奇異的“杜登尼特例”

黑馬三

亨利·杜登尼是英國19世紀末20世紀初有名的趣題設計家與娛樂數學家.他與美國的智力游戲設計家山姆·洛伊德以及數學科普作家馬丁·加德納并稱“趣味數學三杰”.杜登尼有著十分敏銳的觀察力，他所設計與發表的趣題涉獵代數、幾何等多個數學分支領域，尤其在幾何分割問題上取得了不同尋常的成就，最著名的就是發現了將一個正三角形分割成四塊并拼成一個正方形的方法.今天，我們將介紹他在代數領域發現的一個奇異問題——“杜登尼特例”.

據說，杜登尼在翻閱一本數學書籍時，偶然發現其中的一個數字算式出現了印刷錯誤，排字工人把 錯排成2592.這種底數、指數相混淆顯然是大錯特錯，比如 16=11664和3642根本就是兩碼事.不過，細心的杜登尼經過計算，竟然發現 與 2592 具有錯對巧合、暗自回歸的奇妙特性，即 32×81=2592，兩者結果相同，而且不影響后面的一系列計算.

無意間的錯誤竟然得到了巧妙的糾正，獲得了正確的結果，這種罕見的現象引起了杜登尼與數學專業人士的關注，許多人饒有興致地投入到尋找類似轉換算式的行列中.盡管這如同大海撈針，但數學家的努力沒有白費，類似的“杜登尼特例”不斷被發現，讓人們在擊節稱奇之余嘆為觀止.

有人會說，這幾個例子都用到了分數，變化形式似乎與“杜登尼特例”的原始模式稍有不同.那我們再來看看整數的精確運算：

有人甚至還發現73×9×42=7×3942，顯然

這個既沒有指數，也不含分數的例子是對“杜

登尼特例”的延展.或許是受此啟發，有人提

出了更為大膽的結論：類似的答案可以無限

多.經過人們的探索，果然如此：

不難發現，只要在第一個等式中不斷添上857142，就能一直保持“杜登尼”模式的平衡，這種利用循環小數的特性（ ）進行的變化，實在令人贊嘆.