高中數(shù)學(xué)課堂發(fā)展建模素養(yǎng)的實(shí)踐與思考

丘遠(yuǎn)青

（福州第一中學(xué)，福建 福州 350108）

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，與數(shù)學(xué)建模教學(xué)相關(guān)的改革成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)熱點(diǎn).高中階段，通過數(shù)學(xué)建模活動(dòng)可以將基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)方法訓(xùn)練綜合起來，達(dá)到以學(xué)生為本，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.課堂是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的主陣地，在課堂教學(xué)中，如何發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是廣大教師必須面對(duì)的問題.下面筆者談?wù)劯咧姓n堂教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的實(shí)踐與思考.

一、從創(chuàng)設(shè)的課堂問題情境中培養(yǎng)建模興趣

課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，可以啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的形成，都是源于實(shí)際問題的需要，自然而然生成的.在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題是數(shù)學(xué)建模的主要過程之一，這是一個(gè)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程.數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展與現(xiàn)實(shí)世界中的具體情境關(guān)系密切，教師要引導(dǎo)學(xué)生如何從實(shí)際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生既經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程，又為數(shù)學(xué)建模積累數(shù)據(jù)分析經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)實(shí)際問題情境還能吸引學(xué)生參與課堂活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的樂趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性.

［問題1］隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A 地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B 地取消了景區(qū)門票，下表給出了A，B 兩地景區(qū)2001 年至2015年的游客人次以及逐年增加量.比較兩地景區(qū)游客人數(shù)的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎么樣的變化規(guī)律？（表略）

［問題2］當(dāng)生物死亡后，它體內(nèi)原有的碳14 含量會(huì)按確定的比例衰減（稱為衰減率），大約經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物碳14 含量與死亡年數(shù)之間有怎么樣的關(guān)系？［1］

教科書從這兩個(gè)材料中抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).在數(shù)據(jù)分析和抽象的過程中，問題1 景區(qū)B 中的數(shù)據(jù)規(guī)律并不容易發(fā)現(xiàn).筆者在教學(xué)時(shí)僅以問題2 作為新課情境，引入指數(shù)函數(shù)概念，再對(duì)問題1 進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.借助EXCEL 表格，筆者讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的一些環(huán)節(jié).首先根據(jù)數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，從散點(diǎn)的分布觀察數(shù)據(jù)變化規(guī)律；其次添加趨勢(shì)線，從學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，對(duì)比一次函數(shù)（圖略）、二次函數(shù)（圖略）以及指數(shù)函數(shù)（圖1）三種趨勢(shì)線的契合度，讓學(xué)生直觀感知和對(duì)比三種模型的優(yōu)劣，嘗試選擇確定數(shù)學(xué)模型；最后，在趨勢(shì)線中添上相關(guān)系數(shù)平方，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型優(yōu)劣的一種檢驗(yàn)方法.筆者這樣使用情境材料，不僅讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活以及信息技術(shù)應(yīng)用，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，而且還讓學(xué)生經(jīng)歷了建立函數(shù)模型解決問題的數(shù)學(xué)建模的部分過程:作散點(diǎn)圖—尋找函數(shù)模型—求解函數(shù)模型—檢驗(yàn).

圖1

教師在課堂教學(xué)中要結(jié)合問題實(shí)際情境，讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)、提出解決具體問題的方案并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程.教師還應(yīng)充分理解創(chuàng)設(shè)情境所選情境的意圖，提出富有數(shù)學(xué)含金量的問題，引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，突破教材重點(diǎn)、難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、滲透能力培養(yǎng)，進(jìn)而有效發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、從精選的課堂例題教學(xué)中提升建模能力

例題是實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)培養(yǎng)的載體，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開例題的分析解答，數(shù)學(xué)例題所涉及的問題主要有純粹的數(shù)學(xué)問題和運(yùn)用性數(shù)學(xué)問題.

1.從純粹的數(shù)學(xué)問題中發(fā)展模型化解題策略

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，課堂教學(xué)中接觸到的大部分是現(xiàn)實(shí)問題經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象后的純粹數(shù)學(xué)問題，解答這類問題的方法之一就是模型化.

2021 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷1數(shù)學(xué)第22 題摘選：

［問題3］已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx)，設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b.

2.從數(shù)學(xué)運(yùn)用問題中經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程

數(shù)學(xué)運(yùn)用問題的解答過程應(yīng)加強(qiáng)將運(yùn)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)抽象過程，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)背景的分析中歸納、提煉數(shù)量關(guān)系、空間形式的數(shù)學(xué)表達(dá)并得出模型的過程，這是一個(gè)“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”的過程.

［問題4］某公司為了實(shí)現(xiàn)1000 萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的激勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10 萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金不超過5 萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？［1］

問題4 是一個(gè)具有實(shí)際意義的有確定性結(jié)果，從多個(gè)函數(shù)模型中選擇最優(yōu)解的問題.在管理和經(jīng)濟(jì)問題中，常選擇像7 這樣非e和10 的數(shù)為底的對(duì)數(shù)函數(shù)來刻畫.教學(xué)時(shí)須引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際情況，通過對(duì)比三個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)的差異，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇合適的函數(shù)模型，加深函數(shù)模型的認(rèn)識(shí).具體到該問題的解答過程，首先通過文字、符號(hào)和圖象的轉(zhuǎn)化將其數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)分析問題的意識(shí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；其次借助信息技術(shù)進(jìn)行圖象擬合，讓學(xué)生體驗(yàn)信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模上的運(yùn)用；再次，在數(shù)據(jù)分析過程中，從定性到定量，從數(shù)到形，再?gòu)男蔚綌?shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)處理的一般過程；最后，函數(shù)模型的確定也要讓學(xué)生經(jīng)歷模型的選取、檢驗(yàn)和確定過程.

加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系，關(guān)注習(xí)題的實(shí)踐性與可操作性是課程改革的一個(gè)基本理念，也是數(shù)學(xué)教材的一個(gè)基本方向.教材增加了大量具有實(shí)際背景的題目，目的在于讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí)，提高建模能力.教師應(yīng)注重通過數(shù)學(xué)運(yùn)用問題為學(xué)生提供經(jīng)歷某些數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)的機(jī)會(huì)，從而使數(shù)學(xué)建模得到連續(xù)發(fā)展.

3.從開放性問題中拓展數(shù)學(xué)建模的思維

問題4 在課堂教學(xué)中還可以進(jìn)一步地提出下面問題：

思考：你能否設(shè)計(jì)一個(gè)既符合公司要求，又更能激勵(lì)銷售人員積極性的函數(shù)模型？請(qǐng)說明理由.

該問題的答案不唯一，學(xué)生對(duì)“更能激勵(lì)”理解的角度不同，所設(shè)計(jì)的模型則不同，如果僅改進(jìn)題目中給出的模型，可以考慮把y=0.25x改為，y=1.002x變換該指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，而函數(shù)y=log7x+1 可以變換常數(shù)1，也可以變換對(duì)數(shù)中的底數(shù)7 等等.這一問題的提出，一方面能讓學(xué)生經(jīng)歷選擇模型、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型的建模過程，提升建模能力；另一方面，適時(shí)提出的開放性問題可以打破學(xué)生思維常規(guī)，變學(xué)生被動(dòng)答題為主動(dòng)參與，激勵(lì)學(xué)生參與到問題的情景中去.

開放性問題倡導(dǎo)學(xué)生多角度、多視點(diǎn)、多層次、多途徑、多方法解決問題，有利于張揚(yáng)學(xué)生的個(gè)性，開拓學(xué)生的創(chuàng)造性思維，有助于學(xué)生探究能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng).在開放性問題的解決過程中，學(xué)生可以通過信息的重組，獲取解決問題的有效信息，并作出合理的假設(shè)和推斷.數(shù)學(xué)建模的對(duì)象大都是應(yīng)用題類，是開放性問題.在建模過程中，數(shù)學(xué)問題和形式多種多樣，解決問題的方法具有開放性、新奇性、多樣性.在教學(xué)中適當(dāng)給出開放性問題，能有效拓展學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維能力，也可以讓學(xué)生能動(dòng)地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問題，獲得“四基”，提高“四能”.

三、從設(shè)計(jì)的課后作業(yè)中延伸建模教學(xué)

“雙減”政策對(duì)作業(yè)的要求雖是針對(duì)義務(wù)教育階段，但是提高作業(yè)的針對(duì)性、有效性，提高作業(yè)質(zhì)量，避免大量機(jī)械重復(fù)刷題作業(yè)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，也是高中作業(yè)的基本要求.作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸，是學(xué)生再學(xué)習(xí)和再加工的一個(gè)過程，作業(yè)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)不能僅僅只是為了鞏固知識(shí)，更應(yīng)該考慮如何促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［問題5］已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立.［1］

問題5 所涉及的知識(shí)是常見的“糖水不等式”，教師在作業(yè)設(shè)計(jì)中，可以將問題作適當(dāng)變式，通過縱向挖掘、橫向延伸，可以達(dá)到更大地教育功能.比如，把問題改為“糖水加糖后變甜了，試用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象”.如此，學(xué)生需要引進(jìn)字母把問題數(shù)學(xué)化，還要考慮糖是否全部溶解，以及確定不等式或者是函數(shù)模型解答等等，數(shù)學(xué)建模味顯然充足了許多.此外，該問題還可以追問“生活中還有這個(gè)不等式代表含義的例子嗎？”如果學(xué)生能逆向思維，找到“住宅采光問題”“斜坡的坡度問題”等實(shí)際背景，這無疑有助于學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維能力的提升.高質(zhì)量的變式作業(yè)能有效地?cái)[脫題海的困擾，起到事半功倍的作用.

具有確定性模型及結(jié)果的問題所滲透的數(shù)學(xué)建模大部分僅是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的部分環(huán)節(jié)，在正式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模前的數(shù)據(jù)收集、圖表繪制等環(huán)節(jié)，以及建模完成后的檢驗(yàn)修正環(huán)節(jié)都是必不可少的，這些比較完整的數(shù)學(xué)建模過程往往需要數(shù)學(xué)建模專題實(shí)踐來達(dá)成.適時(shí)布置數(shù)學(xué)建模作業(yè)，可以引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中有效開展自主探究性學(xué)習(xí)與合作性學(xué)習(xí)，變被動(dòng)做題為主動(dòng)研究，能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，對(duì)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)起到積極的作用，還能為學(xué)生良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育起到奠定作用.

數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐作業(yè)不宜采用“講練”模式，應(yīng)采用選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)來推進(jìn)數(shù)學(xué)建模活動(dòng).除需要給學(xué)生提供數(shù)學(xué)建模完整過程的體驗(yàn)外，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生如何從實(shí)際情境中用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)論并改進(jìn)模型等活動(dòng)，最終解決實(shí)際問題.這四個(gè)環(huán)節(jié)中，尤為關(guān)鍵的是選題，選題取材要貼合實(shí)際，來源于真實(shí)問題，要符合教材內(nèi)容水平，符合學(xué)生的認(rèn)知水平.教師所設(shè)計(jì)的建模問題作業(yè)，應(yīng)適合普通高中學(xué)生的問題探究水平，同時(shí)可以添加少數(shù)有難度的問題供更有興趣的同學(xué)探究，還要鼓勵(lì)學(xué)生自己提出選題，教師加以指導(dǎo)，只有學(xué)生自己能提出一定質(zhì)量的選題，才是真正地形成了用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力.

總之，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是一種綜合素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是一種綜合實(shí)踐活動(dòng).教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該把握教材的實(shí)踐性、應(yīng)用性，注重將數(shù)學(xué)內(nèi)容與實(shí)際生活相結(jié)合，加強(qiáng)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象過程，加強(qiáng)實(shí)際背景的數(shù)學(xué)化過程，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用環(huán)節(jié)，不斷引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)知識(shí)，從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題.