撓性航天器太陽翼全局模態(tài)動力學(xué)建模與實驗研究1)

何貴勤 曹登慶 陳 帥 黃文虎

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,哈爾濱 150001)

引 言

隨著航天領(lǐng)域的發(fā)展,現(xiàn)代大型柔性航天器往往安裝有諸如大型太陽翼等柔性結(jié)構(gòu),為了得到可持續(xù)的能源,其尺寸日益增大、結(jié)構(gòu)重量越來越輕,太陽翼的彈性振動不可避免地與航天器主體平臺的運動相互耦合,這種耦合效應(yīng)隨著太陽翼尺寸的增大顯著增強.此時,單個太陽能帆板的模態(tài)(假設(shè)模態(tài))并不能準(zhǔn)確反映整個太陽翼在系統(tǒng)中的彈性振動,這導(dǎo)致采用假設(shè)模態(tài)離散得到的動力學(xué)模型,在準(zhǔn)確性上可能會存在一定的不足.因此,大型柔性組合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)建模與振動響應(yīng)分析、結(jié)構(gòu)振動控制等問題變得愈加復(fù)雜且難以處理[1].發(fā)展能獲取反映系統(tǒng)真實彈性振動的全局模態(tài)的解析方法,將其應(yīng)用在組合柔性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)建模,并此基礎(chǔ)上深入開展其振動控制和非線性動態(tài)響應(yīng)的研究,具有一定的理論意義和工程價值.

航天器大型太陽翼的構(gòu)成部件為具有無限自由度的柔性體,無論是對系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性進行分析,還是基于其動力學(xué)模型的狀態(tài)空間進行控制器的設(shè)計,都要對柔性部件的連續(xù)位移進行離散,得到具有有限自由度的常微分方程組的動力學(xué)模型[2].目前,比較常用的兩種離散方式分別是有限元法[3-5]和模態(tài)法[6-7].

有限元法可以離散具有復(fù)雜形狀的復(fù)合柔性結(jié)構(gòu),在單元數(shù)量足夠多的情況下,有限元模型所得到的結(jié)果可以達(dá)到較高的精度.因此,許多學(xué)者[8,9]采用有限元法,建立系統(tǒng)的有限元模型,進行動力學(xué)特性的分析和研究.Hablani[10-12]通過航天器系統(tǒng)的有限元模型得到結(jié)構(gòu)的整體模態(tài),并根據(jù)模態(tài)截斷方法采集低階模態(tài)用來離散柔性體.Jin 和Wang 等[13]和Li 等[14]利用ABAQUS 軟件建立了由柔性桿和薄膜構(gòu)成的太陽帆航天器的有限元模型,再利用全局廣義坐標(biāo)得到結(jié)構(gòu)的低階離散模型.盡管以上基于有限元模型的方法很容易獲取全局模態(tài),但得到的結(jié)果并不是解析的,難以直接利用這些模態(tài)來分析系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性和設(shè)計振動控制器.模態(tài)綜合方法也是一種獲取全局模態(tài)的途徑,但是這種方法得到的結(jié)果是近似且表達(dá)式復(fù)雜而難以利用[15].

模態(tài)法是采用解析的模態(tài)函數(shù)離散連續(xù)系統(tǒng)的動力學(xué)方程,利用Galerkin 截斷獲得較低維數(shù)的模態(tài)方程,從而明顯地提高求解系統(tǒng)動力學(xué)模型的計算效率,為非線性動力學(xué)特征的分析和控制器的設(shè)計提供基礎(chǔ),這是有限元方法不具備的優(yōu)點.模態(tài)離散方法的關(guān)鍵在于將連續(xù)體位移用模態(tài)函數(shù)的乘積和與時間有關(guān)的模態(tài)坐標(biāo)來描述.Pan 和Liu[16]通過研究了基于兩端自由、簡支或懸臂邊界的假設(shè)模態(tài)在柔性多體系統(tǒng)的建模中的計算效率和正確性,表明采用靜定邊界條件能取得正確的結(jié)果,而混合靜定條件反而會出現(xiàn)較大誤差.在柔性多體系統(tǒng)中,任意部件的振動都將會引起系統(tǒng)中其他部件的振動.現(xiàn)有的解析方法在處理大型柔性航天器這樣的復(fù)雜結(jié)構(gòu)時遭遇到以下困境:

(1)現(xiàn)有解析建模方法僅適用于規(guī)則形體,對于工程中常見的復(fù)雜結(jié)構(gòu),如何簡化與等效;

(2) 現(xiàn)有解析方法僅適用于單一結(jié)構(gòu),如索、梁、板、殼,尚無處理組合結(jié)構(gòu)的一般方法;

(3)假設(shè)模態(tài)法處理組合結(jié)構(gòu)時,由于各部件之間相互關(guān)聯(lián),難以滿足所有幾何邊界條件,更難以滿足力邊界條件,因此合理性和準(zhǔn)確性存疑;

(4)模態(tài)綜合法可用于建立組合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型,存在一定的缺陷.如構(gòu)件較多導(dǎo)致自由度數(shù)太大,使得模型的精度和準(zhǔn)確性存在問題.

全局模態(tài)概念的提出使得對柔性構(gòu)件彈性振動耦合效應(yīng)的準(zhǔn)確描述與復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)解析模態(tài)的求取成為可能.有限元方法是獲得復(fù)雜結(jié)構(gòu)全局模態(tài)的有效途徑,但其數(shù)值方法自由度數(shù)大、維度高的特點對后續(xù)動力學(xué)建模和動態(tài)響應(yīng)分析并不友好.由此可見,建立系統(tǒng)低維高精度動力學(xué)模型的關(guān)鍵在于如何獲取系統(tǒng)解析的全局模態(tài).近年來,曹登慶等在針對柔性機械臂[17]、多梁鉸接結(jié)構(gòu)[18]等細(xì)長組合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題的研究中系統(tǒng)地提出了全局模態(tài)方法,這對于大型太陽翼低維高精度動力學(xué)模型的建立具有指導(dǎo)和借鑒意義.袁秋帆等[19]針對中心剛體-單側(cè)大撓性結(jié)構(gòu)構(gòu)型的航天器,提出了一種全局模態(tài)動力學(xué)模型,推導(dǎo)了非約束模態(tài)頻率和模態(tài)振型.并基于氣浮平臺構(gòu)建了實驗系統(tǒng),通過實驗校驗了全局模態(tài)動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性.目前,對大型太陽翼這類鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)的解析全局模態(tài)的求取及其動力學(xué)建模方法的研究尚少.邱志成和姜衡[20]利用有限元軟件ANSYS 對幾種不同的鉸鏈扭轉(zhuǎn)剛度條件下鉸接柔性板結(jié)構(gòu)進行了模態(tài)分析,比較了不同鉸鏈剛度對鉸接柔性板結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型和模態(tài)頻率的影響.Cao 等[21]采用自由?自由梁函數(shù)作為航天器太陽翼每一塊帆板的模態(tài)函數(shù),獲得了鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)的解析全局模態(tài),但其基函數(shù)中存在較多三角函數(shù),降低了計算效率和收斂速度.基于作者近期的工作[22-23],本工作以柔性航天器攜帶的大型太陽翼為背景,針對鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)的全局固有特性和系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型的建立展開研究.

當(dāng)前在對柔性航天器剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)的研究中,為了建模便利,通常都未計及鉸鏈對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響,常采用基于光滑動力學(xué)的建模方法.鉸鏈產(chǎn)生的非線性剛度和阻尼離散地分布于鉸接結(jié)構(gòu)各處,是導(dǎo)致系統(tǒng)模態(tài)密集和非線性耦合的主要原因[24].對于實際的大型柔性航天器的太陽翼等柔性附件,運動副間的間隙、摩擦等因素使鉸鏈部件處呈現(xiàn)出很強的非線性動力學(xué)特征,間隙、碰撞和干摩擦等大量復(fù)雜非光滑的因素使得可展機構(gòu)在展開過程中容易引發(fā)結(jié)構(gòu)振動和變形,直接影響航天器姿態(tài)運動以及有效載荷的指向穩(wěn)定度[25].張靜等[26]針對可展結(jié)構(gòu)中鉸鏈帶來的展開后非線性動力學(xué)問題,建立了含鉸結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型,分析了鉸鏈對含鉸結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)特性影響.何昊南等[27]針對折疊舵面內(nèi)、外舵鉸接處存在的間隙影響開展了地面振動實驗和非線性建模方法研究.雖然袁秋帆等[19]、Wang 和Li 等[28]學(xué)者針對帶有柔性太陽翼的航天器已經(jīng)開展了相關(guān)地面實驗研究,但目前針對含有鉸鏈的太陽翼,通過地面振動實驗研究鉸鏈間隙、摩擦等非線性因素對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響的研究仍不充分.

對于非經(jīng)典邊界薄板,其滿足復(fù)雜邊界條件的模態(tài)函數(shù)難以直接求解,故多梁組合結(jié)構(gòu)的全局模態(tài)方法不能直接推廣應(yīng)用于多板組合結(jié)構(gòu)的建模.因此,本文采用特征正交多項式作為基函數(shù)構(gòu)造翼板的模態(tài)函數(shù),引入拉格朗日乘子描述鉸鏈處的約束條件,精確獲取太陽翼的固有頻率和全局模態(tài)函數(shù);針對鉸鏈建模時存在的復(fù)雜問題,采用可變剛度的扭轉(zhuǎn)彈簧等效模型,考慮鉸鏈非線性剛度及摩擦力矩等因素,通過全局模態(tài)離散得到系統(tǒng)的低維高精度非線性動力學(xué)模型,研究了鉸鏈剛度等結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)固有特性的影響,并對太陽翼在周期激勵作用下的非線性特性進行分析.為驗證鉸接多板結(jié)構(gòu)全局模態(tài)動力學(xué)建模方法的有效性和準(zhǔn)確性,設(shè)計了含柔性鉸鏈太陽翼的地面振動實驗系統(tǒng),采用錘擊法和掃頻激勵對鉸接多板結(jié)構(gòu)進行地面振動測試,研究鉸鏈非線性因素對其動力學(xué)特性的影響.通過實驗結(jié)果與理論結(jié)果的對比,驗證鉸接多板結(jié)構(gòu)全局模態(tài)動力學(xué)建模方法的有效性和準(zhǔn)確性.

1 鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模

1.1 太陽翼全局模態(tài)

以航天器大型太陽翼為研究背景,考慮圖1 所示的鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu),研究其全局模態(tài)的提取方法,獲得鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)的固有頻率與全局模態(tài).

圖1 中 (xi,yi,zi)表示第i(i= 1,2,3···N)塊帆板的局部坐標(biāo),N為帆板數(shù),a,b和b0分別表示帆板的長、寬和鉸鏈間距.

圖1 鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the solar array

為了方便建模,對系統(tǒng)作如下假設(shè):(1) 將太陽能電池板的每塊板看作是一個各向同性的柔性矩形薄板.(2) 將柔性鉸簡化為附加扭轉(zhuǎn)彈簧的鉸鏈,忽略扭轉(zhuǎn)彈簧的質(zhì)量、尺寸、阻尼和摩擦.太陽翼處于完全展開狀態(tài),鉸鏈?zhǔn)擎i定的.(3) 只考慮系統(tǒng)的橫向振動,忽略面內(nèi)振動.

由于太陽翼各帆板間的振動相互耦合,太陽翼任意一點 (xi,yi,zi)的位移可以表示為

其中, ω 表示太陽翼的圓頻率;Wi(xi,yi)是太陽翼各帆板的振型函數(shù),可以用滿足特定邊界條件的基函數(shù)的線性組合表示.太陽翼橫向振動的動能T和勢能Up可分別表示為

式中, Δ θAi, Δ θBi表示鉸鏈AiBi的扭轉(zhuǎn)角,k為鉸鏈處扭轉(zhuǎn)彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度.

將式(1)代入式(2)和式(3)分別得到太陽翼最大動能Tmax和最大變形勢能Umax

采用特征正交多項式簇作為基函數(shù),模態(tài)函數(shù)為其線性組合,Wi(xi,yi)可表示為

根據(jù)太陽翼的積分區(qū)域和邊界條件,給定滿足邊界條件的多項式首項,使用Gram?Schmidt 遞推算法[29],可以得到帆板的基函數(shù).

假設(shè)鉸鏈與帆板緊固連接,由幾何關(guān)系,鉸鏈的轉(zhuǎn)角 Δ θAi和ΔθBi應(yīng)等于與兩塊翼板連接處轉(zhuǎn)角差.圖1 中鉸鏈Ai和Bi處的轉(zhuǎn)角分別為

由于航天器在軌運行時鉸鏈?zhǔn)擎i定的,且建模時不考慮鉸鏈尺寸,兩翼板間不存在相對位移.因此,圖1 中鉸鏈處的位移關(guān)系如下

引入Lagrange 乘子 λAi,λBi,將位移匹配條件式(12) ～式(15)引入,構(gòu)造如下Lagrange 函數(shù)

根據(jù)Rayleigh?Ritz 法,將Lagrange 函數(shù)對待定系數(shù)求偏導(dǎo),得到如下方程組

據(jù)此可導(dǎo)出系統(tǒng)的特征方程如下

式中,X是所有未知系數(shù)構(gòu)成的列向量,具體形式為

矩陣K和M按照一定規(guī)則構(gòu)造,具體形式可參見文獻[23].系統(tǒng)固有頻率可由特征方程(19)求得,將固有頻率代入式(19)求得特征向量X,再代入式(8),則可求得系統(tǒng)的全局模態(tài)函數(shù).

1.2 太陽翼非線性動力學(xué)模型

利用上節(jié)中得到的全局模態(tài),可建立系統(tǒng)的低維動力學(xué)模型.對于第k階頻率,系統(tǒng)對應(yīng)的全局模態(tài)可表示為

定義矢量函數(shù)

則根據(jù)式(1),第i個帆板的位移表達(dá)式為

式中, Φ 為模態(tài)函數(shù)矩陣,q(t)為廣義坐標(biāo)矢量.前n階系統(tǒng)模態(tài)和相應(yīng)的廣義坐標(biāo)可以表達(dá)為

鉸鏈被描述為一個帶有非線性扭轉(zhuǎn)彈簧和線性阻尼器的單自由度無質(zhì)量系統(tǒng).基于參數(shù)辨識方法,將鉸鏈傳遞的扭矩表示為狀態(tài)的函數(shù).則第i個鉸鏈傳遞的扭矩可表示為[30]

式中,c,k,kn,μ分別表示鉸鏈的線性阻尼系數(shù)、線性剛度系數(shù)、非線性剛度系數(shù)和摩擦力矩系數(shù).

將式(21)代入系統(tǒng)動能、勢能表達(dá)式中,然后利用哈密頓原理并結(jié)合式(23)得到如下離散動力學(xué)方程

式中,Md,C, μ (q˙),Kl,Kn(q) 和Q分別為維數(shù)為n×n的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、摩擦矩陣、線性剛度矩陣、非線性剛度矩陣和外激勵矩陣.

質(zhì)量矩陣Md的表達(dá)式為

線性剛度矩陣Kl和摩擦矩陣 μ (q˙)的表達(dá)式為

阻尼矩陣C的表達(dá)式為

式中, κM和 κK為比例常數(shù).c為鉸鏈阻尼系數(shù).

式(25)中非線性剛度矩陣Kn(q)的表達(dá)式為

2 地面振動實驗

為了驗證利用全局模態(tài)建立的動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性和合理性,搭建了如圖2 所示的鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)實驗系統(tǒng).

圖2 鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu)實驗平臺Fig.2 Test platform of the hinged multi-panel structure

采用錘擊法對太陽翼結(jié)構(gòu)進行模態(tài)測試,將其結(jié)果作為參考依據(jù),對鉸接多板結(jié)構(gòu)全局模態(tài)提取方法的合理性進行驗證;通過振動臺施加基礎(chǔ)激勵,對太陽翼進行動態(tài)響應(yīng)測試,將實驗結(jié)果與理論模型計算所得的動態(tài)響應(yīng)進行對比,對基于全局模態(tài)的動力學(xué)建模方法的有效性進行驗證,并進一步研究系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象.

2.1 實驗裝置

實驗平臺如圖2 所示,太陽翼由三塊正方形薄鋁板和四個扭轉(zhuǎn)彈簧(圖3 所示)連接而成.太陽翼根部通過扭轉(zhuǎn)彈簧連接在夾具(鋼板)上,夾具固定在振動臺上.

圖3 扭轉(zhuǎn)彈簧Fig.3 Rotational spring

2.2 錘擊法模態(tài)測試

通過錘擊法獲取太陽翼的模態(tài).實驗系統(tǒng)設(shè)置如圖4 所示,采用移動力錘錘擊、多輸入單輸出的模態(tài)參數(shù)識別方法,即MISO 方法來獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù),固定加速度響應(yīng)測點(31 號點),力錘依次敲擊1?48 號點.加速度傳感器型號為SN2066633,力傳感器型號為SN2063818,錘頭選擇橡膠頭,加速度傳感器粘貼于翼板上.利用LMS 聲振測試系統(tǒng)采集和分析激勵和響應(yīng)信號,可以得到48 個頻響函數(shù),利用Polymax 方法進行模態(tài)識別,得到系統(tǒng)前4 階模態(tài)參數(shù).

2.3 太陽翼動態(tài)響應(yīng)測試

太陽翼為鉸鏈處存在摩擦與非線性扭轉(zhuǎn)剛度的非線性結(jié)構(gòu).非線性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)對激勵量級很敏感,而錘擊法很難控制錘擊力度,所以不宜采用錘擊法進行非線性結(jié)構(gòu)的振動實驗.采用振動臺進行基礎(chǔ)激勵,實驗系統(tǒng)如圖5 所示.為了得到太陽翼的振動響應(yīng),需要在翼板上粘貼3 個加速度傳感器,傳感器粘貼位置如圖5 的紅圈所示.振動臺選擇位移幅值恒定的正弦掃頻激勵,掃頻范圍為5～7 Hz (包含第2 階頻率),掃頻速度為2 Hz/min.掃頻實驗的整個時間歷程時長總計為60 s.

圖5 振動臺激勵實驗系統(tǒng)Fig.5 Experimental setup of vibrator test

在時域內(nèi)比較了測點1 和3 在激勵幅值恒定為5 mm 的加速度響應(yīng),比較了第3 測點在激勵幅值分別恒定為5 mm,7 mm 的正弦掃頻激勵下太陽翼的加速度響應(yīng).

3 結(jié)果與討論

3.1 全局模態(tài)驗證

通過與有限元模型計算結(jié)果和模態(tài)實驗所得結(jié)果進行對比,驗證本文提出的鉸接多板結(jié)構(gòu)全局模態(tài)求解方法的準(zhǔn)確性.

太陽翼有限元模型采用商業(yè)軟件ANSYS 建立.翼板采用Shell63 單元模擬,連接鉸鏈采用Combine14 扭轉(zhuǎn)彈簧單元模擬,兩翼板間鉸鏈連接處的自由度采用Couple 命令進行耦合,以模擬連接處的位移匹配條件.有限元模型如圖6 所示.在計算太陽翼的固有頻率和模態(tài)時,有限元模型中的彈簧為線性扭轉(zhuǎn)彈簧,結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示.

圖6 太陽翼有限元模型Fig.6 Finite element model of the solar array in ANSYS

表1 太陽翼(鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu))幾何參數(shù)與材料常數(shù)Table 1 Geometric parameters and material constants of the solar array (multi-panel structure)

通過全局模態(tài)方法推得的特征方程(19)式可得到系統(tǒng)的前4 階頻率和振型.分別將全局模態(tài)方法所得頻率和有限元方法所得頻率與實驗結(jié)果進行對比,其相對誤差如表2 所示,振型對比結(jié)果如圖7 所示.由表2 前4 階頻率的對比結(jié)果可以看出全局模態(tài)方法計算結(jié)果與模態(tài)測試結(jié)果最大誤差小于4.908%,且其誤差小于有限元方法計算結(jié)果與實驗結(jié)果的誤差,說明了全局模態(tài)方法的有效性.因為在該方法的推導(dǎo)過程中沒有做任何的近似和省略,故所得到的固有頻率和全局模態(tài)是精確的解析解.

表2 全局模態(tài)方法、有限元方法與模型實驗的前4 階固有頻率對比Table 2 Comparison of the first four natural frequencies of the system,f

從圖7 給出的太陽翼振型可以看出,太陽翼的低階模態(tài)主要表現(xiàn)為多板結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài),即扭簧的扭轉(zhuǎn)模態(tài).高階模態(tài)則表現(xiàn)為板的彎或扭以及彎扭耦合特性.三種方法所得振型可完全對應(yīng),從頻率與振型兩個方面驗證了本文提出的全局模態(tài)提取方法的準(zhǔn)確性.

圖7 全局模態(tài)方法、有限元方法與模型實驗的前4 階振型對比Fig.7 Comparison of mode shapes obtained by the global mode method,FEM and experiment

采用全局模態(tài)方法和模態(tài)測試得到不同鉸接剛度下太陽翼的前4 階固有頻率列于表3,結(jié)果表明,太陽翼固有頻率隨著扭轉(zhuǎn)彈簧剛度增加而增大.

表3 不同彈簧剛度的前4 階頻率Table 3 First four natural frequencies with different spring stiffness

3.2 全局模態(tài)動力學(xué)建模方法驗證

上節(jié)驗證了全局模態(tài)求取方法的準(zhǔn)確性,本節(jié)將通過動態(tài)測試結(jié)果與理論計算結(jié)果的對比來驗證本文非線性動力學(xué)模型的正確性.

圖8 給出了太陽翼結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)測試時,在正弦掃頻激勵作用下測點1 和3 的加速度響應(yīng).

圖8 測點1 和測點3 的動態(tài)測試時域響應(yīng)Fig.8 Time-domain responses of the dynamic test for point 1 and point 3

從圖8 動態(tài)響應(yīng)測試結(jié)果可以看出,在系統(tǒng)第2 階頻率(6.062 Hz)附近出現(xiàn)共振區(qū),與上節(jié)全局模態(tài)方法與模態(tài)測試得到的第2 階頻率相對應(yīng),進一步證明了全局模態(tài)方法的準(zhǔn)確性.由兩個測點的加速度響應(yīng)可以看出掃頻時出現(xiàn)了明顯的跳躍現(xiàn)象,太陽翼非線性特征表現(xiàn)為硬特性,且越靠近太陽翼自由端的測點響應(yīng)越大.圖9 給出了動態(tài)響應(yīng)測試的激勵幅值分別恒定為5 mm 和7 mm 時,正弦掃頻激勵下測點3 的時間歷程.從時間歷程可以看出隨著激勵幅值的增大,非線性現(xiàn)象更加突出,硬特性特征也更加明顯.

圖9 激勵幅值為5 mm 和7 mm 時測點3 的動態(tài)測試時域響應(yīng)Fig.9 Time-domain response of the dynamic test for the point 3 with excitation amplitude 5 mm and 7 mm

理論計算方面,在上節(jié)中離散非線性動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,采用模態(tài)截斷方法進一步獲得滿足精度要求的低維動力學(xué)模型,通過式(25)可計算得到基礎(chǔ)激勵下太陽翼的振動響應(yīng).鉸鏈摩擦力矩 μ 參照文獻[30]中對實際工程中鉸鏈參數(shù)辨識方法得到,即 μ =1.03 N·m.鉸鏈非線性剛度系數(shù)的測量一般較為困難,本文通過對比實驗結(jié)果與理論結(jié)果來辨識出鉸鏈非線性剛度系數(shù).

在基礎(chǔ)激勵下,式(25)中的外激勵可以寫成

式中,A為基礎(chǔ)激勵幅值, Ω 為基礎(chǔ)激勵頻率.

將結(jié)構(gòu)參數(shù)與振動臺掃頻參數(shù)帶入太陽翼的非線性動力學(xué)模型中,計算得到系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線.由于實驗掃頻激勵頻帶中只包含系統(tǒng)第2 階固有頻率,故此處僅研究系統(tǒng)2 階主共振.圖10 為激勵幅值為5 mm 時測點3 的理論仿真結(jié)果,當(dāng)取系統(tǒng)前2 階、前3 階和前4 階模態(tài)對動力學(xué)方程進行離散時,其幅頻響應(yīng)曲線均重合,故此處僅取前兩階全局模態(tài)離散得到的動力學(xué)模型便可以準(zhǔn)確反映系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性.

圖10 激勵幅值為5 mm 時測點3 的幅頻響應(yīng)曲線(理論結(jié)果,kn = 1200 N ·m/rad3)Fig.10 Amplitude?frequency curve of point 3 with excitation amplitude 5 mm (theoretical results,kn = 1200 N ·m/rad3)

振動臺掃頻速率設(shè)置較小,故此處可將動態(tài)響應(yīng)測試所得的時域響應(yīng)的包絡(luò)線視為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線.將動態(tài)測試時域響應(yīng)橫坐標(biāo)根據(jù)振動臺掃頻速率與時間換算為頻率單位,所得的響應(yīng)的包絡(luò)線即為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線.圖11 為激勵幅值為5 mm 時測點3 的實驗響應(yīng)結(jié)果與理論計算結(jié)果.為便于對比,圖中將動態(tài)測試時域響應(yīng)橫坐標(biāo)根據(jù)振動臺掃頻速率與時間換算為頻率單位,由圖中看出:(1) 低維理論模型可以計算得到動態(tài)響應(yīng)實驗中觀察到的跳躍現(xiàn)象.(2) 在鉸鏈非線性剛度系數(shù)取1200 N·m/rad3時,理論計算與實驗的幅頻響應(yīng)曲線均在6.5 Hz 附近發(fā)生跳躍,理論計算所得幅頻響應(yīng)曲線與動態(tài)響應(yīng)測試所得的時域響應(yīng)包絡(luò)線基本一致,驗證了本文全局模態(tài)動力學(xué)建模方法的合理性與準(zhǔn)確性;通過理論與實驗結(jié)果的對比辨識出了實驗所用鉸鏈的非線性剛度約為1200 N ·m/rad3.(3) 通過實驗證明,對于太陽翼(鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu))此類復(fù)雜組合結(jié)構(gòu),僅采用前兩階全局模態(tài)離散所得動力學(xué)模型便可準(zhǔn)確反映系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性,體現(xiàn)了全局模態(tài)動力學(xué)建模方法低維高精度的優(yōu)點.

圖11 激勵幅值為5 mm 時測點3 的實驗與理論響應(yīng)對比(kn = 1200 N ·m/rad3)Fig.11 Comparison between the experimental and theoretical amplitude-frequency curve of point 3 with excitation amplitude 5 mm (kn = 1200 N ·m/rad3)

4 結(jié)論

本文針對鉸鏈連接多板結(jié)構(gòu),提出了獲取系統(tǒng)全局模態(tài)的一般解析方法,給出了建立系統(tǒng)低維高精度非線性動力學(xué)模型的策略和步驟.通過特征正交多項式與拉格朗日乘子的引入,準(zhǔn)確地描述了柔性部件的彈性變形以及鉸鏈處的匹配條件,利用瑞利里茲方法得到系統(tǒng)的頻率方程,據(jù)此獲取系統(tǒng)的固有頻率和反映結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的全局模態(tài).考慮鉸鏈非線性剛度及摩擦力矩等因素,通過全局模態(tài)離散得到系統(tǒng)的低維高精度非線性動力學(xué)模型,研究了太陽翼在周期激勵作用下的非線性特性.開展了太陽翼地面振動實驗研究,采用錘擊法獲取系統(tǒng)模態(tài),利用振動臺施加正弦掃頻激勵,將物理實驗結(jié)果與理論結(jié)果進行對比,從而驗證了全局模態(tài)動力學(xué)建模方法的合理性與準(zhǔn)確性.通過對仿真結(jié)果與實驗結(jié)果的分析,得到以下結(jié)論:

(1) 太陽翼的低階模態(tài)主要表現(xiàn)為多板結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài),即扭簧的扭轉(zhuǎn)模態(tài).高階模態(tài)則表現(xiàn)為板的彎曲、扭轉(zhuǎn)以及彎扭耦合特性.

(2) 鉸鏈參數(shù)對太陽翼動力學(xué)特性影響較大,其非線性抗扭剛度、摩擦力矩等因素的存在會使太陽翼的動態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生跳躍等非線性現(xiàn)象.隨著激勵幅值的增大,非線性現(xiàn)象更加突出,硬特性特征也更加明顯.

通過實驗對建模方法合理性與準(zhǔn)確性的驗證,得到全局模態(tài)動力學(xué)建模方法具有以下優(yōu)點:

(1)解決了多板結(jié)構(gòu)在非經(jīng)典邊界下全局模態(tài)解析求解的難題.所提取的全局模態(tài)是反映系統(tǒng)中各個部件彈性振動的真實模態(tài).此外,該方法便于分析參數(shù)對系統(tǒng)全局模態(tài)的影響,從而可以揭示系統(tǒng)中各個部件之間的振動耦合關(guān)系.

(2)對于太陽翼這類復(fù)雜的鉸接多板結(jié)構(gòu),通過全局模態(tài)動力學(xué)建模方法獲得的非線性動力學(xué)模型,具有低維高精度的特點.僅采用前幾階全局模態(tài)離散得到的動力學(xué)模型便可以準(zhǔn)確反映系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性,克服了采用假設(shè)模態(tài)方法和有限元方法建模時存在的準(zhǔn)確性低和自由度數(shù)高的問題.