等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及其應(yīng)用

張娜

等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線和頂角平分線相互重合，我們將等腰三角形的這一特性稱為“三線合一”，具體可以歸納如下：如圖1所示，在△ABC 中，AB = AC，D 為BC 上一點(diǎn)，下列三個(gè)條件中：（1）∠BAD =∠CAD ;（2）AD ⊥ BD ;（3）BD = CD ，滿足其中任意一個(gè)條件時(shí)，都能直接推出其余兩個(gè)條件成立.由此可見，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是一個(gè)多功能的性質(zhì)定理，是解答幾何問題的有效策略，可用于證明兩角相等或倍分，證明線段相等或兩線互相垂直等.

“三線合一”是等腰三角形的重要性質(zhì)，因此，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)的前提一定是在等腰三角形中，其它三角形并不適用.所以，對于某些幾何問題，若題目并沒有明確給出等腰三角形，則可適當(dāng)添加輔助線，巧妙構(gòu)造等腰三角形，再運(yùn)用“三線合一”性質(zhì)解題.在運(yùn)用這一性質(zhì)解題的過程中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1.等腰三角形是軸對稱圖形，因此常用的輔助線作法有三種：作等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的高線、底邊上的中線.

2.注意定理中條件和結(jié)論之間的互換性，即若三角形的三線中有兩線重合，則可得到此三角形必是等腰三角形.以上情況可簡稱為“二合一則等腰”，這可作為等腰三角形的一種判定方法.

3.若在三角形中出現(xiàn)了高線、中線或角平分線時(shí)，有時(shí)可以延長某些線段以構(gòu)造等腰三角形，然后用“三線合一”定理去處理.

下面我們結(jié)合幾道例題，說明等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)在幾何證明題中的應(yīng)用方法.

例1 如圖2，在五邊形 ABCDE 中，∠B =∠E，∠C = ∠D，BC = ED，M 為 CD 的中點(diǎn)，求證：AM ⊥ CD.

分析：要證明 AM ⊥ CD ，不妨添加輔助線構(gòu)造等腰三角形.由已知∠B = ∠E，∠C = ∠D，BC = ED，不難得出∠G = ∠H，即得出△AGH為等腰三角形.再通過三角形全等，得出 GC =HD，再利用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)即可使問題迎刃而解.

證明：延長 AB 、AE 與直線 CD 分別交于G ，H .

∵∠B = ∠E，∠C = ∠D，

∴∠GBC = ∠HED，∠BCG = ∠EDH，

∴∠G = ∠H，△AGH 為等腰三角形.

∵∠GBC = ∠HED，∠BCG = ∠EDH，

BC = ED，

∴△GBC ≌△HED，GC = HD .

又∵ CM = DM，所以 GM = HM.

∴在等腰△AGH 中，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)，可知 AM ⊥ CD .

評注：在解答兩線垂直的證明問題時(shí)，如果題目滿足以下兩個(gè)條件即可運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)來證明：（1）三角形是等腰三角形;（2）兩線的其中一條線是三角形底邊上的中線或頂角平分線.

例 2 如圖 3，已知 AB ∥ CD，E 是 BC 的中點(diǎn)，AE ⊥ DE，求證：∠BAE = ∠DAE.

分析：本題中已知 E 為 BC 的中點(diǎn)，AE ⊥DE，故而要想證明∠BAE = ∠DAE，不妨根據(jù)這兩個(gè)條件，聯(lián)想等腰三角形“三線合一”這一性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形.這樣，只需要延長 DE 、AB ，使其相交于點(diǎn) F，再證明 EF = ED，就很容易得出∠BAE =∠DAE .而要證明 EF = ED，只要證明△BEF與△CED 為全等三角形即可.

證明：延長 DE 、AB ，并相交于點(diǎn) F .

∵ AB ∥ CD，

∴∠BFE = ∠CDE，∠FBE = ∠DCE.

又∵ E 是 BC 的中點(diǎn)，∴ BE = CE，

∴△BEF ≌△CED，EF = ED.

又∵ AE ⊥ DE，根據(jù)等腰三角形“三線合一”這一性質(zhì)可得，∠BAE = ∠DAE.

評注：在證明有關(guān)角的問題時(shí)，可通過作輔助線將題目已知條件與待證的角的關(guān)系聯(lián)系到一起，運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)證明.本題順利得證的關(guān)鍵在于運(yùn)用了等腰△ADF 的高 AE ，既是底邊 DF 的中線，又是頂角∠FAD 的平分線這一性質(zhì).

例3 如圖4，在△ABC中，AC = BC，∠ACB =

90°，∠ABC 的平分線交 AC 于 D ，AE ⊥ BD 交

BD 的延長線于 E ，求證

總之，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是只要知曉“三線”中的任何一“線”，則能知此“一線”也是等腰三角形另外的“兩線”，這為我們解答幾何問題提供了新的思路和方法.同學(xué)們在學(xué)習(xí)等腰三角形這一章節(jié)時(shí)，要準(zhǔn)確理解和把握“三線合一”的性質(zhì)，結(jié)合具體32 問題，靈活遷移運(yùn)用.