基于滑模變結構制導律的捕獲區分析

李萬禮, 李 炯, 雷虎民, 駱長鑫, 李世杰

(1.空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051; 2.空軍工程大學研究生院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

臨近空間高超聲速武器作為軍事領域的新型戰略力量,具有飛行速度快、打擊范圍廣等特點,能突防目前幾乎所有的防御體系,對空天安全構成極大威脅[1-3]。攔截高超聲速目標不同于傳統目標,攔截彈將失去速度優勢,為了實現對目標的有效攔截,需確保攔截彈順利完成中末制導交接班,并使得攔截彈處于有利的攔截陣位,即末制導律的捕獲區[4]。捕獲區不僅提供了中制導彈道終端約束條件,而且還決定了攔截彈能否在末制導起始時刻具有較好的攔截姿態[5-6]。

目前,國內外學者對捕獲區的研究主要集中在比例導引及其各種改進形式上。文獻[7-10]對幾種常見的比例導引律進行了研究,成功推導出了比例制導律的捕獲區并進行了驗證,但其推導過程極其復雜。文獻[11-12]利用微分幾何理論,得到了描述真比例導引的捕獲區相平面圖,但該圖比較抽象,與實際飛行參數很難對應起來,難以進行理論分析。文獻[13]對純比例導引制導律及反比例導引制導律的捕獲區分別進行了較為系統的分析,然而在非慣性坐標系下的研究結論并沒有普遍的適用性。文獻[14]在順軌和逆軌的零控攔截條件基礎上,推導得到了比例和反比例導引律的捕獲區以及各自導航比設置范圍,但是對零控攔截條件的分析過于簡單。文獻[15-16]提出一種攔截末端攻擊區的建模方法,并在此基礎上利用空間幾何關系推導得出了攔截彈的捕獲區,但該推導過程未針對某一特定的末制導律,難以設計出一種適用于該情形的末制導律。文獻[17]針對中末制導交接班時刻攔截彈狀態約束設置的問題,分析得到了真比例導引靜態以及動態捕獲區,然而缺乏對目標速度前置角約束范圍的嚴密推導。文獻[18-19]分別在不考慮和考慮攔截彈飽和過載限制情況下,對現實真比例導引律的捕獲區域進行分析,但是推導過程復雜,難于在工程上應用。

由以上文獻可知,現有捕獲區的研究主要圍繞經典制導律展開,缺乏針對現代制導律捕獲區的研究。然而,很多基于現代控制理論的末制導律已經逐漸開始應用到武器的研發設計中,例如微分幾何制導律[20-21]、最優控制制導律[22-23]、滑模變結構制導律[24-26]等。現代制導律的制導性能優良,若應用到反高超聲速武器作戰中,會極大提高攔截概率,研究現代制導律的捕獲區將為攔截彈中制導彈道設計提供強約束條件,具有重要意義。

針對現有捕獲區研究的不足,本文基于滑模變結構控制理論,設計了一種能夠保證攔截末端過載收斂且性能優良的滑模變結構制導律作為末制導律,結合末制導彈目相對運動關系求解出了零控攔截條件,并得出了目標速度前置角的約束范圍,給出了滑模變結構制導律的捕獲區定義,并推導得到了捕獲區的邊界條件,將捕獲區的研究拓展到現代制導律,為中末制導交接班狀態約束設計提供了理論支撐。

1 彈目相對運動模型建立

1.1 基本假設條件

臨近空間高超聲速目標的飛行速度一般在5馬赫以上,而攔截彈通常以迎面攔截的方式對其防御,故彈目相對速度會很大,使得末制導時間很短,則可忽略彈目受到的重力和空氣動力的影響[27-29]。從臨近空間高超聲速目標的整體軌跡來看,其滑翔段機動過載相對較小,在末制導有限的距離和時間內,可忽略目標機動的影響[30]。

結合以上分析,作出假設如下:

假設 1將攔截彈與目標視為質點,忽略重力以及空氣動力對攔截彈與目標的影響;

假設 2導引頭的最大作用距離記為Rmax,當攔截彈接近目標至導引頭的最大作用距離時,則認為目標被導引頭成功探測并捕獲;

假設 3末制導階段時間較短,忽略目標機動和重力的影響,過載指令不影響攔截彈的速度大小,只改變速度方向;

假設 4攔截彈的速度始終小于目標的速度,即目標與攔截彈的速度比ρ=‖VT‖/‖VM‖>1。

1.2 彈目相對運動分析

結合基本假設條件,攔截彈與目標在垂直平面內的相對運動關系如圖1所示。

圖1 彈目相對運動關系

建立地面慣性坐標系XOY,M表示攔截彈,T表示目標,MT表示彈目視線(line of sight, LOS),R表示彈目相對距離,q表示視線角,VM和VT分別表示彈目的速度矢量,aM和aT分別表示彈目的加速度矢量,θM和θT分別表示彈目的彈道傾角,γ和η分別表示彈目的速度前置角。

通過分析圖1中的幾何關系,得出攔截彈與目標的運動方程以及相對運動方程:

(1)

(2)

(3)

γ=q-θM

(4)

(5)

(6)

(7)

η=q-θT

(8)

(9)

(10)

其中,(XM,YM)和(XT,YT)分別表示攔截彈和目標在地面慣性坐標系下的位置。

2 滑模變結構制導律設計

2.1 制導律設計

根據滑模變結構控制相關理論,設計一種高性能且能保證末端過載收斂的滑模變結構制導律,過程如下:

(11)

式中：u=|aM|為控制量。

為了確保攔截彈能夠準確命中目標并使得攔截彈需用過載盡可能小,借鑒平行接近法的原理,可以通過設計制導律使得視線角速率趨近于0。故選取切換面如下:

(12)

為確?；Ｗ兘Y構制導律的魯棒性,構造對時變參數具有自適應能力的變結構趨近律:

(13)

將式(12)代入式(13)得

(14)

再結合式(11)可得

(15)

2.2 穩定性分析

選取如下Lyapunov函數:

(16)

對式(16)求時間的一階導數:

(17)

將式(11)和式(15)代入式(17)得

(18)

(19)

式中:δ>0為待設計參數,代表著高增益連續函數接近sgn(S)的程度,一般取值較小。

3 滑模變結構制導律捕獲區研究

3.1 零控攔截條件分析

定義 1在末制導中,當攔截彈狀態達到零控攔截條件時,攔截彈可以在有限時間內僅經過一段無控滑翔之后成功攔截目標。

定理 1在忽略目標機動的影響,且彈目速度比ρ=‖VT‖/‖VM‖>1保持不變的情況下,末制導存在零控攔截條件:

γ=

(20)

證明(1)當η∈[0,π/2]時,攔截彈和目標形成碰撞三角形如圖2所示。

圖2 碰撞三角形(情形1)

此時,根據幾何關系可知攔截彈速度前置角γ需滿足條件:

(21)

由圖2可知γ<η,即sinγ1,所以sinγ<ρsinη, 式(21)不成立,攔截彈無法實現零控攔截。

圖3 碰撞三角形(情形2)

此時, 根據幾何關系可知,γ需滿足sinγ=ρsinη,η需滿足0<ρsinη≤1,即η≥π-arcsin(1/ρ)。攔截彈有兩種形式攔截目標,即γ=γA∈[0,π/2]或γ=γB∈[π/2,π]。

(22)

結合式(9)和式(22),得

(23)

綜上分析可得,當π-arcsin(1/ρ)≤η≤π時,若γ=arc sin(ρsinη)或γ=π-arcsin(ρsinη),則攔截彈可實現零控攔截。

(3)當η∈[π,3π/2]時,證明過程同情形2,可以得出當π≤η≤π+arcsin(1/ρ)時,若γ=arcsin(ρsinη)或γ=-π-arcsin(ρsinη),則攔截彈可實現零控攔截。

(4)當η∈[3π/2,2π]時,證明過程同情形1,可得出,此情況下攔截彈無法實現零控攔截。

因此,若攔截彈狀態滿足式(20),則可在末制導中實現零控攔截,即定理1成立。

證畢

3.2 捕獲區分析

定義 2滑模變結構制導律的捕獲區定義在以攔截彈的速度前置角γ為橫坐標軸,以目標的速度前置角η為縱坐標軸的(γ,η)平面內。當攔截彈對目標進行攔截時,在中末制導交接班終端時刻即末制導初始時刻,只要攔截彈速度前置角的初始值γ0和目標速度前置角的初始值η0組成的點(γ0,η0)處在捕獲區內,攔截彈即可以滑模變結構制導律為末制導律對目標進行有效攔截。

將式(19)代入式(3)得

(24)

再將式(9)代入式(23)得

(25)

根據假設3,結合式(3)、式(4)和式(7)、式(8)，得出以下關系:

(26)

將式(26)代入式(25)可以得出γ與η的對應關系:

(27)

定理 2在忽略目標機動的影響,且彈目速度比ρ=‖VT‖/‖VM‖>1保持不變的情況下,攔截彈末制導采取滑模變結構制導律時的捕獲區在(γ,η)平面內可以表示為

CR=A∪B

(28)

式中：

A={(γ,η)|γ1≤γ≤γ+,T1(γ,η)≥0且f(γ,η)≤0}

(29)

B={(γ,η)|γ-≤γ≤γ2,f(γ,η)≥0且T2(γ,η)≤0}

(30)

T1(γ,η)=η-J(γ,η)+J(γ+,η)+η+

(31)

T2(γ,η)=η-J(γ,η)+J(γ-,η)+η-

(32)

(33)

其中γ+>0和γ-<0可利用以下方程組求解：

(34)

(35)

(36)

T1=(γ1,η1)=0，γ1=-π

(37)

T2=(γ2,η2)=0，γ2=π

(38)

(39)

設初值γ(0)=γ0,η(0)=η0,式(39)兩邊對γ積分:

(40)

結合式(33),式(40)可簡寫為

η=J(γ,η)-J(γ0,η)+η0

(41)

η*=J(γ*,η*)-J(γ0,η*)+η0

(42)

(43)

式(42)和式(43)相減得

(44)

圖4 捕獲區分析示意圖

對于圖2中的S1區域,其取值范圍為

ρsinη>sinγ

(45)

對于零控攔截條件式(20),兩邊對γ求導:

(46)

結合式(20),得

(47)

由式(33)和式(39)可知:

(48)

所以,γ+和γ-可利用方程組式(34)求解,進而η+和η-由式(35)和式(36)求解,得出交點(γ+,η+)和(γ-,η-)。

因此,滑模變結構制導律的捕獲區為零控攔截曲線和兩條與之相切，形如式(41)的曲線所構成的區域,如圖4中的A∪B。

4 捕獲區仿真分析

為驗證本文對滑模變結構制導律捕獲區分析的合理性,設計以下4種情形的仿真實驗。這里選取制導律參數為k=20,ε=1,δ=0.01,導引頭最大作用距離取Rmax=100 km,彈目初始條件如表1所示。

表1 彈目初始條件

根據定理2仿真出攔截彈最大可用過載分別為30和40的捕獲區(A∪B)。

由圖5可知,不同過載限制情況下,末制導的捕獲區約束范圍不同,且攔截彈最大可用過載越小,捕獲區的范圍也越小。另外,仿真所得捕獲區的區域符合上文分析,為驗證其正確性,以最大可用過載nmax=30為例,分別選取位于捕獲區內的N點(100°,175°)和位于捕獲區之外的M點(150°,190°)作為攔截彈與目標的速度前置角初始狀態進行仿真。

圖5 捕獲區范圍

情形 1末制導采用滑模變結構制導律,點N(100°,175°)為攔截彈與目標的速度前置角初始狀態,仿真結果如圖6～圖9所示。

圖6 彈目軌跡(情形1)

圖7 攔截彈過載變化(情形1)

圖8 視線角變化(情形1)

圖9 捕獲區曲線(情形1)

由圖6可以看出,情形1中的攔截彈能夠利用滑模變結構制導律成功攔截目標,且彈道末端平滑。由圖7和圖8可知,情形1中的攔截彈過載在末端收斂到零,視線角變化趨于穩定值,說明當攔截彈末制導初始狀態處于捕獲區內時,能夠對目標形成有利攔截態勢,從而成功攔截目標。由圖9可知,攔截彈和目標的速度前置角關系在滑模變結構制導律的導引下,逐漸趨近于零控攔截曲線,證明了零控攔截條件的合理性。

情形 2末制導采用滑模變結構制導律,點M(150°,190°)為攔截彈與目標的速度前置角初始狀態,仿真結果如圖10～圖13所示。

圖10 彈目軌跡(情形2)

圖11 攔截彈過載變化(情形2)

圖12 視線角變化(情形2)

圖13 捕獲區曲線(情形2)

由圖10可以看出,情形2中的攔截彈未能成功攔截目標。攔截彈的過載和視線角都在末端處于發散狀態,如圖11～圖12所示。由圖13可知,此時的攔截彈和目標的速度前置角關系未能在滑模變結構制導律的導引下接近零控攔截曲線。因為在之前的定理2中已推出了滑模變結構末制導律的捕獲區范圍,即攔截彈和目標的速度前置角初始值(γ0,η0)位于捕獲區之內,在滑模變結構制導律的導引下,總能使得攔截彈和目標的速度前置角關系趨近于零控攔截曲線,攔截彈實現零控攔截。而在情形2中,攔截彈和目標的速度前置角初始狀態不滿足捕獲區約束,攔截彈無法在末制導中通過滑模變結構制導律的導引命中目標,所以致使圖10中彈目軌跡發散,對應的攔截彈過載和視線角變化呈現發散趨勢。

情形 3末制導采用滑模變結構制導律,點N(100°,175°)為攔截彈與目標的速度前置角初始狀態。此時假設目標做正弦機動，仿真結果如圖14～圖17所示。

圖14 彈目軌跡(情形3)

圖15 攔截彈與目標過載變化(情形3)

圖16 視線角變化(情形3)

圖17 捕獲區曲線(情形3)

由圖14～圖17可知,攔截彈仍能成功攔截目標,攔截彈過載與視線角都在末端處于收斂狀態,攔截彈和目標的速度前置角關系逐漸趨近于零控攔截曲線。結合情形1分析得出,當末制導攔截彈與目標的初始狀態處于捕獲區內時,目標機動對結果造成的影響相對較小,可以忽略,從而證明了本文方法的有效性。

情形 4末制導采用滑模變結構制導律,選取目標的速度前置角為η=180°,以5°為間隔,對攔截彈的速度前置角γ進行從-180°到180°的蒙特卡羅仿真實驗,結果如圖18～圖20所示。

圖18 彈目軌跡(情形4)

圖19 攔截彈過載變化(情形4)

圖20 捕獲區曲線(情形4)

在情形4中,通過對蒙特卡羅仿真統計,可發現攔截成功時對應的攔截彈和目標速度前置角初始值(γ0,η0)均位于捕獲區之內,且過載變化都趨于0。因此,結合結論可以得出,在攔截彈中制導修正階段時,一定要確保其末端狀態處于捕獲區內,即捕獲區是中制導終端狀態的重要約束條件。

5 結 論

本文首先基于滑模變結構控制理論完成了滑模變結構制導律的設計,保證了攔截末端的過載收斂,并對其穩定性進行了證明,將捕獲區的研究拓展到了現代制導律的領域。其次,分析了零控攔截條件,得出零控攔截狀態下攔截彈與目標速度前置角的關系。然后,結合末制導彈目運動關系對滑模變結構制導律的捕獲區進行了理論推導和分析。最后,通過4種情形下的仿真實驗,驗證了結論的正確性,為中末制導交接班的條件約束設定提供了理論支撐。

另外,本文研究針對的是目標不機動情況下的靜態捕獲區,下一步將研究結合目標機動影響的動態捕獲區。