有關一元二次方程中字母系數問題的求解思路

趙默

一元二次方程中字母系數的求法，涉及的知識點很多，它與一元二次方程的定義、根的定義、根的判別式等都有著緊密的聯系，是一元二次方程問題中的一個難點.為了幫助同學們提高解題效率，現對一元二次方程中字母系數的求解思路進行歸納說明，以供同學們參考.

一、利用一元二次方程的定義求解

只含有一個未知數（一元），并且未知數項的最高次數是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式為 （a ≠ 0）. 根據一元二次方程的定義求方程中字母系數的值時，要注意以下幾點：①弄清楚誰是未知數;②含有未知數的項的最高次數必須是2;③最高次項的未知數的系數不為0.

點評：此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握未知數的次數與系數是解題關鍵.

二、利用一元二次方程的根的定義求解

若 m 是關于 x 的一元二次方程 ax

2 + bx +

c = 0 的一個根，則可得? 的一個根，則可得 ;反之，若 ，則 m 是關于 x 的一元二次方程 的一個根.這就是一元二次方程的根的定義.當已知一元二次方程的一個根或兩個根時，將其帶入原方程，構造新的方程或方程組，解方程或方程組即可求得字母系數的值.

點評：解答本題的關鍵是正確理解一元二次方程的根的概念：能使一元二次方程左右兩

邊相等的未知數的值是一元二次方程的根.

三、利用一元二次方程的求根公式求解

將一元二次方程 進行配方， 式稱為一元二次方程的求根公式.若題目已知一元二次方程有兩個根，可將兩個根用含有字母系數的求根公式表示出來，然后根據根的情況確定字母系數的值或取值范圍.

例3 已知關于 x的方程

（1）討論此方程根的情況;

（2）若方程有兩個整數根，求正整數 k的值.

分析：（1）由于 k 的值不能確定，故應分k + 1=0 和 k + 1 ≠ 0 兩種情況進行分類討論;（2）先根據求根公式用 k 表示出 x 的值，再根據方程有兩個整數根，求出正整數 k的值即可.

解：（1）當 k= - 1 時，方程 -4x - 4=0 為一元一次方程，此方程有一個實數根;

點評：一元二次方程的根是由系數 a ，b ，c 決定的，求根公式體現了一元二次方程根與系數最直接的關系，若已知根的情況就可以求出字母系數的值.

四、利用一元二次方程的根的判別式求解

一元二次方程 的根的判別式為 .當 時，則一元二次方程有兩個相等實根;當 時，則一元二次方程有兩個不相等實根;當 時，則一元二次方程無實根.利用根的情況求字母系數的值或范圍，一般是利用根的判別式和已知條件列出關于字母系數的方程或不等式，然后求解.要注意判別式的應用條件，即二次項系數不為0.

例 4 已知關于 x 的一元二次方程（ 有兩個不相等的實數根.

（1）求 k 的取值范圍;

（2）如果此方程有兩個相等實數根，請求出這個實數根.

分析：（1）先根據方程有兩個不相等的實數根知Δ>0，據此求出 k 的范圍，再結合一元二次方程的定義和二次根式有意義的條件可得答案;（2）由方程有兩個相等實數根知Δ=0，據此求出 k 的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得.

點評：若已知一元二次方程有實數根或無實數根，可利用判別式求得字母系數的取值范圍.若已知一元二次方程有相等實數根，可利用判別式求得字母系數的值.

五、利用一元二次方程根與系數的關系

一元二次方程根與系數的關系.已知方程兩根的關系求字母系數的值時，先根據根與系數的關系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積，然后將已知兩根的關系式進行變形，再將兩根的和與兩根的積整體代入，列出以字母系數為未知數的方程，進而求出字母系數的值.

例5 關于 x的方程 是否存在負數 k 使方程的兩個實數根的倒數和等于4？若存在，求出滿足條件的 k 的值;若不存在，說明理由.

所以存在負數 k = -1，滿足條件.

點評：運用根與系數的關系解題的前提條件是方程有實數根，即Δ≥0.在利用根與系數的關系求方程中的字母系數的值時，必須代入根的判別式中進行檢驗.

六、構造二次函數，利用函數圖象求解

一元二次方程與二次函數是有緊密聯系的.解二次方程的實質是求二次函數的零點，反映在圖象上，就是拋物線與 x 軸交點的橫坐標值.因此，對于一元二次方程含字母系數的問題，可通過構造函數，利用函數圖象的直觀性求解.

點評：可以把一元二次方程看作是二次函數中的一種特殊情況.根據一元二次方程根的情況，再利用二次函數的圖像的性質，可以快速便捷地求出方程中字母系數的取值范圍.