度對二次油滴直徑分布的影響。可以看出，隨著碰撞速度的增大，二次油滴直徑分布的更加集中，小直徑油滴數量增多，大直徑油滴數量減小。其原因可以理解為，較高碰撞速度下油滴轉移給環形油膜的空間鋪展能量較大，致使形成的冠狀油膜厚度更薄一些，受空氣擾動后邊緣破碎生成的二次油滴更為細小且數量更大[9]。

圖14 碰撞速度對二次油滴直徑分布的影響Fig. 14 Effects of impact velocity on the secondary droplet diameter distribution

4 結 論

1)油滴與深油膜正碰撞后以接觸點為中心排開潤滑油，形成環形濺射油膜，在油滴的沖擊作用下，油膜中的潤滑油持續進入環形濺射油膜，濺射油膜最終發展為冠狀油膜。與此同時，油膜液面以下形成以接觸點為球心的近似半球形空腔。碰撞速度較大時，形成的冠狀油膜厚度較薄，在表面張力的作用下，油膜頂部區域的潤滑油向其中心聚合和回縮，形成“鐘鼎形”冠頂。

2)冠狀油膜形成和發展過程中油膜邊緣破碎生成濺射的二次油滴，二次油滴直徑呈對數正態分布；小直徑二次油滴的初始速度較為分散，大直徑油滴的初始速度較為集中且其值較小。

3)隨著油滴直徑的增大，油冠高度、空腔深度和直徑是增加的；二次油滴直徑分布更加分散，大直徑油滴數量增多；油冠直徑受油滴直徑的影響不顯著。

4)隨著碰撞速度的增大，油冠高度、油冠直徑、空腔深度和直徑都是增加的；二次油滴以小直徑油滴為主，直徑分布較為集中。