我國期權市場的定價核研究
——基于馬爾可夫狀態轉換的分析

■王皓天，宋豪漳

一、引言與文獻綜述

定價核又稱隨機貼現因子，因其豐富的內涵成為資產定價領域研究的重點。在傳統資產定價理論中，所有資產價格在無套利的情況下都可以表示為定價核與資產收益乘積的期望值，因此定價核能夠反映出資產價格、預期收益和風險溢價之間的關系，為資產定價提供了一個最一般、最通用的分析框架。基于狀態價格向量和一價定律，定價核等于風險中性概率分布和客觀概率分布的比值，傳達了投資者對風險價值的評估。在代表性投資者的模型中，定價核與代理人的邊際效用相關，涉及了代表性投資者的偏好問題。因此，通過研究定價核，可以反映投資者對不同市場狀況的風險偏好及其預期狀況，進而對資產價格和未來收益進行分析和預測。

經典理論認為在理性投資者和完全市場下，定價核關于經濟總財富單調遞減。然而，Rosenberg&Engle（2002）利用期權市場數據的研究表明，美國金融市場的經驗定價核并非是關于回報率的單調遞減函數，往往會存在局部遞增的情況。這與經典理論結果相悖，這一現象被稱為“定價核之謎”。隨后，大量的文獻采用不同的實證方法和數據，均發現美國股指市場存在“定價核之謎”現象，并且經驗定價核對動態資產配置和未來客觀概率分布預測具有較好的效果。

2015年2月9日，我國推出了首支股指期權上證50 ETF期權，盛積良和馮玉蘭（2018）的研究表明，國內期權的上市改善了股票市場的價格發現功能，對完善金融市場功能具有重要作用。隨著近幾年期權市場的不斷發展和完善，上證50 ETF期權的成交量逐年增加，為中國金融市場的經驗定價核研究提供基礎。然而，國內相關研究卻發展緩慢。僅有史永東和霍達（2020）采用GARCH模型，對上證50ETF期權市場進行分析，結果顯示，中國金融市場存在“定價核之謎”，且“定價核之謎”對下期市場走勢具有一定的預測作用。然而，根據圖1所示，上證50ETF指數的波動率存在顯著的狀態轉換特征。當市場指數的波動率存在結構性突變時，采用固定參數的GARCH模型會導致在長期情況下，擬合的波動度會回歸到長期均值，進而高估或低估波動率，產生系統性偏差，影響經驗定價核的形狀和定價效果。

圖1 上證50 ETF已實現年化波動率

為避免上述問題，采用基于馬爾可夫狀態轉換的GARCH（MSGARCH）模型，根據波動率的特征劃分上證50 ETF的市場階段，并對每個市場階段采用全新的參數模型進行估計。并且使用MSGARCH模型和基于核函數的正交多項式法分別估算客觀概率分布和風險中性分布，進而得到考慮狀態轉換的經驗定價核分布，并對經驗定價核的形狀成因進行分析，這為國內金融市場經驗定價核研究提供新的視角。

二、研究方法

（一）估算經驗定價核

與已有研究類似，本文也將通過分別估算客觀概率密度和風險中性概率密度，進而得到上證50ETF的經驗定價核。在無套利的原則下，經驗定價核計算如式（1）所示：

（二）估算客觀概率分布

Mikosch&Starica（2004）指出具有固定參數的標準GARCH模型并不能很好的擬合跨度較長的時間序列。在多周期的方差預測中，標準的GARCH模型總是會迅速的回歸到長期的均值水平，造成系統性誤差。因此，采用Ardia et al.（2018）提出的基于馬爾可夫狀態轉換的GARCH模型（MSGARCH模型），對上證50ETF指數的客觀概率密度進行估計。

根據Ardia et al.（2018），MSGARCH模型中動態過程如式（2）所示：

其中，yt為t時刻的收益率，εk，t為收益率的殘差，hk，t為條件方差。D（0，1，ξk）表示連續分布，其均值為0，方差為1，其他參數所構成的向量為ξk。st是一個整數隨機變量，取值范圍為[1，K]。潛在狀態過程st由具有遍歷性的一階齊次馬爾可夫鏈產生，其狀態轉移矩陣P為：

該轉移矩陣描述了一個帶有K個結構性突變的GARCH模型。固定參數的標準GARCH模型可以看作是K=0時的特殊情況。

在估計上證50ETF指數歷史收益率的MSGARCH模型的參數后，本文將殘差除以條件波動率得到標準化殘差。之后進行10000次的蒙特卡洛模擬，擬合未來28天的上證50ETF的對數收益率。最后利用高斯核密度估計，將得到的數據擬合成光滑的pdf曲線，進而得到客觀概率密度分布。參考Sliverman（1986），選擇的核密度估計的帶寬等于，其中σ是基于指數水平模擬數據的年化收益率的標準差。

（三）估算風險中性分布

參考Barletta et al.（2019），采用一種非結構化的方法估計上證50ETF期權的風險中性分布。這是由于傳統的結構化方法假設風險中性分布為狀態變量的隨機動態方程，而隨機方程的函數形式受到模型的結構化參數限制，進而造成風險中性分布的估計偏差。當采用非結構化方法估計RND時，可以避免因對函數形式的錯誤設定而造成錯誤估計，降低定價誤差。

根據Barletta et al.（2019），在風險中性和無套利假設下，在當期時刻為t，到期時間為τ時，看漲期權和看跌期權價格分別為：

其中，fQ（s）為條件風險中性分布。在估計風險中性分布中，本文采用的方法是基于核密度的正交多項式展開。風險中性分布的展開式為：

在給定核函數φ時，估算概率密度函數的關鍵就在于估計式（5）中的系數c1，…，cn，而估算系數的問題就等價于風險中性分布下的期權價格與實際觀測值的差值最小化問題。n階擴展式下的期權價格定義為：

因此，對系數的估計就是進行目標函數的最優化問題，目標函數的具體設定及其求解見Barletta et al.（2019）。

三、實證分析

（一）數據來源和描述性統計

使用上證50 ETF期權數據及其基礎資產價格分別估計風險中性概率分布和客觀概率分布。數據來源于Wind數據庫，所用樣本為2015年2月9日—2020年12月31日的每日收盤價格。為保證期權的活躍性以進一步體現出金融市場信息，本文剔除了交易量為0的期權數據。參考Christoffersen et al.（2013），本文選擇每月距離到期日最接近28天的周三期權數據對風險中性概率分布進行估計。經過篩選，獲得了1902個滿足限制條件的期權合約，其描述性統計如表1所示。從表1可以看出，上證50 ETF期權存在典型的波動率微笑，并且期權交易在平價處最活躍。

表1 上證50 ETF期權描述性統計

（二）劃分與預測市場波動率結果

首先對2015—2020年的上證50 ETF的對數收益率序列分別構建傳統GARCH模型和存在狀態轉換的MSGARCH模型。為保證MSGARCH模型中協方差的穩定性，本文對參數施加了限制條件，為α0，k>0，α1，k>0，βk>0和α1，k+βk<1。根據AIC與BIC信息準則，采用GARCH（1，1）模型和t分布下2種狀態的MSGARCH（1，1）模型進行估計，兩個模型的擬合結果如表2所示。通過比較，MSGARCH模型比傳統的GARCH（1，1）模型具有更高的似然率。為驗證MSGARCH參數約束的有效性，本文進一步使用似然比檢驗，結果顯示兩模型的似然率存在顯著的差異。因此，最后采用MSGARCH模型對市場收益率序列的擬合估計結果。

表2 GARCH模型和MSGARCH模型估計結果

利用MSGARCH模型，進一步計算出高波動率和低波動率時期的無條件波動率分別為0.274和0.109。比較兩個狀態下的參數可以發現，高波動狀態的波動率過程對過去收益率反應更加劇烈（α11=0.0993），低波動率時期則對過去收益率反應更平緩（α12=0.0230）。根據Ardia et al.（2018），MSGARCH模型中不同狀態下的波動率過程的持續性可以用α01+1/2α11+β1表示。表2結果顯示，高波動率時期的持續性為0.9169，而低波動率時期為0.9344，均具有較高的持續性。因此，高波動狀態下的波動率過程具有以下特點：一是波動率水平高；二是對過去收益率的反應更劇烈；三是具有更高的持續性。低波動率時期則在前兩點上呈現出相反的特點。

根據MSGARCH模型的估計結果，將樣本區間劃分為3個階段，其中高波動率時期為2015年2月—2016年4月和2017年11月—2020年12月，低波動率時期為2016年5月—2017年10月。這種劃分也符合中國金融市場的實際情況，2015年上半年，由于中國政府實施體制改革，對金融市場放寬融資要求，杠桿交易制度的安排導致中國金融市場出現大量資金流入，股價迅速上漲。到2015年6月，由于場外配資清理、場內融資和分級基金去杠桿等因素，金融市場開始出現股災，股價不斷下跌。在2016年初，中國股市新添了熔斷機制，然而在政策實施后的3天內，市場就發生了4次熔斷，導致兩次提前休市。在2015年2月—2016年4月，整個金融市場經歷了從牛市向熊市的迅速轉變，因此被劃分為高波動率時期。而在2016年初至2017年末，中國股市在政府的干預下逐漸走出熊市，指數穩步上升，這段時間則被劃分為低波動率時期。最后，2018年上半年由于不斷爆發的信用事件以及美國股市暴跌，導致中國股票指數大幅回調，下半年中美貿易戰的全面升級以及2020年的新冠肺炎疫情，都導致國內金融市場的系統性風險迅速增加，因此將其劃分為高波動率時期。

在本文的研究中，MSGARCH模型的關鍵優勢在于避免了固定參數的GARCH模型造成的系統性誤差，即長期高估或低估未來波動率而迅速回歸到長期均值水平。因此，使用估計的MSGARCH和GARCH（1，1）模型計算條件波動率，并與已實現的波動率進行比較。圖2的結果表明，GARCH（1，1）模型估計的未來波動率持續處在長期均值的狀態，因此造成在高波動率時期低估未來波動率，而低波動率時期高估未來波動率的情況。相比而言，由于不同狀態下采用完全不同的參數，MSGARCH避免了標準GACH造成的周期性偏差，提高了對未來波動率的預測精度。

圖2 條件波動率與已實現波動率比較

（三）經驗定價核估計結果

使用MSGARCH模型和基于核函數的正交多項式方法，分別測量出上證50 ETF的客觀概率密度和風險中性概率密度，進而得到2015年至2020年的經驗定價核。圖3展示了高波動率和低波動率時期的風險中性概率密度和客觀概率密度。結果顯示，風險中性概率分布相比客觀概率分布總體呈現左偏厚尾的特征。具體而言，在高波動率時期，客觀概率分布與風險中性分布的左側比客觀概率分布更加厚尾，而右側則相對薄尾。在低波動率時期，風險中性分布的兩端尾部都比客觀概率分布更厚，并且相比高波動率時期，風險中性分布與客觀概率分布在左尾處的差異明顯減少。這將導致低波動率時期與高波動率時期的定價核形狀產生顯著的差異。

圖3 上證50 ETF風險中性概率分布與客觀概率分布

利用式（1），進一步計算出2015年2月—2020年11月上證50 ETF的經驗定價核。圖4展示了高波動率時期和低波動率時期上證50ETF的EPK。圖4顯示，在不同的波動率時期，經驗定價核的形狀存在明顯差異。在低波動率時期，大部分的經驗定價核呈U型分布，經驗定價核的左右兩端分布對稱且極端值較大，“定價核之謎“現象表現明顯。而高波動率時期經驗定價核大多數為遞減型分布或波浪形分布，在右尾處并沒有出現明顯的遞增，經驗定價核的左端更高，且極端值相比于低波動率時期較小。

圖4 2015—2020年上證50 ETF經驗定價核

本文認為造成上證50 ETF在不同時期定價核形狀差異的原因可能是在不同時期上證50 ETF波動率的特征。根據表2結果顯示，在高波動率時期，由于波動率對過去收益率的反應更高，同時高波動率具有更高的持續性，投資者會更加恐慌，往往會傾向于購買期權來對沖風險，高的風險對沖需求導致在左側形成一個較大的方差風險溢價，風險中性分布左側相比較會更厚，使得經驗定價核的左尾相比于右尾更高，更有可能在右尾出現遞減形狀。而在低波動率時期，收益率變動比較平穩，波動率對過去收益的反應更弱，沖擊也更短暫，因此投資者情緒相對穩定，相比高波動率時期，左側方差風險溢價減少，風險中性更傾向于對稱分布，進而導致U型經驗定價核的產生。

根據上述理論，當投資者由于市場收益率的較大波動而處于恐慌情緒時，會通過購買期權來對沖所面臨的投資風險，對沖需求的增加會在左側形成一個較大的方差風險溢價，進一步造成風險中性分布的厚尾，同時導致隱含波動率曲線和經驗定價核形狀出現差異。因此，基于上述分析，進一步對投資者恐慌情緒進行測算，分析不同市場階段下投資者的對沖需求；并對兩種波動率狀態下的隱含波動率曲線進行分析，判斷不同市場階段下隱含波動率曲線的形狀是否存在差異。

通過對2015年2月—2020年12月間IVIX指數進行計算，以此判斷在此期間的投資者情緒變動情況。然而，IVIX指數已經于2018年2月暫停發布，因此本文采用相同的計算方法，對2018年2月以后的IVIX指數進行補充。圖5結果顯示，投資者的恐慌情緒與MSGARCH模型劃分的高/低波動率的市場階段基本吻合，在高波動率時期，尤其是2015年的股災期間，IVIX指數達到最高峰，投資者情緒處于極度恐慌當中，進而通過購買看跌期權對沖風險；在低波動率時期，IVIX指數則相對較小，投資者的情緒更加平穩，在左尾處購買期權以對沖風險的需求變低。

圖5 中國金融市場恐慌指數

此外，本文進一步計算了兩種波動率時期的隱含波動率曲線，所得結果如圖6所示。結果顯示，在不同的波動率時期，隱含波動率曲線同樣存在明顯差異。在高波動率時期，上證50 ETF出現隱含波動率斜笑。然而在低波動率時期，隱含波動率曲線出現U型，即波動率微笑現象。此外，從數值上比較，高波動率時期的隱含波動率整體高于低波動率時期的隱含波動率，但在右尾處小于低波動率時期。這與不同時期風險中性分布的差異相吻合，即高波動率時期的風險中性分布的左尾更厚右尾更薄，而低波動率時期的風險中性分布左右尾更加對稱。其原因在于高波動率時期所表現出的向下傾斜的隱含波動率曲線可能與股市崩潰有關，此時投資者會傾向于通過買入看跌期權來為自己提供保險，進而為自己能夠承受的最大損失設定一個下限。圖6所顯示的隱含波動率曲線差異也從側面驗證了不同市場階段下投資者的投資需求變化會通過方差風險溢價影響風險中性分布的形狀，而風險中性分布的形狀差異則會進一步造成經驗定價核形狀在不同市場階段存在顯著差異。

圖6 上證50 ETF隱含波動率曲線

四、經驗定價核的經濟特性分析

（一）定價效果分析

為檢驗考慮波動率狀態轉換后的經驗定價核的有效性，比較了MSGARCH模型和傳統GARCH模型得到的經驗定價核的定價效果。參考Sichert（2020）的方法，本文使用歐拉方程誤差對兩類經驗定價核的定價誤差進行比較。分析歐拉方程誤差是檢驗候選定價核函數的一種非參數的標準方法，其可以從經濟學上解釋為定價誤差。即對于任意資產j，都將滿足條件歐拉方程：

其中，Rt表示資產j的收益率，Mt為隨機貼現因子。由于在實證當中只能測算無條件的定價誤差。因此，資產定價誤差可以被定義為其歷史平均收益率與由經驗定價核M?t隱含的風險溢價之間的差額。而檢驗一個經驗定價核是否有效的必要條件即為歐拉方程平均誤差是否顯著為零。若拒絕了零的原假設，則表明該定價核的定價效果并不理想。利用式（10），可以計算無條件的歐拉方程誤差：

其中，?為已實現經驗定價核，通過將已實現的指數收益率水平Rt，t+τ代入兩條件經驗定價核的函數形式中計算得出。

表3 經驗定價核定價誤差估計結果

（二）經驗定價核的期限結構

為檢驗經驗定價核的期限結構狀況，除了計算期限為4周（28天）的EPK外，采用相同方法對距離到期日1周，2周和6周的經驗定價核進行計算，所得到的結果如圖7所示。結果顯示，在其他期限結構下，本文的結論依然成立，即高波動率狀態下的經驗定價核呈遞減分布，而低波動率狀態下的經驗定價核呈U型分布。此外，圖7顯示在高波動率時期，期限結構短的經驗定價核左尾處會更加陡峭，而在低波動率時期，期限越短的經驗定價核在兩尾處的斜率越大，U型形狀越明顯，隨著期限的增加，經驗定價核形狀逐漸變得平緩。這一實證結果與Driessen（2019）中的結論類似，即隨著期限變長，“定價核之謎”逐漸消失，經驗定價核的局部遞增狀況越來越不明顯。造成這種趨勢的原因在于投資者更愿意使用短期期權來對沖風險，這種對沖需求在兩尾處造成了方差風險溢價，進而導致短期經驗定價核出現局部遞增，即出現“定價核之謎”。

圖7 經驗定價核期限結構

（三）市場收益相關性研究

在實證分析中，發現不論是高低波動率時期，過去收益率對當前波動率的影響都是顯著的，且波動率過程都具有較強的持續性。因此，上證50 ETF指數收益率會受到過去收益率因素的影響。而在不同的波動率狀態下，經驗定價核能夠反映投資者對未來市場不同情況的預期，傳達投資者對風險價值的評估。本文參考史永東和霍達（2020）的研究方法，用下期的對數收益率對當期資產的已實現經驗定價核進行回歸，并選取已實現波動率、流動性指標、長短期利差和去除趨勢后的無風險利率作為控制變量，建立回歸方程式：

其中，Rt，t+τ為上證50ETF在t時刻到到期日間的對數收益率，Mt為當期已實現經驗定價核，Volt、Liqt、TMSPt和RRELt為控制變量，分別表示第t期的已實現波動率、換手率、長短期利差和去除趨勢后的無風險利率。

經驗定價核的回歸結果如表4所示。結果顯示，在期限為1個月時，定價核統計量的系數為-0.0297且在5%水平上顯著，說明當期經驗定價核對下一期收益率有著顯著的負向影響。然而當期限變為2個月時，定價核統計量的系數不再顯著，這說明定價核對未來指數收益率的預測作用僅在短期內有效。造成這種情況的原因就在于經驗定價核反映的是投資者對未來市場的短期預期，這種預期會對短期市場收益的預測具有一定的指導作用。此外，本文還根據Bollerslev et al.（2009）的方法構建關于方差溢價的回歸模型，結果顯示經驗定價核對未來的市場收益率預測效果要優于傳統的方差溢價模型。

表4 經驗定價核與未來市場收益率回歸結果

五、結論與啟示

本文首先利用考慮馬爾可夫狀態轉換的MSGARCH模型對上證50ETF對數收益率序列進行擬合，劃分不同波動率特征的市場階段，預測市場波動率。隨后，在基于MSGARCH模型的基礎上計算客觀概率分布，并利用基于核函數的正交多項式法計算風險中性概率密度，進而計算得到不同市場階段下中國期權市場的經驗定價核。最后，對考慮狀態轉換后的經驗定價核的定價效果，期限結構和預測能力進行研究。研究結果表明：第一，上證50 ETF指數波動率存在明顯的周期性變化，而考慮了狀態變換后的MSGARCH模型降低了傳統GARCH模型在預測條件波率時存在的周期性誤差。第二，由于不同狀態下波動率特征和投資者情緒造成隱含風險中性分布的變化，經驗定價核在低波動率時期呈現U型分布，而在高波動率時期主要以遞減型或波浪型分布為主。第三，考慮波動率狀態的經驗定價核的定價效果顯著優于傳統定價核。第四，上述結論在其他期限下同樣成立，并且隨著期限結構的增加，經驗定價核的形狀逐漸平緩。第五，經驗定價核與未來1個月的市場收益率呈顯著的反向關系。綜上，本文認為由于金融市場波動率的周期性變化，上證50 ETF期權的定價核在不同時期存在明顯的差異，且考慮狀態轉換后的經驗定價核對未來短期市場收益具有良好的預測作用。

本文的研究結論深化了對國內金融市場的經驗定價核形狀及其成因的認識，并檢驗了新的經驗定價核定價與預測功能，結果表明新的經驗定價核具有良好的定價效果，且對未來短期收益率具有一定的預測作用，拓展了對國內金融市場經驗定價核的研究，具有重要的現實意義。上述研究結果的啟示在于：一是國內金融市場存在結構性突變，因此研究者與投資者在進行理論研究和投資實踐時應當將這一特征考慮在內，以避免周期性偏差對研究結果和投資行為的影響。二是期權市場所隱含的經驗定價核能夠較好地捕捉投資者情緒，反映投資者對未來市場的風險價值預期。三是考慮狀態變換后的經驗定價核具有良好的價格發現功能，并能夠對未來短期市場收益率進行預測，為投資者和市場管理者在進行收益風險管理和分析期權市場狀況時提供指導與幫助。