怎樣添加輔助線構造全等三角形

樸芳

全等三角形是初中幾何中重要的基礎知識.利用全等三角形的相關性質解答與之相關的幾何問題是常見的解題思路.在幾何問題中，有些全等三角形在圖形中會直接呈現，而有些全等三角形則比較隱蔽.當已知圖形中并不存在全等三角形時，就要根據條件靈活地添加輔助線，構造兩個全等三角形.下面介紹六種常見的證明三角形全等時作輔助線的方法，分別是作平行線法、作垂線段法、倍長中線法、截長補短法、平移變換法、旋轉變換法.

一、作平行線法

平行線的性質通常被作為解答幾何問題的重要依據，其作用常常是提供角與角之間的關系，而角正是證明三角形全等的重要元素.通過作平行線得到相等的角，是構造全等三角形的一種有效方法.

二、作垂線段法

當幾何圖形中有三角形的角平分線時，可向兩邊作垂線，構造全等三角形.若圖中沒有角平分線，可以向兩個圖形的公共邊所在的直線作垂線，構造直角三角形. 由于直角三角形的全等判定定理比較多，所以，作垂線段可為證明直角三角形全等創造條件，從而獲得解題的方法.

例 2 如圖 2，D 為 CE的中點，F 為 AD 上一點，且 EF=AC.求證：∠DFE=∠DAC.

分析：首先根據全等

三角形的判定得出△DEN ≌△DCM，進而得出 EN=MC，即可得出 Rt△FEN ≌ Rt△CAM，進而得出∠DFE=∠DAC.

∴∠DFE=∠DAC.

三、“倍長”中線法

中線、中點往往是倍長線段的“提示”，如果已知條件中存在線段的中點或三角形的中線，可通過將線段延長至原來的 2 倍的方法構造相等線段，從而為三角形全等的證明提供所需的條件.

四、截長補短法

截長補短法是在較長的線段中截取一條線段等于已知線段或延長較短的線段使之與較長的線段相等的作圖法.它雖包括“截長”和“補短”兩種方法，但這兩種方法的實質是相通的，都是將長度不等的線段轉化為長度相等的線段，從而為三角形全等的判定增添條件.

例 4 如圖 4 所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB=AC+CD.

分析：利用已知條件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD ≌△AED

（AAS），∴ AE=AB . ∵ AE=AC + CE=AC +CD，∴ AB=AC + CD.

五、平移變換法

在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動方式稱為“平移”.平移是一種只改變圖形的位置而不改變圖形大小及形狀的變換，其實質是構造了有特殊位置關系的全等三角形.利用這一特征可以解答較多關于全等的幾何問題.

例 5 如圖 6 所示，在△ABC 的邊 BC 上取兩點 D 、E ，且 BD=CE .試運用三角形三邊的關系和平移的知識發現并證明：AB+AC 與 AD+AE 之間的長度關系.

分析：本題結論直接證明較為困難，若利用平移變換，將△AEC 平移到△A′BD 構造全等三角形，如圖6所示，則線段 AB ，AC ，AD ，AE 就集中在四邊形 A′BDA 中，這樣只要證明AB+A′D>AD+A′B ，即可證明所求目標.

解：如圖 6 所示，將△AEC 沿著線段 EB的方向由 E 點移動到 B 點得到△A′BD ，（即過 B 點作 BA′∥ EA ，過 D 點作 DA′∥ CA ，DA′交 BA′于點 A′）.

由平移的性質可知：

A′B =AE，A′D=AC.設A′D與AB的交點為O，∵ A′O+OB>A′B ，AO+OD>AD ，∴ AB+A′D=（AO+OB）+（A′O+OD） ，= （AO+OD）+（A′O+OB）>AD+A′B ，∴ AB+AC>AD+AE .

六、旋轉變換法

旋轉是在平面內將一個圖形繞著某個點旋轉一定的角度得到一個新圖形的一種變換.旋轉與平移一樣，是一種全等變換，通過旋轉可以對線段、角、圖形進行合并，解題時應根據變換的特征，找到對應的全等三角形，通過線段、角的轉換達到解題目的.

添加輔助線是求解平面幾何問題的重要手段. 構造全等三角形則是解答幾何問題的常見方法.在作輔助線構造全等三角形時，要仔細斟酌題中所給的已知條件與所要求的問題，只有深度挖掘條件，靈活選取方法，才能將問題逐個擊破.