關(guān)于丟番圖方程mp-1=q d

閔春印,李秋穎

(1.沈陽(yáng)立人學(xué)校,遼寧 沈陽(yáng) 110200;2.朝陽(yáng)工程技術(shù)學(xué)校 基礎(chǔ)教學(xué)部,遼寧 朝陽(yáng) 122000)

指數(shù)丟番圖方程a x+b y=c z是一類很重要的方程,許多專家、學(xué)者進(jìn)行了大量的研究[1],本文研究混合的指數(shù)丟番圖方程,即

我們獲得了如下結(jié)果:

定理設(shè)p,q為素?cái)?shù),p≥3,m,d為正整數(shù),如果丟番圖方程(1)有整數(shù)解,則除(m,p,q,d)=(3,2,2,3)外,必有q是Mersenne數(shù).

為證明上述定理,先敘述如下兩個(gè)引理:

引理1設(shè)d為正整數(shù),q為素?cái)?shù),則丟番圖方程

只有正整數(shù)解23=(2+1)2-1.

證:若q=2,由方程(2)有2d=(2+1)2-1=8,所以d=3,有解23=(2+1)2-1.

若q＞2,因?yàn)閝為素?cái)?shù),由方程(2)有若d≥3,則矛盾.因此d＜3.而即d＞3.矛盾.

引理2設(shè)d為正整數(shù),q為素?cái)?shù),則丟番圖方程

無(wú)正整數(shù)解.

證:因?yàn)閝為素?cái)?shù),所以q≥2.因?yàn)?,所以,而=1,矛盾.

引理3[2]設(shè)p為奇素?cái)?shù),m-1≠0,則=1或者p.

定理的證明:因?yàn)閜≥3為素?cái)?shù),所以由方程(1)有

若m=1,由方程(1)知與q為素?cái)?shù)矛盾,因此m＞1.由引理3知=1或者p.

(Ⅱ)若(m-1,=1,則q(m-1)或者.否則,假設(shè)q|(m-1)且,必有q|(m-1,),即q|1,矛盾.

于是由方程(1)得q d=2p-1,q≠2.

若2|d,則1≡q d=2p-1≡-1(mod8)矛盾.

即q=2p-1為Mersenne數(shù).